十二带电质点在电场磁场和重力场中的运动.docx

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十二带电质点在电场磁场和重力场中的运动

十二、带电质点在电场、磁场和重力场中的运动

教学目标

1．比较带电质点在匀强电场、匀强磁场和重力场中受到的电场力、洛仑兹力和重力的产生条件、三要素和功能方面的特点．

2．掌握带电质点在这些场中的力和运动关系的基本分析方法，会解决力学和电磁学的综合问题．

3．注重学生的推理能力、分析综合能力和数学能力的培养．

教学重点、难点分析

1．比较带电质点在匀强电场、匀强磁场和重力场中受力的特点．

2．认识带电质点在匀强电场、匀强磁场和重力场中受力和运动关系的物理情境，并善于运用力学的基本分析方法处理综合问题．

3．运用坐标、几何图形和空间想象等教学方法处理物理问题．

教学过程设计

一、课题的引入

我们在力学中学会了从牛顿运动定律出发认识质点受力和运动的关系，也会用动量和动能等量描述质点的运动状态，认识质点的运动状态跟力的作用的冲量、功的关系以及不同运动形式的能量的相互转化．本课要研究，带电质点在匀强电场、匀强磁场和重力场中的力和运动的关系，这些问题是力学和电磁学知识的综合问题．

二、带电质点在匀强电场中的运动

出示题卡（投影片）

[例1]在光滑的水平面上有一质量m=1.0×10-3kg、电量q=1.0×10-10C的带正电小球，静止在O点．以O点为原点，在该水平面内建立直角坐标系Oxy．现突然加一沿x轴正方向的、场强大小E=2.0×106V/m的匀强电场，使小球开始运动．经过1.0s，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强大小仍为E=2.0×106V/m的匀强电场．再经过1.0s，所加电场又突然变为另一方向，使小球在此电场作用下经过1.0s速度变为零．求此电场的方向及速度变为零时小球的位置．

*请学生自己讨论小球在电场中的运动情景．

要求：

建立直角坐标系，表示小球的运动位置；

说明电场的情景；

小球在电场中的受力情况以及由牛顿定律讨论小球的运动的情况．

引导学生得出小球的运动情况：

第1秒内做初速为零的匀加速直线运动，加速度和末速度都沿x轴正方向；

第2秒内做类平抛运动，初速度沿x轴正方向，加速度沿y轴正方向，末速度沿斜向上方向；

第3秒内沿第2秒末速度方向做匀减速直线运动，直到速度变为零．

注意：

对于学生得出第3秒内小球的运动情况，要有严格的推理过程：

小球在恒力作用下，加速度的大小和方向是恒定的；要使其速度变为零，加速度只能是和第2秒末的速度方向相反．

**请学生在Oxy坐标系中画出小球运动的草图，图中要标明小球运动的轨迹、加速度和第1、2、3秒末的位置及速度的方向，如图3-12-1所示．

***要求学生自己完成解题过程：

小球的运动情况如图3-12-1所示，第1秒内沿x轴正方向做匀加速直线运动．

末速度v1=a1t=0.20m/s

第2秒内做类平抛运动，初速度v1，方向沿x轴正方向：

加速度a2=

第3秒内做匀减速运动，直到速度变为零，所加匀强电场的方向跟v2相反，与x轴成225°角，指向第3象限．

小球速度变为零时的位置坐标：

x3=x2+s3cos45°=0.40m；y3=y2+s3sin45°=0.20m

小结：

带电质点在电场中运动的问题是力学和电学知识的综合问题．要抓住电场的特性，带电质点在电场中受力的特点，并善于运用力学的基本方法去分析，确定带电质点的运动情况，如本题中运用牛顿定律讨论质点受力和运动的关系，质点做什么运动既和受力情况有关，还和开始运动的情况有关．

三、带电质点在匀强磁场中的运动

出示题卡（投影片）

[例2]如图3-12-2

（1），在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于Oxy所在纸面向外．某时刻在x=l0，y=0处，一个质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l0，y=0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用．设质子的质量为m，电量为e．

（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？

（2）如果α粒子与质子在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？

方向如何？

*请学生讨论质子在匀强磁场中的运动情况，以及确定它的速度的大小．

注意：

确定质子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心及半径的方法．

如图3-12-2

（2）所示，圆心O1是过C点跟速度垂直的直线（即OC）和线段OC的中垂线的交点．

由此可求得圆半径为10/2，进而求得质子的速度的大小vp=

**请学生讨论确定α粒子做圆周运动的圆心和半径的方法．

圆心在OD的中垂线上，但由于α粒子的速度的大小和方向未知，确定α粒子做圆周运动的圆心及半径是本题的难点．

提示：

题中给出α粒子和质子在O点相遇的条件的意义是什么？

α粒子和质子分别沿DO圆弧和CO圆弧运动，所用的时间应相等，而粒子做圆周运动的时间可以是它通过的圆弧长跟速率之比；也可以与粒子通过的圆弧所对的圆心角及其做圆周运动的周期相联系，若确定了圆心角就可由圆中的等腰三角形的底边长和顶角的大小来确定圆心及半径的大小．

***请学生自己得出α粒子做圆运动的圆心和半径．

点的速度大小无关，只决定于带电质点的质量和电量．

且Tp=Tα/2．

…

由此可以确定圆心的位置O或O′，如图3-12-2

（2）所示，圆半

小结：

讨论带电质点在匀强磁场中做圆周运动问题的基本出发点——洛仑兹力是质点做圆周运动的向心力，由此得到粒子做圆周运动的半径和周期，其中周期跟粒子的速率大小无关．还要特别注意确定圆运动的平面和圆心及半径，尤其要会运用几何图形进行讨论，利用带电质点在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆和圆上的弧及弦、角等的关系确定圆心和半径．

四、带电质点在匀强电场、匀强磁场和重力场中的运动

空间可以同时存在着重力场、匀强电场和匀强磁场，讨论带电质点在这个空间中的运动就要认识带电质点在这些场中受场力的特点，比较它们的产生条件、力的三要素及做功情况的异同．引导学生通过比较，加深认识，填出下列表格．

出示题卡（投影片）

[例3]设在地面上的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T，今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）．

*请学生讨论：

带负电质点在匀强电场、匀强磁场（电场和磁场方向相同）和重力场中做匀速直线运动的可能的情况．

提示：

讨论问题的出发点是，质点做匀速直线运动，所受力的合力为零．

（1）若带电质点运动方向跟电场和磁场方向平行，它只受电场力和重力，处于平衡，可得电场和磁场的方向应竖直向下，但它不符合题目中带电质点垂直于场的方向运动的要求．

（2）若带电质点垂直于场强的方向运动，一定受重力、电场力和洛仑兹力，三力平衡．

**请学生讨论：

带负电质点受三力平衡，这三个力的方向和质点的运动方向可能是什么样的？

提示：

电场力和洛仑兹力方向相互垂直，它们的合力跟竖直向下

的重力相平衡．

确定电场和磁场方向不能沿竖直方向；

电场和磁场方向不能是水平方向；

电场和磁场方向也不能是斜向上方向．

电场和磁场只可能是沿斜向下的方向，用θ角表示场跟竖直向下的方向的夹角．

***请学生做出带电质点的受力图，图中要标出三个力的方向、电场和磁场的方向及说明质点的运动方向．

做出的质点受力示意图如图3-12-3所示，重力的方向竖直向下，电场力的方向与电场方向相反，洛仑兹力的方向跟磁场（与电场力的方向平行）和速度v的方向垂直，重力、电场力和洛仑兹力在同一竖直平面内（表示在纸面上），质点的速度方向垂直于纸面向外．

由三力平衡，可得质点的电荷与质量之比

磁场的方向斜向下与竖直方向所成的角θ

****进一步追问学生，题中要求的磁场所有可能的方向是指什么？

考虑到重力、电场力和洛仑兹力所在的竖直平面可以是绕重力作用线旋转的所有竖直平面，磁场的所有方向是沿着与重力方向成夹角θ=arctan0.75，且斜向下的一切方向．

小结：

由于带电质点受洛仑兹力的方向跟质点运动方向和磁场方向所在平面垂直，因此，讨论带电质点在电场、磁场和重力场中的受力和运动关系，必须重视力、场和运动方向的空间关系，建立三维的空间概念，正确表达出它们间的关系，也是数学能力的重要表现之一．

出示题卡（投影片）

[例4]如图3-12-4

（1）所示，在地面附近，坐标系Oxy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x<0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，一个质量为m的带电量为q的油滴途经图中M（-a，0）点（a>0），沿着与水平方向成α角斜向下做直线运动，进入x>0的区域，求：

（1）油滴带什么电荷，要求说明依据．

（2）油滴在M点运动的速率的大小．

（3）油滴进入x>0区域，若能到达x轴上的N点（在图中未标出），油滴在N点的速度大小是多少？

*请学生描述带电油滴的运动情况和受力情况．

在x<0区域，油滴受重力、电场力和洛仑兹力，做直线运动；在x>0区域油滴受重力和洛仑兹力，做曲线运动．

**提问：

在x<0区域，从带电油滴受力的特点，能否确定油滴做直线运动的加速度？

提示：

洛仑兹力跟速度方向垂直，且其大小跟速度大小有关，而电场力和重力都是恒力，三力不在同一直线上．带电油滴做直线运动，讨论力和运动的关系要分别讨论沿运动直线方向和垂直于运动直线方向上的受力情况．

由学生讨论得出，油滴做直线运动，在垂直于运动方向上的各力或其分力的合力一定等于零．由于重力和电场力是恒定的，那么垂直于运动方向的洛仑兹力一定也是不变的，因此油滴运动的速度大小不变，油滴做匀速直线运动．

***提问：

由油滴运动情况和受力情况，能否确定油滴带什么电荷？

要求学生能够进行严格的推理判断，说明油滴带电的种类．

说明一般的推理方法：

要从已给的事实和条件出发，根据所学的基本概念和规律，理清推理的思路，经过严密的逻辑推理，也包括运用数学方法进行推导，得出结论或做出判断．

本题推理的出发点是带负电油滴在匀强电场、匀强磁场和重力场中，垂直于磁场方向做直线运动．

推理的思路：

（1）由带电油滴受洛仑兹力的特点，推出油滴一定做匀速直线运动，三力要平衡．

（2）由三力平衡，假设油滴带负电和带正电两种情况，分别讨论它们的受力情况，可得出，只有油滴带正电，三力才可能平衡．

得出油滴带正电的结论．

****请学生做出受力图，如图3-12-4

（2）所示，计算油滴通过M点的速度的大小．

由三力平衡，可得

qvB=mg/cosα

****请学生讨论，怎样计算油滴到达N点的速度大小？

学生可能考虑的方法有：

（1）由牛顿定律，确定油滴的运动的性质，再利用运动学的方法确定N点的速度．但由于重力是恒力，洛仑兹力是变力，油滴的运动不是圆周运动，也不是类抛体运动，在中学物理中，用这个方法求解是十分困难的．

（2）由动能定理求解．由洛仑兹力总不做功的特点，油滴进入x>0区域，只有重力做功，由动能定理，可以求得油滴到达N点的速度vN的大小

小结：

（1）洛仑兹力总不做功的意义是：

带电质点在磁场中运动时，不管它做什么运动，也不管它是否还受其它力，洛仑兹力总跟带电质点的运动方向垂直，因此总不做功．许多时候，常常从动能定理来讨论带电质点运动速度的大小．

（2）要注意推理的基本方法，会运用这个基本方法进行推理和判断．

出示题卡（投影片）

[例5]如图3-12-5所示，置于光滑水平面上的小车a、b的质量分别为ma=3kg，mb=0.5kg，可视为质点的带正电的物体c位于小车b的最

空间内有方向竖直向上、场强E=15N/C的匀强电场和垂直于纸面方向向里、磁感应强度B=10T的匀强磁场．开始时小车b处于静止，小车a以v0=10m/s的速度向右运动和小车b发生碰撞，碰后物体c落在小车a上滑动．设小车a、b碰撞时间非常短，碰后小车b的速度为9m/s，物体c和小车之间有摩擦，小车a足够长．求物体c运动的最大速率和小车a的最小速率．g取10m/s2．

*请学生讨论小车a、b和物体c的相互作用过程的物理情景．

（1）小车a、b碰撞，物体c在非常短的碰撞时间内，其运动状态不发生变化．

（2）小车a和物体c之间由于摩擦内力的作用，发生动量的传递．

（3）物体c带正电，运动起来，受洛仑兹力，方向竖直向上，随速度增大，洛仑兹力增大，直到洛仑兹力跟电场力、重力平衡时，滑动摩擦力等于零，相互作用结束，此刻物体的速度为最大速度；小车a的速度为最小速度．

**请学生自己写出解题的过程，要求正确表达解题的过程．

小车a、b在很短的时间内发生碰撞，水平方向动量守恒，有

mav0=mav1+mbv2

解得小车a碰撞后的速度

v1=8.5m/s，方向向右．

小物体c落到车a上，由于摩擦力的作用，小物体c的动量（速度）逐渐增大，小车a的动量（速度）逐渐减小，但水平方向动量守恒．

对于小物体c，竖直方向上受重力mcg、电场力qE（方向向上）、小车的支持力N和洛仑兹力f（方向向上），随小物体c的速度增加，洛仑兹力f增大，支持力N减少，直到N=0时，即

mcg=qvmB+qE

当支持力N=0时，小物体c和小车a之间的摩擦内力变为零，它们的相互作用结束，小物体c有最大速度，小车a有最小速度．

小物体c的最大速度

由水平方向动量守恒，有

mav1=mava+mcvm

小车a的最小速度　　　va=8.3m/s

小结：

要认真分析小车a、b和小物体c的相互作用过程，运用动量守恒定律讨论问题要明确研究对象——相互作用系统，分析它们的受力，讨论其满足守恒定律的过程．同时要注意分析相互作用过程的细节，讨论内力的作用，才能认识最大速率和最小速率的意义，确定列守恒定律方程的状态．

要学会正确表达解题的过程．在认真审题的基础上，表达解题的过程的层次应清晰，要有必要的文字说明，画出草图，要有演算步骤和基本方程式，并给出明确的结果．

五、总结

带电质点在重力场、匀强电场和匀强磁场中的运动问题，是力学知识和电磁学知识的综合运用．首先应确立场的观念，认识带电质点在重力场、匀强电场和匀强磁场中受力的特点，学会运用力学的基本分析方法：

由牛顿定律讨论力和运动的关系；运用动量和动能来描写质点的运动状态，讨论状态变化跟变化过程中力的冲量、功的关系以及几个质点间的相互作用过程．尤其要重视认识题目的物理情境，学会推理，学会运用数学处理物理问题．

六、布置作业（略）

（作者：

北京东城区教研中心　王天谡）