必修一数学 第三章 函数的应用.docx

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必修一数学第三章函数的应用

第三章函数的应用

一、选择题

1．下列方程在（0，1）内存在实数解的是（）．

A．x2＋x－3＝0B．

＋1＝0

C．

x＋lnx＝0D．x2－lgx＝0

2．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（）．

A．（－∞，－2］B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－2，2）

3.若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）．

A．{a|a＞1}B．{a|a≥2}

C．{a|0＜a＜1}D．{a|1＜a＜2}

4．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f

（1）f

（2）f（4）＜0，则下列命题正确的是（）．

A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点

B．函数f（x）在区间（1，2）内有零点

C．函数f（x）在区间（0，2）内有零点

D．函数f（x）在区间（0，4）内有零点

5.函数f（x）＝

的零点个数为（）.

A．0B．1C．2D．3

6.图中的图象所表示的函数的解析式为（）.

A．y＝

|x－1|（0≤x≤2）

B．y＝

－

|x－1|（0≤x≤2）

C．y＝

－|x－1|（0≤x≤2）

D．y＝1－|x－1|（0≤x≤2）

7．当x∈（2，4）时，下列关系正确的是（）．

A．x2＜2xB．log2x＜x2C．log2x＜

D．2x＜log2x

8．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到（）．

A．300只B．400只C．500只D．600只

9．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低（）元．

A．2元B．2.5元C．1元D．1.5元

10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月（30天计算）里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进（）份晚报．

A．250B．400C．300D．350

二、填空题

11．已知函数f（x）＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是．

12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长

米，宽米.

13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x（0＜x≤40）（克）的函数，其表达式为．

（第14题）

14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为

（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

15．已知f（x）＝（x＋1）·|x－1|，若关于x的方程f（x）＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．

16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为．

三、解答题

17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．

（1）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：

元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：

天）的数据如下表：

时间t

50

110

250

成本Q

150

108

150

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；

（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?

参考答案

一、选择题

1．C

解析：

易知A，B，D选项对应的函数在区间（0，1）内的函数值恒为负或恒为正，当x是接近0的正数时，

x＋lnx＜0；当x接近1时，

x＋lnx＞0.所以选C．

2．D

解析：

因为函数f（x）是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在（－∞，0］上是减函数，则f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）．

3．A

解析：

设函数y＝ax（a＞0，且a≠1）和函数y＝x＋a，则函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a

1）有两个零点，就是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝ax（a＞1）的图象过点（0，1），而直线y＝x＋a所过的点（0，a）一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.

4．D

解析：

因为f（0）＞0，f

（1）f

（2）f（4）＜0，则f

（1），f

（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，

（第4题）

所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，正确选项为D．

5.C

解析：

当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；

当x＞0时，令－2＋lnx＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．

还可以作出f（x）的图象，依图判断．

6.B

解析：

取特殊值x＝1，由图象知y＝f

（1）＝

，据此否定A，D，在取x＝0，由图象知y＝f（0）＝0，据此否C，故正确选项是B.

或者勾画选项B的函数图象亦可判断．

7．B

解析：

当x∈（2，4）时，x2∈（4，16），2x∈（4，16），log2x∈（1，2），

∈

，显然C、D不正确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正确，只有选项B正确．

8．A

解析：

由题意知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300．

9．D

解析：

设每件降价0.1x元，则每件获利（4－0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000＋100x）．

经济效益：

y＝（4－0.1x）（1000＋100x）

＝－10x2＋300x＋4000

＝－10（x2－30x＋225－225）＋4000

＝－10（x－15）2＋6250．

x＝15时，ymax＝6250．

每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．

10．B

解析：

若设每天从报社买进x（250≤x≤400，x∈N）份，则每月共可销售（20x＋10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x－250）份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f（x），再求f（x）的最大值，可得一个月的最大利润．

设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得

y＝0.10（20x＋10×250）－0.15×10（x－250）＝0.5x＋625，x∈［250，400］．

∵函数y在［250，400］上单调递增，∴x＝400时，ymax＝825（元）．

即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

二、填空题

11．参考答案：

（－∞，－1）．

解析：

函数f（x）＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f

（2）＜0，可求实数a的取值范围是（－∞，－1）．

12．参考答案：

长宽分别为25米．

解析：

设矩形长x米，则宽为

（100－2x）＝（50－x）米，所以矩形面积y＝x（50－x）＝－x2＋50x＝－（x－25）2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．

13．参考答案：

f（x）＝

解析：

在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．

14．参考答案：

（1）y＝

；

（2）0.6．

解析：

（1）据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点（0.1，1），所以，k＝10，

即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝

（a为常数）的图像过点（0.1，1），即得

1＝

，所以a＝0.1，即y＝

．

（2）依题意得

≤0.25，再由y＝lgx是增函数，得（t－0.1）lg

≤lg

，∵lg

＜0，即得t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6．

15．参考答案：

－1＜m＜

．

解析：

由f（x）＝（x＋1）｜x－1｜＝

得函数y＝f（x）的图象（如图）．

按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝（x＋1）|x－1|有三个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．

由得x2＋x＋m－1＝0．

Δ＝1－4（m－1）＝5－4m，由Δ＝0，得m＝

，易得实数m的取值范围是－1＜m＜

．

16．参考答案：

y＝

解析：

当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．

（1）当0＜x≤a时，y＝

x·

x＝

x2；

（2）当a＜x≤2a时，y＝

·2a·

a－

（2a－x）·

（2a－x）＝－

x2＋2

ax－

a2．

所以，y＝

三、解答题

17．参考答案：

每间客房日租金提高到40元．

解析：

设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，

由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．

设客房租金总收入y元，y＝（20＋2x）（300－10x）＝－20（x－10）2＋8000（0＜x＜30），

当x＝10时，ymax＝8000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8000元.

18．参考答案：

设从B市调运x（0≤x≤6）台到C市，则总运费

y＝300x＋500（6－x）＋400（10－x）＋800［8－（6－x）］＝200x＋8600（0≤x≤6）．

（1）若200x＋8600≤9000，则x≤2．

所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．

（2）由y＝200x＋8600（0≤x≤6）可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8600元．

19．参考答案：

（1）根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．

把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

解得a＝

，b＝－

，c＝

．

所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝

t2－

t＋

．

（2）当t＝－

＝150天时，西红柿种植成本Q最低为

Q＝

×1502－

×150＋

＝100（元/100kg）．

20．参考答案：

高为88cm，宽为55cm．

解析：

设画面高为xcm，宽为λxcm，λx2＝4840，设纸张面积为S，有

S＝（x＋16）（λx＋10）＝λx2＋（16λ＋10）x＋160，

将λ＝

代入上式可得，S＝10（x＋

）＋5000＝10（

－

）2＋6760，

所以，

＝

，即x＝88cm时，宽为λx＝55cm，所用纸张面积最小．