开采损害学课程讲义2.doc
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第二章采动地表移动变形预计
重点：
①预计理论体系概况；
②概率积分法。
基本含义、基本概念、应用条件、应用方法、分布规律、特征值的确定方法，极值公式及计算、按特征值绘制移动变形分布图。
③半无限开采及半无限叠加方法；
④地表任一点移动变形预计方法；
⑤动态移动变形与静态方法的区别及其评价方法。
2.1地表移动和变形预计理论方法概述
开采沉陷损害预计理论，可以概括为影响函数方法，理论模型方法，经验方法三大类型。
2.1.1影响函数方法
①国内外学者及理论应用情况；
②假定开采单元矿层dv,其水平投影面积为dp,单元矿层开采引起地表点A的下沉表达式为：
（2-1）
③影响函数的可叠加性；
根据影响函数的叠加原理，对于开采范围为P的矿层开采引起地表点A的下沉量的通式表示为：
（2-9）
2.1.2经验方法
①前苏联应用的负指数函数方法；②英国煤田方法（NCB.1975）；③波兰学者Z.Kowalczyk（1972）积分网格法；④中国学者何国清提出的威布尔分布法；⑤各矿区通过观测曲线拟合得出的适用本矿区的典型剖面曲线法等。
2.1.3理论模型方法
属于理论模型方法是建立在力学模型上的，以及建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法。
在这方面主要有以A.Salstowicz（1958）等为代表的固体力学理论；J.Litwiniszy（1963）等为代表的随机介质理论。
建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法如：
有限单元法（FEM）；边界元法（BEM）；离散元（DEM）等方法；非线性力学（Nonlinear）等方法。
目前应用情况简介
2.2概率积分法（重点）
目前已成为我国乃至世界范围较为成熟、应用最广泛的预计方法之一。
2.2.1水平成层介质中的单元盆地
开采沉陷的随机性®随机介质理论为基础 ①非连续介质单元模型，②单元相互分离并发生相对运动。
如图2.1在三维问题中，地下（x0,y0,z0）处开采使地表点A（x,y,z）附近某一小块面积ds发生下沉这一事件的概率为：
（2-10）
d（x,y,z）为密度函数。
在x-z剖面的z水平上x处的一段岩石条dx内有下沉发生，同时在y-z剖面的同一高度上y处的一段岩石条dy内有下沉发生。
因此，ds发生下沉这一事件的概率为发生上述两事件的概率之积，即：
（2-11）
f为密度函数，x2、y2®对称性。
过原点引另一组正交水平轴x¢、y¢,使A点在这一系统中的坐标为（x¢,y¢,z¢）。
在新坐标系中，A点附近的微面ds发生下沉的概率为：
（2-12）
岩石水平成层Úf的形态皆一致。
微面面积不变Úds=ds¢；开采点与被考虑的微面相对位置不变ÚP（ds）=P（ds¢）。
从本质上讲，某一既定的微面在同一开采影响下的下沉概率与坐标轴方向的选择无关。
（2-13）
从而可得：
（2-14）
当采用下列方式选择坐标轴，使ox¢经过A点，且：
（2-15）
代入（2-14）得：
（2-16）
将（2-16）两端对x2、y2取偏微分可得：
（2-17）
（2-18）
由此可得：
（2-19）
移项得到：
（2-20）
上式左边为x的函数，右边为y的函数。
此方程成立的条件是左右两端都不依赖于自变量x、y，故可令式（2-20）为常量k，从而有：
（2-21）
将x2看作自变量，解此常微分方程得到：
（2-22）
式中，P为积分常数。
显然，远离中心两端的岩石下沉的概率小。
因此，从物理意义说k为负值，令k=-h2代入上式得：
（2-23）
同理
（2-24）
将上述结果代入式（2-13）有：
（2-25）
P（ds）Ùz0煤层的开采以随机的方式传至z水平上的随机分布。
由于，由此可得到顶板下沉盆地中的分块下沉体在z水平上造成的微小下沉盆地的表达式：
（2-26）
下沉盆地体积=（下沉概率×采高×开采面积）
单元开采Ú分块下沉体，单元盆Ú微下沉盆地。
令开采面积Ds=1个微小单位，采高w（x0,y0,z0）=1个微小单位的开采为单元开采。
单元开采在上覆岩层中造成的下沉盆地为单元下沉盆地we,于是得单元盆地下沉：
（2-27）
当然，孤立的下沉盆地并不存在，它们存在于统计意义之中。
①采出体积足够大地表出现下沉；
②大面积开采=∑单元开采；
③原始的位置→弹性变形→逐渐垮落→传递到地表（“三带”形成过程）→下沉盆地。
单元盆地是时间函数we=（x,y,z,t），对应的地表下沉盆地体积为：
（2-28）
Ve也是时间的函数。
根据A.Salstowicz假设，下沉盆地体积的增长率与采空区域未压密的体积成正比，即：
（2-29）
式中c—比例系数，当t=0时，Ve=0；当t®µ时，Ve=1。
解上述方程式可得：
（2-30）
盆地体积可由上述求得：
（2-31）
Ü
（①换元ahx=l，dx=（1/h）dl；hy=l，dy=（1/h）dl；a②）
则：
（与时间有关的概率） （2-32）
从而：
（2-33）
t®µ, （2-34）
当宽与高均为一个微小单位，长度为无穷大时的开采称为二维单元开采。
当开采长轴方向平行于y轴，此时形成槽形盆地，槽长平行于y轴，而在平行于x轴的任何剖面上，此盆地的形状均相同，称为二维单元盆地，表示为：
从而可得水平成层介质中二维单元下沉盆地的最终表达式为：
y=0；（-d2）=d2；1/hdl=dd
（2-35）
2.2.2单元盆地水平移动
假定在单元开采影响下岩石发生的变形很小，从弯曲带直到地表的整个岩层中移动变形是连续的，岩石发生形变但体积不变，即：
（2-36）
又 （we轴与z轴的指向相反）
从而有：
式中 k为积分常数，取决于边界条件。
由上式将we先对z微分再对x积分即可求得ue。
式中，再对x积分得：
由于对称的原因，在开采中心线上的点不发生水平移动，即：
，故由此得：
（2-37）
2.2.3半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动变形预计
所谓半无限开采，如图2.2所示，是指沿工作面推进方向在x=[+µ,0]区间已被开采，而沿垂直工作面推进方向的开采尺寸足够大，使之达到充分采动。
1.移动变形计算表达式
（1）下沉预计表达式
在图2.2中，采深为H，开采厚度为m，取坐标原点通过开采边界。
由于垮落的顶板岩石碎胀的原因，顶板最大下沉量一般小于开采厚度，为：
（2-38）
式中m—采高，mm；h—下沉系数，取决于顶板管理方法。
当开采ds一段矿层时，地表产生的下沉盆地为：
（2-39）
显然，当矿层自s=0开采至s=µ,地表稳定后的下沉盆地表达式可写为：
（3-40）
令h（x-s）=l,Úds=-dl/h，相应的积分限变为hx及-µ，代入上式得：
（2-41）
当x=-µ时，地表点应有最大值wmax,故
（2-42）
故上式 （2-43）
将上式代入式（2-41）得：
（2-44）
在上式中，当wmax给定时，取不同的h（ 见式2-48）值，作出w（x）对应曲线见图1.23表明，对于不同的h值所得到的理论下沉盆地具有不同的横向“发育”，下沉曲线也具有不同的最大斜率，其可通过对式（2-44）的微分得出：
（2-45）
当x=0，盆地具有最大的斜率：
（2-46）
又，从几何关系知Ú （2-47）
式中r—主要影响半径，。
其中：
H—采深，tgb—主要影响角正切（见图2.6～2.7）。
将式（2-47）代入式（2-44）得：
（2-49）
在这里引入误差积分函数：
则上式可写成如下形式：
（2-50）
（2）倾斜、曲率表达式
在式（2-35）对x取一阶、二阶导数，便可得到下沉盆地倾斜分布及曲率分布表达式：
（2-51）
（2-52）
（3）水平移动、水平变形表达式
由式（2-47）对z求导，得h¢，并将其代入式（2-37）中，得单元水平移动表达式：
（2-53）
将式（2-47）代入式（2-35）中并对x求导得单元盆地的倾斜表达式：
（2-54）
比较式（2-53）与（2-54）得：
式中，是不依赖于x而依赖于z的参量，令其等于B（z），则有：
（2-55）
对于地表来说，z等于开采深度H，B（z）为常数，并可令它等于B，则根据上式可得半无限开采条件下的水平分布表达式：
式中。
由于当x=0时，上式具有最大值
令b被称之为水平移动系数，则：
（2-56）
在上式中对x微分得水平变形表达式：
（2-57）
2.极值及其位置
在式（2-51）、（2-56）不难看出，当x=0时，地表倾斜和水平变形达到最大值：
（2-58）
（2-59）
在式（2-52）、（2-57）中对x微分，并令其等于零，同时当时得：
（2-60）
（2-61）
根据上述分析，将概率积分法的半无限开采下沉盆地主断面上任意点的移动变形预计公式列于表2-1，其移动变形分布形态如图2.3所示。
为了便于计算，在表2-2中以为引数给出了无因次量、、的数值。
用移动变形的最大值，乘以表2-2给出的移动变形的相对值（分布系数），就得到下沉盆地主断面内各点的移动和变形值。
表2-1概率积分法的半无限开采下沉盆地主断面内任意点移动变形预计公式
指标
主断面内任意点计算公式
极值计算公式
极值出现的位置
下沉
倾斜
曲率
水平变形
水平移动
2.2.4有限开采时地表移动盆地主断面的移动变形预计
1.走向主断面的移动变形预计
设矿层沿倾斜方向已达到充分采动，沿走向方向没有达到充分采动，在移动盆地走向主断面（图2.4）的计算宽度l。
根据叠加原理可求得此条件下的地表下沉分布预计式为：
（2-62）
令：
得：
，
在上式中作变元，换元有：
（2-63）
由此可见，有限开采实际上是由两个半无限开采叠加的结果，即w（x）表示开采边界在s=0处，且s>0部分矿层全部采出的半无限开采情况。
而w（x-l）表示开采边界在s=l处，且s>l部分矿层全部采出的半无限开采情况（图2.4）。
同样可得出有限开采条件下的其它移动变形指标的半无限叠加计算表达式：
倾斜 （2-64）
曲率 （2-65）
水平变形 （2-66）
水平移动 （2-67）
图2.4利用半无限开采叠加方法计算有限开采移动变形值
在有限开采情况下，移动盆地视开采宽度大小而发生变化，主要体现在移动变形的极值及其出现的位置和相应的移动变形参数（图2.5～2.7）。
下面分别进行讨论。
（1）由于对称性，盆地中的最大下沉将出现在开采中心x=l/2的点上，其数值等于：
（2-68）
在有限开采条件下地表下沉的最大值，在其它条件相同的情况下，主要取决于l/r值，图2.5给出了有限开采的地表最大下沉值与半无限开采条件下地表最大下沉值之比值以及拐点位置下沉值，随l/r而变化的关系。
可以看出，当时，，可看作达到充分采动。
（2）为确定有限开采时地表水平移动最大值及其出现在的位置，须使的二阶导数为零。
并令此点坐标为xu，xu的表达式可由下列超越方程解出。
有上述方程式可见，及相应的xu，点同时还是有限开采宽度l的函数，当有限开采宽度l超过主要影响半径r时，与xu也趋于定值。
其结果列于表2-3。
地表点倾斜与水平移动，其分布形态相同，极值点出现的位置也相同。
表2-3xu随l/r变化值对应表[9]
l/r
0.00397
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
xu/r
-0.397
-0.3500
-0.3032
0.2586
-0.2164
-0.1770
-0.1497
-0.1078
l/r
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.5
2.0
xu/r
-0.0791
-0.0549
-0.0358
-0.0216
-0.0120
-0.0013
-0.0
（3）有限开采条件下地表的曲率与水平变形出现在采空区中央点上，其值为：
（2-69）
（2-70）
根据求极值法可得，当：
时，具有：
2.倾斜主断面的移动变形预计
若矿层倾角较大时，地表移动盆地明显呈非对称分布，移动盆地的特征参数发生了变化。
倾斜主断面的下沉、倾斜和曲率与表（2-1）中的计算式基本相同，仅是在计算倾斜主断面上山一侧移动变形值时，以y/r2代替y/r，计算下山一侧移动和变形时，以y/r1代替y/r。
倾斜主断面的水平移动和水平变形计算式：
（注意附加值）
（2-71）
（2-72）
式中—倾斜主断面下山边界的主要影响半径（）和上山边界的主要影响半径（），
式中H1,H2—下山一侧拐点（d1）及上山一侧拐点（d2）对应的采深。
计算上山一侧的水平移动和水平变形时，式（2-71）～（2-72）中对应的计算式右端第二项取负号，计算下山一侧的水平移动和水平变形时取正号。
倾斜主断面y坐标的原点为有下山一侧拐点按开采影响传播角q作直线与地面的交点。
图2.6倾斜方向有限开采叠加计算图
图2.6给出了在矿层倾斜方向有限开采情况下，倾斜主断面上由两个半无限开采叠加方式计算移动变形的分析图。
其叠加计算式如下：
（2-73）
式中在式（2-73）中，带下标1的指标表示使用参数r1,b1；带下标2的表示使用参数r2，b2。
3.双向均为有限开采时的预计
双向均为有限开采时，由于另一个主断面也未达到充分采动的影响，在计算主断面的公式中需乘以一个采动系数Cx（Cy）。
其表达形式为（设，x对应矿床的走向；y对应矿床的倾斜）：
a）x主断面内各点的移动变形值计算式；
（2-74）
b）y主断面内各点的移动变形值计算式；
（2-75）
上式中，Æy方向非充分采动，Æx方向充分采动
Æx方向非充分采动，Æy方向充分采动
2.2.5预计参数的确定
在使用概率积分法预计地表移动变形中，需要确定的参数有：
Æ下沉系数h；Æ主要影响角正切tgb；Æ拐点偏移距d；Æ水平移动系数b。
1.下沉系数h
下沉系数是在充分采动条件下，由地表出现的最大下沉值与平均开采厚度之比来确定：
（2-76）
表2-4下沉系数与顶板管理方法的关系
顶板管理方法
充分采动下沉系数h
全部垮落法
0.45～0.95
带状充填法（外来材料）
0.55～0.70
干式全部充填法（外来材料）
0.40～0.50
风力充填法
0.30～0.40
水砂充填法
0.06～0.20
下沉系数与顶板管理方法及覆岩岩性有关，表2-4给出了各种顶板管理方法时，下沉系数的经验值。
表2-5给出了按覆岩岩性区分的概率积分法参数的经验值，可参考使用。
2.主要影响角正切tgb
主要影响角正切tgb的值与覆岩岩性有关，覆岩岩性越软、tgb值越大；反之，覆岩岩性越硬、tgb值越小。
我国具有一般地质采矿条件下的矿区tgb值在1.0～3.8范围，常见的为1.2～2.6（表2-5）。
知道了tgb值，就可以求出主要影响半径：
（2-77）
由上式可知，主要影响半径与采深成正比，与tgb成反比，是反映覆岩岩性和采深的参数。
采深越大、覆岩岩性越坚硬，采动地表影响的范围越宽，下沉盆地越平缓；反之，采深越小、覆岩岩性越软，采动地表影响的范围越狭窄，下沉盆地越陡峭，如图1.23所示。
在应用中可依据观测地表最大下沉值及最大倾斜值来确定：
或或者在充分采动条件下，由主断面的实测下沉曲线上分别确定下沉值为0.16wmax与0.846wmax的点与下沉值为0.5wmax的点（拐点）之平距应为0.4r，求出r值（图2.7）。
若两个平距求得的r值稍有不同，可取其平均值。
图2.7参数r及tgb的几何意义 图2.8拐点偏移原理示意图
3.拐点偏移距d
在充分采动条件下，在实测下沉曲线上，可依据下列特点来确定拐点位置：
（1）下沉值为的点；
（2），出现的点。
在非充分采动条件下，可参照表2-3值确定。
拐点偏移距与开采深度、覆岩岩性和矿层的硬度有关（图2.8）。
开采深度越大、覆岩岩性及矿层越坚硬，拐点偏移距越大；反之则越小。
我国煤矿矿区的拐点偏移距在（0.05～0.3）H范围，欧洲一些国家的d值在（0.0～0.17）H范围。
4.水平移动系数b
式中n—计算的观测次数。
我国煤矿矿区的水平移动系数一般在0.1～0.4之间。
表2-5 按覆岩性质区分的概率积分参数的经验值
覆岩类型
覆岩性质
概率积分法经验参数
主要岩性
平均坚固系数f
h
b
tgb
S0/H
影响传播角q
坚硬
以中生代地层硬砂岩、硬石炭岩为主，其他为砂质页岩、页岩、辉绿岩
>6
0.40～0.65
0.2～0.3
1.4～1.6
0.15～0.20
90°-（0.7～0.8）a
中硬
以中生代地层硬砂岩、石灰岩、砂质页岩为主，其他为软砾岩、致密泥灰岩、铁矿石
3～6
0.65～0.85
0.2～0.3
1.4～2.2
0.10～0.15
90°-（0.6～0.7）a
软弱
以新生代地层砂质页岩、页岩、泥灰岩及粘、砂质粘土等松散层
<3
0.80～1.00
0.2～0.3
1.8～2.6
0.05～0.10
90°-（0.6～0.7）a
5.按覆岩性质区分的概率积分参数的经验值
规程[18]指出，在没有本矿区基本实测资料的经验参数时，可依预计开采覆岩的性质按表2-5确定概率积分法参数。
2.3利用叠加原理预计实例
某矿采用走向长壁全部冒落管理顶板法开采，煤层平均埋深H=200m、倾角a=3°、采高m=2.0m;开采工作面沿走向推进距:
L1=800m，开采工作面宽度:
L2=100m;在该地质采矿条件下的岩层移动参数:
tgb=2.0；d=0.1H；b=0.3；h=0.5。
试计算采动地表最大移动变形值，应用半无限叠加方法计算并绘制沿工作面方向下沉剖面图。
1.最大移动变形值
；；；；
2.计算绘制下沉剖面图
在垂直工作面开采方向作剖面，给出拐点位置，并以左拐点为准建立计算坐标系。
根据剖面形状确定出计算点（包括两个拐点、±0.4r、及采空区中心点），计算结果列于表2-5，由结果数据应用GRAPHER4.0绘制下沉剖面图（图2.9）
表2-5 半无限叠加计算数据
y
-80
-60
-40
-20
0
20
30
40
60
80
100
120
140
160
180
y/r
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.3
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
w（y）
22.6
66.5
158.1
308.1
500
691.9
773.9
849.1
933.5
977.4
993.7
998.6
999.6
1000
1000
y
-80
-60
-40
-20
0
20
30
40
60
80
100
120
140
160
180
y-L
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-30
-20
0.0
20
40
60
80
100
120
（y-l）/r
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.3
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
w（y-l）
0.4
1.5
6.3
22.6
66.5
158.1
226.1
308.1
500
691.9
841.9
933.6
977.4
993.7
998.5
w（y）-w（y-l）
22.2
65.0
151.8
285.5
433.5
533.8
547.8
541.0
443.5
285.5
151.8
65.0
22.2
6.3
1.5
同样利用叠加方法，可以得出非充分采动条件下的地表其它移动变形值i0y、U0、K0y、e0y。
2.4地表移动盆地内任意点的移动变形预计
半无限开采和有限开采条件下，应用叠加方法解决非充分开采条件下，主断面上点的预计问题
预计非主断面任意一点的移动变形来满足工程应用要求。
空间问题，三维问题。
1.地表任意点的下沉
根据图2.1来建立地表移动盆地内任意点的下沉方程式。
设在深H处，采出肯定会引起地表点下沉的体积为2s0×2t0×2m0的矿层，则组成此一开采的一个单元体积1×1×1的开采，在地表所形成的最终稳定的单元下沉盆地的表达式，即式（2-34）
根据叠加原理，在体积为2s0×2t0×2m0的大面积开采影响下地表点的下沉为：
（2-78）
设对于水平矿层开采，顶板下沉量为wmax，将式（2-38）及式（2-47）代入上式得：
（2-79）
图2.10利用主断面移动变形值计算任意点移动变形值的几何意义示意图
2
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