与名师对话理离散型随机变量的均值与方差.docx

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与名师对话理离散型随机变量的均值与方差

第八节　离散型随机变量的均值与方差

高考概览：

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

[知识梳理]

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

…

（1）均值：

称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（2）方差与标准差：

D（X）＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，

（2）D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

[辨识巧记]

　一个提醒

均值E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E（X）是不变的，它描述X值的取值平均状态．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）期望值就是算术平均数，与概率无关．（　　）

（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．（　　）

（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．（　　）

（4）均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2．（选修2－3P64练习T2改编）已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E（X）＝（　　）

A.B．2C.D．3

[解析]　E（X）＝1×＋2×＋3×＝.

[答案]　A

3．已知随机变量X的取值为0,1,2，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则D（X）＝（　　）

A.B.C.D.

[解析]　设P（X＝1）＝p，则P（X＝2）＝1－p－＝－p.

由E（X）＝1，得0×＋1×p＋2×＝1，得p＝，则D（X）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝.

[答案]　A

4．设X～B（n，p），若E（X）＝12，D（X）＝4，则n，p的值分别为（　　）

A．18和B．16和

C．20和D．15和

[解析]　由得n＝18，p＝.

[答案]　A

5．（选修2－3P69B组T1改编）抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．

[解析]　一次试验成功的概率P＝1－＝，所以10次试验中成功次数的均值为10×＝.

[答案]　

考点一　离散型随机变量的均值与方差

【例1】　（2019·青岛一模）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：

滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ（单位：

元），求ξ的分布列与数学期望E（ξ），方差D（ξ）．

[思路引导]　

（1）→

（2）→→→

[解]　

（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为

P3＝×＝×＝，

则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

（2）由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：

P（ξ＝0）＝×＝；

P（ξ＝40）＝×＋×＝；

P（ξ＝80）＝×＋×＋×＝；

P（ξ＝120）＝×＋×＝；

P（ξ＝160）＝×＝.

ξ的分布列为

120

160

E（ξ）＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.

D（ξ）＝（0－80）2×＋（40－80）2×＋（80－80）2×＋（120－80）2×＋（160－80）2×＝.

（1）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．

（2）注意E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）的应用．

[对点训练]

（2019·石家庄调研）某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．

（1）求恰有2人选修物理的概率；

（2）求学生选修科目个数ξ的分布列及数学期望．

[解]　

（1）所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式有C·22种，从而恰有2人选修物理的概率为＝.

（2）ξ的所有可能值为1,2,3，

P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝（或P（ξ＝2）＝＝），

P（ξ＝3）＝＝（或P（ξ＝3）＝＝）．

故ξ的分布列为

所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.

考点二　与二项分布有关的均值与方差

【例2】　（2019·江西上饶模拟）随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民对共享单车的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：

每周使用次数

1次

2次

3次

4次

5次

6次及

以上

男

女

合计

每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．

（1）求抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率；

（2）为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．

[解]　在该市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为.

（1）抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为P＝1－4－4＝.

（2）记抽出的女“骑行达人”人数为Y，则X＝500Y.

由题意，得Y～B，

∴P（Y＝i）＝Ci4－i（i＝0,1,2,3,4）．

∴Y的分布列为

∴X的分布列为

500

1000

1500

2000

∴E（Y）＝4×＝，

∴X的数学期望E（X）＝500E（Y）＝800.

　二项分布的期望与方差的求解技巧

（1）如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np；D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量．

（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）．

[对点训练]

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望及方差．

[解]　

（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此

P（A1）＝（0.006＋0.004＋0.002）×50＝0.6，

P（A2）＝0.003×50＝0.15，

P（B）＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

（2）X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为

P（X＝0）＝C·（1－0.6）3＝0.064，

P（X＝1）＝C·0.6（1－0.6）2＝0.288，

P（X＝2）＝C·0.62（1－0.6）＝0.432，

P（X＝3）＝C·0.63＝0.216.

分布列为

0.064

0.288

0.432

0.216

因为X～B（3,0.6），所以数学期望E（X）＝3×0.6＝1.8，

方差D（X）＝3×0.6×（1－0.6）＝0.72.

考点三　均值与方差在决策中的应用

【例3】　（2018·全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

[思路引导]　

（1）→

（2）→→→

[解]　

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）＝Cp2（1－p）18.因此f′（p）＝C[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]＝2Cp（1－p）17（1－10p）．令f′（p）＝0，得p＝0.1.当p∈（0,0.1）时，f′（p）>0；当p∈（0.1,1）时，

f′（p）<0.

所以f（p）的最大值点为p0＝0.1.

（2）由

（1）知，p＝0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180,0.1），

X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.

所以E（X）＝E（40＋25Y）＝40＋25E（Y）＝490.

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．

由于E（X）>400，故应该对余下的产品作检验．

　利用均值、方差进行决策的2个方略

（1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．

（2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．

[对点训练]

（2019·郑州市第一次质量预测）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

周一

无雨

有雨

周二

无雨

有雨

无雨

有雨

收益

20万元

15万元

10万元

7.5万元

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.

（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；

（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

[解]　

（1）设下周一无雨的概率为p，由题意，p2＝0.36，p＝0.6，

基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，

则P（X＝20）＝0.36，P（X＝15）＝0.24，P（X＝10）＝0.24，P（X＝7.5）＝0.16，

所以基地收益X的分布列为

7.5

0.36

0.24

0.16

基地的预期收益E（X）＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，

所以基地的预期收益为14.4万元．

（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，

则其预期收益E（Y）＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a（万元），

E（Y）－E（X）＝1.6－a，

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．

课后跟踪训练（七十七）

基础巩固练

一、选择题

1．（2019·广东茂名第二次模拟）若离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E（X）＝（　　）

A．2B．2或C.D．1

[解析]　因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2（舍去）或a＝1，所以E（X）＝.故选C.

[答案]　C

2．已知随机变量X的分布列为

0.2

0.4

则E（6X＋8）＝（　　）

A．13.2B．21.2C．20.2D．22.2

[解析]　由题意知E（X）＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，

∴E（6X＋8）＝6E（X）＋8＝6×2.2＋8＝21.2.

[答案]　B

3．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D（η）的值为（　　）

－1

A.－B.C.D.

[解析]　E（ξ）＝－1×＋0×＋1×＝－，

D（ξ）＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝，∴D（η）＝D（2ξ＋2）＝4D（ξ）＝，故选D.

[答案]　D

4．（2019·四川绵阳二模）某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（　　）

A．30万元B．22.5万元

C．10万元D．7.5万元

[解析]　设该公司投资成功的个数为X，则X～B.

∴E（X）＝3×＝，

∴该公司三个投资项目获利的期望为×（20－5）＝22.5万元．故选B.

[答案]　B

5．（2019·日照模拟）甲、乙两自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X、Y的分布列分别是

0.7

0.1

0.5

0.3

0.2

据此判断（　　）

A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好

C．甲比乙质量相同D．无法判定

[解析]　E（X）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

E（Y）＝0.3＋0.4＝0.7，

∴E（X）

∴甲车床生产的零件次品较少，故选A.

[答案]　A

二、填空题

6．已知随机变量ξ的分布列为

0.5

若E（ξ）＝，则D（ξ）＝________.

[解析]　由分布列性质，得x＋y＝0.5.

又E（ξ）＝，得2x＋3y＝，可得

D（ξ）＝2·＋2·＋2·＝.

[答案]　

7．（2017·全国卷Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝________.

[解析]　有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D（X）＝np（1－p）＝100×0.02×0.98＝1.96.

[答案]　1.96

8．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________．

[解析]　随机变量X的取值为0,1,2,4，则P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝4）＝，

因此E（X）＝.

[答案]　

三、解答题

9．袋中装着标有数字1,2的小球各2个，标有数字3的小球4个．从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的2个小球上的最大数字，求：

（1）取出的2个小球上的数字不相同的概率；

（2）随机变量ξ的分布列和均值．

[解]　

（1）记“取出的2个小球上的数字不相同”为事件A，

所以P（A）＝＝.

（2）由题意，ξ可能的取值为：

1,2,3.

P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝.

所以随机变量ξ的分布列为

因此ξ的均值为E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.

10．（2017·天津卷）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

[解]　

（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P（X＝0）＝××＝，

P（X＝1）＝××＋××＋××＝，

P（X＝2）＝××＋××＋××＝，

P（X＝3）＝××＝.

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P（Y＋Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）＋P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）P（Z＝1）＋P（Y＝1）（Z＝0）

＝×＋×＝.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

能力提升练

11．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（　　）

A．5B．5.25C．5.8D．4.6

[解析]　依题意，知X的所有可能取值为3,4,5,6，

P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，

P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝.

所以E（X）＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.

[答案]　B

12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E（X）为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　依题意，知X的所有可能值为2,4,6，

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P（X＝2）＝，

P（X＝4）＝×＝，P（X＝6）＝2＝，

故E（X）＝2×＋4×＋6×＝.

[答案]　B

13．（2018·吉林四平期末）某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝________.

[解析]　由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.

P（ξ＝0）＝××＝，P（ξ＝1）＝××＋××＋××＝，P（ξ＝2）＝××＋××＋××＝，P（ξ＝3）＝××＝.∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

[答案]　

14．（2019·佛山模拟）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：

应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：

至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

[解]　

（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.

P（ξ＝1）＝＝；

P（ξ＝2）＝＝；

P（ξ＝3）＝＝.

应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为

E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝2.

设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.

P（η＝0）＝C3＝；

P（η＝1）＝C12＝；

P（η＝2）＝C2＝；

P（η＝3）＝C3＝.

应聘者乙正确完成题数η的分布列为

E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

（或因为η～B，所以E（η）＝3×＝2）

（2）因为D（ξ）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝，D（η）＝3××＝.

所以D（ξ）

综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；

从做对题数的方差考查，甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．

拓展延伸练

15．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）＝3，则D（X）＝（　　）

A.B.C.D.

[解析]　由题意，X～B，

又E（X）＝＝3，∴m＝2，

则X～B，故D（X）＝5××＝.

[答案]　B

16．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：

每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p（p≠0），射击次数为Y，若Y的数学期望E（Y）>，则p的取值范围是________．

[解析]　由已知得P（Y＝1）＝p，P（Y＝2）＝（1－p）p，

P（Y＝3）＝（1－p）2，

则E（Y）＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3>，

解得p>或p<，

又p∈（0,1），所以p∈.

[答案]　

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