《超级画板》第七篇立体几何全解.docx
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《超级画板》第七篇立体几何全解
《超级画板》第七篇立体几何
本书介绍的超级画板的版本，并不具有立体几何作图的功能；但它也可以用来画一些模拟立体关系的图形。
偶尔用上了，就免去了切换软件的麻烦。
如果您在某一段相当长的时间内都要作立体图形，建议使用其他的软件，例如Z+Z智能教育平台系列中的“立体几何”。
该软件具有的立体几何动态测量、直接作出3维坐标点、在空间对点、线、圆的跟踪以及空间参数曲线等功能，更要方便一些。
但是，用超级画板作出的图形，要更漂亮一些。
一长方体的截面
用一张平面截割一个长方体，得到的截面都是什么形状？
这是立体几何课上常常要讲的内容。
也常常被作为多媒体课件的题材。
本书配套资源中的文件“7-1长方体的截面.zjz”的第1页中，显示出用超级画板制作的交互性模拟长方体，如图7-1：
图7-1
拖动点A可以改变视角。
当点A被拖到直线OF的右侧时，线段HG由实线变为虚线，而OF由虚线变为实线；当点A被拖到直线OH的上方时，线段OH由虚线变为实线，而GF由实线变为虚线；等等。
不妨先想想，这种模拟立体感的效果，是如何做出来的？
用来截割立方体的平面，是由分别在射线CD、DE、DG上所取的3个点I、J、K所确定的。
文件中另外作了3个点，对应地命名为i、j、k，拖动点i、j、k可以控制点I、J、K的位置，从而改变截割平面的位置。
相应地，截面的形状变为三角形、四边形、五边形或六边形
这些在不同情形分别显示出不同的截面的效果，又是如何做出来的？
下面来说明制作这样的立体效果的操作原理。
说明了其实很简单。
先来说明虚线和实线相互转化的道理。
其实，这些能够虚实变化的线段，都是两条线重叠而成。
当两条线中的实线隐藏起来时，就只看见虚线了。
你会想到，在一定条件下隐藏实线，要用到动态alpha参数。
类似地，截面的变化，也是利用动态alpha参数做出来的效果。
大致操作分为4步：
（1）画出长方体的骨架；
（2）作出截割平面和有关截面的顶点；（3）实现虚实线变化的效果；（4）作出截面多边形并设置其动态alpha参数。
本课件具体步骤较为繁琐，此处从略，有兴趣的读者参看《超级画板自由行》。
[习题7-1]掌握本课件的使用操作。
打开上述文件的第2页，观察图中的立方体和截面。
这里确定切割平面的三个点I、J、K分别在3条相互平行的棱上。
找寻应当填充而未填充或填充错误的截面，填充并且正确设置其动态alpha参数。
二圆锥、圆台和圆柱的体积
打开配套资源中文件“圆锥圆台和圆柱的体积.zjz”的第一页，如图7-2。
图7-2
图中有一个圆锥体的直观图。
下方有参数R和h的变量尺。
左上部的测量数据文本指出h=AB是圆锥体的高，R=AC是圆锥体底面的半径，V=πR2h/3是圆锥的体积。
拖动变量尺上的滑钮，可以改变圆锥的高h和底半径R，这时图上的圆锥和3个测量数据都会作相应的改变。
拖动变量尺上的滑钮来改变参数，很难让参数取到准确的整数值，这对于有些练习题的呈现很不方便。
我们可以将变量动画和变量尺结合起来，方便地对参数R和h进行设置。
注意到左下部有一条较短的变量尺，尺的右方注有“设置整数值”的字样。
拖动这条变量尺上的滑钮，变量尺上面的数字框里的整数会改变。
图上的当前整数值是11。
这时单击标注有“设置h为整数”的按钮，h的值就会准确地变成11；若再拖动此变量尺的滑钮使上面的整数值调整为7,单击标注有“设置R为整数”的按钮，R的值就会准确地变成7。
当然，圆锥体积的测量数据也会相应地变化。
如果需要参数R和h准确地取其它数值，还可以打开这两个标注有“设置…为整数”的按钮的属性对话框，直接进行设置。
文件的第2页画了一个直观的圆台体，有类似的变量尺、测量数据文本框和按钮，只是多了一个参数r，即圆台上底的半径。
如图7-3。
图7-3
在两个图中，右上部都有一个标注有“渲染”字样的按钮和一条标注有“渲染颜色”的变量尺。
拖动该变量尺上的滑钮，锥体（台体）的渲染颜色会有多种多样的变化。
单击“渲染”按钮，渲染颜色会消失而留下线条图，如图7-4；再单击“渲染”按钮，渲染颜色恢复。
图7-4
下面以第一页为例，说明圆锥体直观图的画法，渲染着色的方法，设置参数为整数的方法以及隐藏和恢复渲染颜色的按钮的制作方法。
至于第2页，还多了一些功能，留作习题。
注意这里的说明中，操作顺序和上述文件不完全一样。
1.圆锥体直观图的画法
（1）用文本作图命令，作锥体底面中心A、顶点B和底面圆周上一点C（编号顺次为5、6、7）:
Point（0,0,,,,）;
Point（0,h,,,,）;
Point（R,0,,,,）;
（2）连接线段AB、AC、BC（编号顺次为8、9、10）：
Segment（5,6,）;
Segment（5,7,）;
Segment（6,7,）;
（3）顺次选择点C和线段AC、BC、AB（最后选择的是对称轴），在右键菜单中单击“关于直线的对称图形”，作出点C和线段AC、BC关于直线的对称图形点D和线段AD、BD。
若用文本命令，其函数序列为：
Symmetric（7,8,）;
Symmetric（9,8,）;
Symmetric（10,8,）;
这里的作图函数“Symmetric（,,）;”是文本作图对话框里“图形变换”类里的第1个。
其中第一个参数是要作对称变换的几何对象的编号，第2个参数是对称轴的编号。
每执行1条命令只能对1个几何对象作变换。
（4）使用文本作图命令做出圆锥底面的直观图。
它是一个以A为心，AC=R为长半轴的标准椭圆（编号14）。
作图函数是文本作图对话框中“圆锥曲线”类里的第1个：
NormalEllipse（5,a=R,b=R/6,x,）;
其中第1个参数是椭圆中心A的编号；第2个参数a=R表示椭圆的长半轴为R；第3个参数b=R/6表示椭圆的短半轴为R/6；第4个参数x表示椭圆的长轴平行于X轴。
严格说来，等腰三角形BCD是圆锥体的平行于画面的轴截面，不是圆锥体的直观的轮廓线。
直观地看，轮廓线应当是自点B所作的椭圆的两条切线段，它们与BC、BD很接近。
另外，下面作出的圆锥体母线的轨迹，也就形成了圆锥体的直观的轮廓线。
2.圆锥体渲染着色的方法
（5）用智能画笔，在椭圆上取任意点E（编号15）；作线段BE（编号16，注意上述文件中为线段BG,编号也不同）。
文本作图命令为：
PointOnConic（14,）;
Segment（6,15,）;
（6）用文本作图命令做出线段BE的轨迹（编号17）：
Locus（15,,,,,,16）;
（7）对轨迹的属性进行设置：
频率设置在200到400之间；参数保持缺省值0到2*pi；
（8）注意，这轨迹是线段BE的轨迹，将线段BE的画笔设置为动态颜色，轨迹的颜色才能多姿多彩。
选择线段BE，单击右键打开其属性对话框，在“画笔”栏中点选“动态颜色”，打开“动态颜色”对话框；在对话框上部“颜色类型”栏点选“HLS（……）颜色空间”；如图7-5，在下部第一行左栏键入颜色参数a+u000*36，将此行右栏中的255改为360；在第2行左栏键入亮度参数0.5；在第3行键入饱和度参数1。
单击“确定”关闭动态颜色对话框；再单击“确定”关闭属性对话框。
图7-5
上面设置的颜色参数a+u000*36中的变量u000，是点E在椭圆上的位置参数，也是BE的轨迹的参数。
随着点E在椭圆上的位置的变化，u000在0到2π之间取不同的值，BE的轨迹也就呈现出不同的颜色。
参数a是一个自由变量，a的变化可以影响轨迹颜色的范围。
（9）用文本命令做出参数a的变量尺，变化范围设置为0到360：
Variable（a,0,360,）;
拖动变量尺上的滑钮，可以看到轨迹颜色的变化。
3.设置参数为整数的方法
（10）执行菜单命令“测量|测量表达式”，在测量表达式对话框中分别输入R、h和pi*h*R^2/3，作出R、h和圆锥体积πR2h/3的测量数据文本框。
另外，再输入表达式floor（x），作出其测量数据的文本框，为设置参数为整数作准备。
这些操作的文本命令为：
MeasureExpress（R）;
MeasureExpress（h）;
MeasureExpress（pi*R^2*h/3）;
MeasureExpress（floor（x））;
（11）用文本作图命令作出参数R、h和x的变量尺：
Variable（R,0,20,）;
Variable（h,0,20,）;
Variable（x,0,20,）;
（12）在右键菜单中单击“动画”，在对话框中输入R和h，两参数之间用逗号分开。
单击确定，作出参数R和h的动画按钮。
其文本命令为：
AnimationVar（R,）;
AnimationVar（h,）;
两个按钮的属性设置相同：
频率设置为1（或不超过10），最大值和最小值都设置为floor（x），类型设置为一次运动，文本写成“设置R为整数”或“设置h为整数”。
这样操作后，只要单击其中一个按钮，就可以把R或h设置为floor（x）的当前值了。
4．制作隐藏和显示对象的按钮
前面我们都是用设置动态alpha参数的办法来控制对象的隐藏和显示。
现在介绍直接制作隐藏显示按钮的方法。
（1）打开文本作图命令对话框，展开“对象的属性”条目下的函数列表，两次双击第一行的“Button”函数（这是单变元函数，用来制作隐藏或显示按钮），再双击第2行的“Button”函数（这是多变元函数，用来制作序列按钮）。
在上方的文本编辑栏里键入参数构造3行文本命令：
Button（A）;
Button（B）;
Button（28,29,,渲染）;
如图7-6：
图7-6
这里，前两个函数中的参数A和B分别是所生成的按钮上的文本，即按钮的名字。
至于按钮的作用，下面要再作设置。
第3个函数中的参数28、29分别是按钮A、B的编号。
这是因为当前的对象编号已到27，新生成的按钮编号自然是28、29了。
参数“渲染”是第3个按钮上面的文本，即该按钮的名字。
运行文本命令后，生成按钮A、按钮B和渲染按钮。
（2）右键单击按钮A，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框，如图7-7的左部。
7-7
在对话框的“动作”栏的左上部空白条的右端，有一个带黑三角的按钮。
单击黑三角展开一个功能目录，其中第1行是“Hide”（隐藏），第3行是“Show”（显示），这是最常用的两种功能。
单击“Hide”，则“Hide”出现在上部空白条内，功能目录关闭；单击“增加动作”按钮，则在左下部空白栏中出现“隐藏对象”字样。
单击“隐藏对象”，则此行文本被黑色覆盖，文字反白。
这时可以指定要隐藏的对象了。
在对话框右部的对象列表栏里，双击17号对象“轨迹BE”，则在中上部空白栏里出现一行“[17]轨迹BE”。
如果需要，还可以双击想隐藏的其它对象。
这里我们只要隐藏此轨迹，就单击“确定”关闭对话框。
（3）右键单击按钮B，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框，如图7-11的右部。
单击左上部空白条的右端黑三角，展开功能目录，单击“Show”，则“Show”出现在上部空白条内，功能目录关闭；单击“增加动作”按钮，则在左下部空白栏中出现“显示对象”字样。
单击“显示对象”，则此行文本被黑色覆盖，文字反白。
这时可以指定要显示的对象了。
在对话框右部的对象列表栏里，双击17号对象“轨迹BE”，则在中上部空白栏里出现一行“[17]轨迹BE”。
单击“确定”关闭对话框。
上述设置完成后，单击按钮A则轨迹隐藏，单击按钮B则轨迹出现。
若单击渲染按钮，则轨迹隐藏；再单击它，轨迹出现。
所以，渲染按钮兼有按钮A和按钮B的作用，从而可以把按钮A和按钮B隐藏起来。
这只要在对象工作区单击这两个按钮项前面的小方形；或选择这两个按钮再在右键菜单中单击“隐藏”。
文件的第2页，比第一页多了一个长半轴为r椭圆（圆台的上底面）。
相应地多了有关r的变量尺、测量数据文本框和设置r为整数的动画按钮。
此外，当设置r=0时，圆台成为圆锥；当设置R和r为同一数值时，圆台又成为圆柱。
相应的，在这两种情形下，会出现圆锥体积公式和圆柱体积公式的测量数据文本框，如图7-8和图7-9。
图7-8
图7-9
[习题7-2]参考上述文件的第2页，做出一个圆台的直观图和体积的测量数据文本框。
要求当圆台上底半径为0时成为圆锥，当两底半径相等时成为圆柱，并同时出现圆锥和圆柱的体积公式和测量数据。
[习题7-3]试画出上述圆台的侧面展开图，并制作其面积测量数据文本框（参看文件第3页）。
三空间的曲线
这一节里，我们以空间的螺旋线和李萨如曲线为例，说明绘制动态空间曲线的方法。
打开本书配套资源中的文件“7-3圆柱面上的螺旋线.zjz”第一页，如图7-10。
图7-10
图中的点A、B、C、E是可以拖动的。
单击“显示或隐藏说明”按钮，会出现一个文本框，其中有操作说明和空间曲线参数方程以及它在平面上的投影的参数方程。
操作说明指出：
拖动点A（a,0）改变螺旋圈数，拖动点B（b,c）改变投影方向，拖动点C（b*k,c*k）改变螺圈直径，拖动点E旋转螺旋线。
你不妨动手拖一拖，先有些感性认识。
再来看空间曲线的参数方程:
从方程看出，螺旋线的轴线应当和X轴重合，这和图上的曲线不一样。
原来，图上的曲线是旋转过的。
在左方的对象工作区用鼠标单击编号为5的曲线前的小方形来勾选它，就可以看见曲线的原型。
知道了空间曲线的参数方程，如何在平面坐标系里直观地把曲线画出来呢？
设想把空间曲线投影在XY平面上，会有多种投影方法。
不论哪种方法，都相当于用一组变换公式，把空间点的三维坐标变成投影点的二维坐标。
用（x,y,z）表示空间点的三维坐标，（f,g）表示投影点的二维坐标，u、v是两个参数，有一个简单的常用的变换是：
这个变换表示的一类投影叫做“斜二侧类投影”。
在上述变换公式中，取u=b、v=c、x=x（t）、y=y（t）、z=z（t）则上述空间曲线在XY平面上的投影的参数方程为：
有这个公式，以下的操作就是顺理成章的了。
1.根据空间曲线参数方程绘制圆柱面上的螺旋线
（1）用文本命令作出曲线和有关的控制点：
Function（t+b*k*cos（a*t）,k*sin（a*t）+c*k*cos（a*t）,t,0,6*pi,500,）;
Point（a,0,a,,）;
Point（b,c,b,c,,）;
Point（b*k,c*k,k,,,）;
Point（b*k*cos（6*a*pi）+6*pi,k*sin（6*a*pi）+c*k*cos（6*a*pi）,,,,）;
这里第1行作出曲线，以下几行顺次作出坐标点A、B、C、D；其中C和D分别是曲线的两端点，而点D是不能拖动的。
（2）单击“文本”图标或执行菜单命令“插入|文本”，在打开的对话框里输入说明文字和有关的数学表达式，单击“确定”作出说明文本，编号为10。
此操作若用文本命令执行，命令文本为：
Text（拖动点A（a,0）改变螺旋圈数
拖动点B（b,c）改变投影方向
拖动点C（b*k,c*k）改变螺圈直径
拖动点E旋转螺旋线
空间曲线参数方程:
$fc{x（t）=t,y（t）=k*sin（a*t）,z（t）=k*cos（a*t）}
曲线在x-y平面上的投影的参数方程:
$fc{x（t）=t+b*k*cos（a*t）,y（t）=k*sin（a*t）+c*k*cos（a*t）}）;
注意，在文本命令函数内使用分号可能会出错，所以这里在方程的表达式之间用逗号分隔。
运行后，再将方程表达式中的逗号重新编辑为分号，才能正确显示。
（3）以下添加其他文本标题，并制作按钮来控制编号为10的说明文本的隐藏和显示。
TransformText（等径螺旋线）;
Text（圆柱面上的螺旋线）;
Button
（1）;
Button
（2）;
Button（13,14,,显示或隐藏说明）;
Text（参数方程作图）;
控制隐藏显示的按钮的制作方法见前一节“二圆锥、圆台和圆柱的体积”的第4段“4制作隐藏和显示对象的按钮”。
（4）最后，对曲线作一个旋转变换：
Point（3,2,）;
MeasureAngleOfVector（7,17）;
Rotate（5,7,m000,）;
Rotate（8,7,m000,）;
Rotate（9,7,m000,）;
这里第1行命令作出编号为17的自由点E,其初始位置为（3，2）；第2行命令测量出BE的方向角m000（注意，点E的编号为7），作为后面旋转的参数。
以下3条命令，分别对曲线（编号5）、点C和点D（编号分别为8和9）作旋转；旋转中心为B,旋转角为m000。
这样，把原来编号为5的曲线隐藏后，就是图7-10中的曲线了。
2．绘制圆柱面上的螺旋线的轨迹方法
上述文件的第2页，如图7-11，画出了圆柱侧面上的螺旋线。
图7-11
其文本作图程序只有13行：
Point（1,1,）;
Point（1,-1,）;
EllipseOfFocusPoint（1,5,6,）;
Point（1,5,）;
Translate（7,1,8,）;
PointOnConic（7,）;
Segment（1,8,）;
PointOnLine（11,）;
Parallelogram（10,1,12,）;
Locus（10,12,,,,,13）;
Translate（11,1,10,）;
Locus（10,,,,,,15）;
TransformText（圆柱面上的螺旋线）;
这里开始2行作出自由点A、B（编号分别为5，6）；
第3行，作出以O、A为焦点且经过点B的椭圆（编号为7）作为圆柱体的下底面；
第4行，作出自由点C；
第5行，对椭圆作沿向量OC的平移，得到圆柱体的上底面；
第6行，在前一个椭圆（编号为7）上取点D（编号为10）；
第7行，连接线段OC（编号为11）；
第8行，在线段OC上取点E（编号为12）；
第9行，作点F（编号为13）使EODF为平行四边形;
第10行，以点D、E为主动点，作点F的轨迹（螺旋线）；
第11行，对线段OC作沿向量OD的平移，得到圆柱体的一条母线（编号为15）；
第12行，以点D为主动点，作圆柱体的母线的轨迹（渲染用）；
第13行，添加标题。
运行后，要对轨迹的属性进行设置。
点F的轨迹频率设置在200以上，周期比设置为10和1。
母线的轨迹的颜色变化，是通设置母线本身的动态颜色而实现的，方法和前一节类似。
3.根据空间曲线参数方程绘制圆锥面上的螺旋线
操作过程和根据空间曲线参数方程绘制圆柱面上的螺旋线完全一样，不同的只是曲线的参数方程，可作为习题。
操作时可参看文件“7-4圆锥面上的螺旋线.zjz”第1页，如图7-12。
图7-12
从图中可以看出曲线在空间和在投影平面上的参数方程。
文本命令程序如下：
Function（t+b*（y*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*sin（a*t））,
（x+c*y）*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*（cos（a*t）+c*sin（a*t））,t,0,6*pi,500,）;
Point（a,0,a,,）;
Point（b,c,b,c,,）;
Point（0,k,,k,,）;
Point（6*pi+b*y,x+c*y,y,x,,）;
Text（拖动点A（a,0）改变螺旋圈数
拖动点B（b,c）改变投影方向
拖动点C（0,k）改变螺圈直径
拖动点E旋转螺旋线
拖动点D改变圆锥顶点位置
空间曲线参数方程:
$fc{x（t）=t,
y（t）=x*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*cos（a*t）,
z（t）=y*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*sin（a*t）}
曲线在x-y平面上的投影的参数方程:
$fc{x（t）=t+b*（y*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*sin（a*t））,
y（t）=（x+c*y）*t/（6*pi）+（1-t/（6*pi））*k*（cos（a*t）+c*sin（a*t））}）;
//运行后将方程表达式中的逗号重新编辑为分号;
TransformText（圆锥面上的螺旋线）;
Button
（1）;
Button
（2）;
Button（12,13,,显示或隐藏说明）;
Text（参数方程作图）;
Point（3,2,）;
MeasureAngleOfVector（7,16）;
Rotate（5,7,m000,）;
Rotate（8,7,m000,）;
Rotate（9,7,m000,）;
4．绘制圆锥面上的螺旋线的轨迹方法
操作类似于绘制圆柱面上的螺旋线的轨迹方法。
参看上述文件的第2页（图7-13）和后面的文本作图命令，可作为习题。
图7-13
在运行下述程序后，注意对轨迹的属性进行设置。
Point（1,1,）;
Point（1,-1,）;
EllipseOfFocusPoint（1,5,6,）;
Point（1,5,）;
PointOnConic（7,）;
TransformText（圆柱面上的螺旋线）;
Text（轨迹作图）;
Segment（8,9,）;
Segment（5,8,）;
PointOnLine（13,）;
Segment（5,9,）;
IntersectionOfLinePLine（12,14,15,）;
Locus（9,14,,,,,16）;
Locus（9,,,,,,12）;
5．根据空间曲线参数方程绘制3维李萨如曲线
在第四篇中我们介绍过2维的李萨如曲线（图4-25）。
3维的李萨如曲线变化更多，更有趣。
它的空间参数方程为：
用带有参数u、v的斜二侧类投影，投影到XY平面上，其参数方程为
有了方程，以下就可以用文本命令绘制曲线了。
文本命令程序为：
Function（a*cos（k*t）+u*cos（n*t）,b*sin（m*t）+v*cos（n*t）,t,0,8*pi,1000,）;
Point（a,b,a,b,,）;
Point（u,v,u,v,,）;
Variable（k,）;
Variable（m,）;
Variable（n,）;
Variable（x,）;
AnimationVar（k,）;
AnimationVar（m,）;
AnimationVar（n,）;
MeasureExpress（k）;
MeasureExpress（m）;
MeasureExpress（n）;
TransformText（空间李萨如曲线）;
Text（方程作图）;
这15行命令可以分为3组：
1-6行是画曲线并作出有关参数的控制点或变量尺；7-13行是制作按钮用来设置变量k、m、n为整数并显示出其当前值；最后两行是添加标题。
选择不同的参数，曲线显示出有趣的变化，如图7-14，7-15，7-16和7-17。
图7-14
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