线性方程组迭代解法.docx

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线性方程组迭代解法

实验六：

线性方程组迭代解法

1）实验目的

•熟悉Matlab编程；

•学习线性方程组迭代解法的程序设计算法

2）实验题目

1.研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。

A为20阶五对角距阵

要求：

（1）选取不同的初始向量x0及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？

若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。

（2）用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在

时停止迭代.记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。

2.给出线性方程组

，其中系数矩阵

为希尔伯特矩阵：

，

假设

若取

分别用雅可比迭代法及SOR迭代（

）求解，比较计算结果。

3）实验原理与理论基础

1.雅克比（Jacobi）迭代法算法设计：

①输入矩阵a与右端向量b及初值x（1,i）;

②按公式计算得

2.高斯――赛得尔迭代法算法设计：

1.输入矩阵a与右端向量b及初值x（1,i）.

2.

（i=1,2,…,n）

3.超松驰法算法设计：

①输入矩阵a与右端向量b及初值x（1,i）。

②

4）实验内容

第一题实验程序：

1.雅克比迭代法：

function[]=yakebi（e）

%输入矩阵a与右端向量b。

fori=1:

20

a（i,i）=3;

end

fori=3:

20

forj=i-2

a（i,j）=-1/4;

a（j,i）=-1/4;

end

end

fori=2:

20

forj=i-1

a（i,j）=-1/2;

a（j,i）=-1/2;

end

end

b=[2.21.71.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.72.2];

k=1;

n=length（a）;

fori=1:

n

x（1,i）=1;%数组中没有第0行。

end

whilek>=1

fori=1:

n

m=0;

%此步也可以用ifj~=i条件判定一下。

forj=1:

（i-1）

m=m+a（i,j）*x（k,j）;

end

forj=（i+1）:

n

m=m+a（i,j）*x（k,j）;

end

x（k+1,i）=（b（i）-m）/a（i,i）;

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

fori=1:

n

l=l+abs（x（k+1,i）-x（k,i））;

end

ifl

break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x（k+1,:

）

k

2.高斯—赛德尔迭代法：

function[]=gaoshisaideer（e）

fori=1:

20

a（i,i）=3;

end

fori=3:

20

forj=i-2

a（i,j）=-1/4;

a（j,i）=-1/4;

end

end

fori=2:

20

forj=i-1

a（i,j）=-1/2;

a（j,i）=-1/2;

end

end

b=[2.21.71.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.72.2];

k=1;

n=length（a）;

fori=1:

n

x（1,i）=0;%数组中没有第0行。

end

whilek>=1

fori=1:

n

p=0;q=0;

forj=1:

（i-1）

p=p+a（i,j）*x（k+1,j）;

end

forj=（i+1）:

n

q=q+a（i,j）*x（k,j）;

end

x（k+1,i）=（b（i）-q-p）/a（i,i）;

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

fori=1:

n

l=l+abs（x（k+1,i）-x（k,i））;

end

ifl

break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x（k+1,:

）

k

3.SOR迭代法程序：

function[]=caosongci（e,w）

fori=1:

20

a（i,i）=3;

end

fori=3:

20

forj=i-2

a（i,j）=-1/4;

a（j,i）=-1/4;

end

end

fori=2:

20

forj=i-1

a（i,j）=-1/2;

a（j,i）=-1/2;

end

end

b=[2.21.71.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.72.2];

k=1;

n=length（a）;

fori=1:

n

x（1,i）=0;%数组中没有第0行。

end

whilek>=1

ifw>=2||w<=1

'请重新输入w的值，w在1与2之间';

break

end

fori=1:

n

p=0;q=0;

forj=1:

（i-1）

p=p+a（i,j）*x（k+1,j）;

end

forj=i:

n

q=q+a（i,j）*x（k,j）;

end

x（k+1,i）=x（k,i）+w*（b（i）-q-p）/a（i,i）;

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

fori=1:

n

l=l+abs（x（k+1,i）-x（k,i））;

end

ifl

break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x（k+1,:

）

k

第二题实验程序：

1.雅克比迭代法：

functionX=p211_1_JJ（n）

Hn=GET_Hn（n）;

b=GET_b（n）;

temp=0;

X0=zeros（1,n）;

X_old=zeros（1,n）;

X_new=zeros（1,n）;

disp（'NowJacobimethod!

'）;

disp（'Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T'）;

fori=1:

n

fork=1:

n

X_old=X_new;

temp=0;

forj=1:

n

if（j~=i）

temp=temp+Hn（i,j）*X_old（j）;

end

end

X_new（i）=（b（i）-temp）/Hn（i,i）;

end

end

X=X_new;

end

2.SOR迭代法：

functionX=p211_1_SOR（n,w）

Hn=GET_Hn（n）;

b=GET_b（n）;

temp01=0;

temp02=0;

X0=zeros（1,n）;

X_old=zeros（1,n）;

X_new=zeros（1,n）;

disp（'NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

'）;

disp（'Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T'）;

fori=1:

n

fork=1:

n

X_old=X_new;

temp01=0;

temp02=0;

forj=1:

n

if（j

temp01=temp01+Hn（i,j）*X_new（j）;

end

if（j>i）

temp02=temp02+Hn（i,j）*X_old（j）;

end

end

end

X_new（i）=w*（b（i）-temp01-temp02）/Hn（i,i）+X_old（i）;

end

X=X_new;

end

5）实验结果

第一题实验结果：

1.雅克比迭代法：

输入：

>>b=[2.21.71.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.72.2];

yakebi（0.00001）

结果：

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

12

2.高斯—赛德尔迭代法：

此时初值全取1；

输入：

>>b=[2.21.71.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.72.2];

>>gaoshisaideer（0.00001）

结果：

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

14

此时初值全取1；

输入：

>>b=[2.51.91.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.92.5];

gaoshisaideer（0.00001）

结果：

ans=

Columns1through12

1.09691.07071.02191.01031.00391.00161.00061.00031.00011.00011.00011.0001

Columns13through20

1.00031.00061.00161.00391.01031.02191.07071.0969

k=

14

3.SOR迭代法：

>>caosongci（0.00001,1.1）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

11

>>caosongci（0.00001,1.2）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

12

>>caosongci（0.00001,1.3）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

15

>>caosongci（0.00001,1.4）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

19

>>caosongci（0.00001,1.5）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

25

>>caosongci（0.00001,1.6）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

34

>>caosongci（0.00001,1.7）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

47

>>caosongci（0.00001,1.8）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

73

>>caosongci（0.00001,1.9）

ans=

Columns1through12

0.97930.97870.99410.99700.99890.99950.99980.99991.00001.00001.00001.0000

Columns13through20

0.99990.99980.99950.99890.99700.99410.97870.9793

k=

150

第二题实验结果：

1.雅克比迭代法：

>>p211_1_JJ（6）

NowJacobimethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

2.45001.10360.62650.40600.28310.2071

>>p211_1_JJ（8）

NowJacobimethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

2.71791.41010.85240.58090.42210.31980.24970.1995

>>p211_1_JJ（10）

NowJacobimethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

Columns1through9

2.92901.66621.05170.74230.55540.43150.34450.28070.2325

Column10

0.1951

2.SOR迭代法：

n=6,ω=1,1.25,1.5的时候

>>p211_1_SOR（6,1）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

2.45001.10360.62650.40600.28310.2071

>>p211_1_SOR（6,1.25）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

3.06250.23100.87040.33890.31410.2097

>>p211_1_SOR（6,1.5）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

3.6750-1.10092.0106-0.39940.7670-0.0384

与n=8,ω=1,1.25,1.5的时候

>>p211_1_SOR（8,1）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

2.71791.41010.85240.58090.42210.31980.24970.1995

>>p211_1_SOR（8,1.25）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

3.39730.48871.08980.50620.45010.32030.25730.2042

>>p211_1_SOR（8,1.5）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

4.0768-0.94242.2923-0.27530.92520.05780.40710.1275

与n=10,ω=1,1.25,1.5的时候

>>p211_1_SOR（10,1）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

Columns1through9

2.92901.66621.05170.74230.55540.43150.34450.28070.2325

Column10

0.1951

>>p211_1_SOR（10,1.25）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

Columns1through9

3.66120.70981.28350.66170.58070.42990.35060.28440.2363

Column10

0.1984

>>p211_1_SOR（10,1.5）

NowSuccessiveOverRelaxtionmethod!

Startwiththevectorthat（0,0,0,...）^T

ans=

Columns1through9

4.3935-0.79582.5326-0.15231.07200.15650.50500.20410.2819

Column10

0.1766

6）实验结果分析与小结

本次实习主要是学会应用雅克比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、SOR迭代法三种迭代法，并且了解三种迭代法的性质以及迭代精度等。

第一题中取的b对于雅克比迭代法、高斯――赛得尔迭代法都是收敛的，对于相同的初值与右端向量明显可以看出高斯――赛得尔迭代法比雅克比迭代法快。

由第二题可得出对于SOR迭代方法选择不同的松弛因子，收敛次数大大不同，而当松弛因子为1.1时，在同等条件下迭代最快。