其中，Uopp是集成运放的最大输出电压。
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7.2集成运算放大电路
授课思路：
比例运算电路（反相、同相、差分）→求和电路（重点在反相求和）→积分电路（重点在应用）→微分、对数、反对数电路→乘法器、除法器。
7.2.1比例运算电路
1.反相比例放大电路
反相比例放大电路如图7.1所示
∵I+=I−=0，∴U+=0，Ii=If；
又∵U+=U−，∴U−=U+=0；------虚地
∵Ii=If，∴UIR1=−UoRf；
∴输出电压为Uo=−RfR1UI；
电压增益为Af=−RfR1；
输入电阻为Rid=R1；
特点：
（1）闭环电压放大倍数Af=−RfR1
（2）当Rf=R1时，闭环电压放大倍数为-1，此时的运算放大电路称为单位增益倒相器
（3）由于“虚短”，且同相输入端接地，所以此种组态电路具有虚地特性，即反相输入端近似为地电位
（4）输入电阻小
（5）为保证输入端外电路的对称平衡，要求R2=R1//Rf。
2.同相比例运算电路
同相比例放大电路如图7.2所示
∵I+=I−=0，∴U+=Ui，Ii=If；
又∵U+=U−，∴U−=U+=Ui；
∵Ii=If，∴UI−U−R1=U−−UoRf；
∴输出电压为Uo=Rf+R1R1Ui；
电压增益为Af=1+RfR1；
输入电阻为Rid=∞；
特点:
（1）闭环电压放大倍数Af=1+RfR1；
（2）当R1开路或Rf短路时，Uo=Ui，此时的运算放大电路称为电压跟随器（如图7.3）。
（3）由于“虚断”，同相端没有电流，R2两端电压相等，即U+=Ui。
由于“虚短”，U+=U−，因此，U−=Ui≠0，即同相电路组态引入共模信号。
（4）输入电阻较大。
（5）为保证输入端外电路的对称平衡，要求R2=R1//Rf。
3.差分比例运算电路
差分比例放大电路如图7.4所示
由图可知，Ui2−U+R2=U+R3及Ui1−U−R1=U−−UoRf；
因为U+=U−，则Uo=（R1+RfR1）（R3R2+R3）Ui2−RfR1Ui1；
若RfR1=R3R2，则Uo=RfR1（Ui2−Ui1）；
特点：
（1）当R1=R2=R3=Rf时，Uo=Ui2−Ui1，实现减法运算。
（2）由于“虚短”，同相输入端输入信号和反相输入端输入信号U+=U−=R3R2+R3Ui2，不为0，即差动电路组态引入共模信号。
（3）输入电阻较小。
4.应用实例------数据放大器
用于数据采集、工业自动控制、精密量测以及生物工程等系统中，对各种传感器送来的信号加以放大，输出给控制系统。
【例1】三运放数据放大器
在图7.5所示的数据放大器中:
（1）设R1=2kΩ，R2=R3=1kΩ，R4=R5=2kΩ，R6=R7=100kΩ，试求电压放大倍数Au？
（2）已知集成运放A1、A2的开环放大倍数Aod=105，差模输入电阻Rid=2MΩ，求放大电路的输入电阻。
解：
（1）在图7.2.5中，当加上差模输入信号Ui时，由运放A1、A2的参数对称，且R2=R3=1kΩ，则R1的中点将成为交流地电位，此时A1、A2为同相比例运算电路。
分析A1：
Uo1=（1+R2R1/2）Ui1=（1+2R2R1）Ui1
同理，对于A2：
Uo2=（1+2R3R1）Ui2=（1+2R2R1）Ui1
∴Uo1−Uo2=（1+2R2R1）（Ui1−Ui2）=（1+2R2R1）Ui
A3是一个差分比例运算电路，R4=R5=2kΩ，R6=R7=100kΩ，则
UoUo1−Uo2=−R6R4
因此，Au=UoUi=UoUo1−Uo2⋅Uo1−Uo2Ui=−R6R4（1+2R2R1）=−1002（1+2×12）=−100
（3）数据放大器的差模输入电阻等于两个同相比例电路的输入电阻之和，即
Ri=2（1+AodF）Rid
其中，反馈系数F=R1/2R1/2+R2=R1R1+2R2
∴Ri=2（1+R1R1+2R2Aod）Rid=2×（1+22+2×1×105）×2≈2×105MΩ
【例2】T型反馈网络
在图7.6所示的T型反馈网络电路中，设集成运放为理想运放：
（1）设R1=2MΩ，R2=R3=470kΩ，R4=1kΩ，试求电压放大倍数Au？
（2）求放大电路的输入电阻Rif。
解：
（1）分析：
∵I−=0，∴Ii=I2；
又∵U−=U+=0；------虚地∴Ui=IiR1=I2R1
又∵Uo=−（I2R2+I3R3），I3=I2+I4；
又∵M点电位为UM=−I2R2=−I4R4，∴I4=R2R4I2------①
①式代入Uo中，可得
输出电压为Uo=−I2（R2+R3+R2R3R4）；
∴电压增益为Af=UoUi=−R2+R3+R2R3R4R1；
代入数据后得，Af=UoUi=−110.9
把R2R3R4看成是反馈电阻RF，则电路就是反相比例运算电路，那么，
Rf=R2+R3+R2R3R4=221.8MΩ。
（2）由反相比例运算电路分析可得，放大电路的输入电阻Rif=R1=2MΩ。
7.2.2求和电路
1．反相输入求和电路
反相输入求和电路如图7.7所示
类比反相比例运算电路分析容易求出输入输出关系
输出电压为Uo=−（RfR1UI1+RfR2UI2+RfR3UI3）；
特点：
（1）当R1=R2=R3=R时，Uo=−RfR（UI1+UI2+UI3）；即当改变某一输入回路的电阻时，仅仅改变输出电压与该路输入电压之间的比例关系，对其它各路没有影响，因此调节起来比较灵活方便。
在实际中应用比较广泛。
（2）由于“虚短”，且同相输入端接地，所以此种组态电路具有虚地特性，即反相输入端近似为地电位。
（3）为保证输入端外电路的对称平衡，要求R′=R1//R2//R3//Rf。
2.同相输入求和电路
同相输入求和电路如图7.8所示
类比同相比例运算电路分析容易求出输入输出关系
输出电压为Uo=（1+RfR1）（R+R′1UI1+R+R′2UI2+R+R′3UI3）
其中，R+=R′1//R′2//R′3//R′
特点：
（1）当改变某一输入回路的电阻时，其他支路的输出电压与输入电压之间的比例关系都有改变，因此调节起来比较麻烦。
在实际中应用不如反相求和电路。
（2）由于“虚断”，同相端没有电流，R1两端电压相等，即U+=Ui。
由于“虚短”，U+=U−，因此，U−=Ui≠0，即同相电路组态引入共模信号。
7.2.3积分电路和微分电路
1.积分电路
积分电路如图7.9所示
类比反相比例运算电路，积分电路把反馈支路上的电阻Rf用电容代替。
由于电容两端电压Uc与流过电容的电流Ic之间存在着积分关系，即Uc=1C∫Icdt，因此可以作为用作积分电路。
（1）分析
根据虚短和虚断有
Ui−0R=0−Uo1jωC，
所以有
Uo=−1RC∫Uidt。
若在开始积分之前，电容两端已经存在一个初始电压，则积分电路将有一个初始的输出电压Uo（0），此时
Uo=−1RC∫Uidt+Uo（0）。
（2）应用
若输入电压为恒定电压时,如图7.10所示
Uo=−1RC∫Uidt=−UiRCt
电容将以近似恒流方式进行充电。
结论：
积分时间常数为τ=RC，当t=τ时，Uo=−Ui。
当t>τ时，输出继续增加，直到Uo=−Uopp饱和状态，输出不变，而停止积分。
【例3】电路如7.9所示，其中R=10kΩ,C=5μF，在C两端并电阻Rf=1MΩ，电容的初始电压为零，已知输入电压波形，画出输出电压波形。
解：
在t=0~40μs时，Ui=0，因此Uo=0；
当t=40~120μs时，Uo（t.2）=−UiRC⋅（t2−t1）=−8V；
输出电压波形如图7.11所示。
（3）积分电路中的误差
a.由于集成运放不理想使输出有误差，并有可能使输出波形滞后。
b.由于积分电容不够理想使电容有泄漏电的现象或电容有吸附效应等都会使积分电路出现误差。
2.微分电路
微分电路如图7.12所示
类比积分电路，微分电路把反馈支路上的电容与反相输入端的电阻交换位置。
利于流过电容的电流Ic与电容两端电压Uc之间存在着微分关系，即Ic=CdUcdt，因此可以作为用作微分电路。
（1）分析：
由电路图可知Ic=CdUcdt及0−Uo=IRR=RCdUcdt；又由Uc=Ui，
所以Uo=−RCdUidt。
（2）应用：
微分电路可以作为波形转换电路，可以将矩形波变换为尖脉冲，也可以作为移相电路，若输入为正弦波时，输出就为负的余弦波，也就是说输出波形比输入波形滞后90°。
7.2.4对数和指数电路
对数和指数运算互为逆运算，主要应用二极管、三极管等非线性元件中电流电压的指数对数关系设计而成的。
1.对数电路
对数电路如图7.13所示
利用三极管输入回路的电流与电压关系，即
IE=IS（eqUBEKT−1）=IS（eUBEUT−1），
类比反相比例运算电路，可以推导出对数电路的输入输出关系
Uo=−UTlnUiISR
存在问题：
由于式中参数IS和UT都是温度的函数，所以运算受温度的影响很大。
解决方法：
可以用两个参数相同的三极管实现温度补偿，还可以用热敏电阻实现温度补偿。
2.指数电路
指数电路如图7.14所示
利用三极管输入回路的电流与电压关系，即
IE=IS（eqUBEKT−1）=IS（eUBEUT−1），
类比对数电路，可以推导出指数电路的输入输出关系
Uo=−ISR⋅eUiUT
存在问题：
同对数电路一样，运算受温度的影响很大。
7.2.5乘法和除法电路
乘法和除法电路可以对输入的信号进行乘法和除法的运算。
他们可以由对数指数电路组成，也有单片的集成模拟乘法器。
1.由对数指数电路组成的乘法和除法电路
乘法、除法翻印在对数、指数运算中是加法和减法的运算，可以用这个特性，加以合适的加法减法电路实现乘除法运算。
2.模拟乘法器
模拟乘法器是实现两个信号相乘作用的电子器件，符号如图7.17所示。
模拟乘法器不仅应用于模拟信号运算，而且可以进行模拟信号处理，模拟乘法器与集成运放结合，再加上不同的外接电路，可组成平方、开方、高次方和高次方根的运算电路。
因此它在通信系统、信号处理、自动控制等领域得到了越来越广泛的应用。
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7.3有源滤波电路
授课思路：
滤波电路概述→LPF（重点在二阶）→HPF→BPF→BEF
7.3.1滤波电路概述
1.基本概念
无源滤波电路：
由R、L、C等无源器件组成的滤波电路。
有源滤波电路：
由工作在线性区的集成运放和R、L、C等器件组成的滤波电路。
2.分类
分为四类：
低通滤波器（LPF）（图7.18（a））、高通滤波器（HPF）（图7.18（b））、带通滤波器（BPF）（图7.18（c））和带阻滤波器（BEF）（图7.18（d））。
图7.18描述了四种滤波器的理想特性（图中实线表示），对低通和高通滤波器，有一个截止频率f0，它把频率域分为通带和阻带。
对于带通和带阻滤波器，存在着上限截止频率f1和下限截止频率f2，他们之差即|f2−f1|叫做通带宽度或阻带宽度。
实际上的滤波器在通带与阻带交界的地方并不能一下子阻断信号，存在着一个逐渐衰减的过程（图中虚线部分）。
因此，在设计滤波器的时候，我们尽量使信号在截止频率附近衰减的速度加快，才能使滤波器更接近理想，从而滤波效果更好。
7.3.2低通滤波器（LPF）
1.无源低通滤波器
第三章我们讲过简单的一阶无源低通滤波器，如图7.19（a）的频率特性，图7.19（b）示出它的对数幅频特性，图7.19（c）示出它的相频特性。
该LPF的电压放大倍数Au=UoUi=11+jff0，其中f0=12πRC。
f0称为滤波器的通带截止频率。
从频率特性图上我们可以看到：
（1）一阶无源低通滤波器的电压放大倍数低，只有1；
（2）带负载能力差；
（3）在通带截止频率附近有-20dB/十倍频的幅度衰减，并有-45°/十倍频的相位滞后。
2.一阶有源低通滤波器
为了提高滤波器的负载能力，使滤波器的电压放大倍数提高，可以把滤波器与集成运放连在一起组成一阶有源低通滤波器。
如图7.20（a）可以看出，它是由一个一阶无源低通滤波器和一个同相比例运算电路组成。
它的对数幅频特性和相频特性如图7.20（b）和7.20（c）所示。
一阶有源低通滤波器的电压放大倍数为
Au=UoUi=1+RfR11+jff0=Aup1+jff0=Au1⋅Aup，
其中f0=12πRC，Aup=1+RfR1，Au1=11+jff0。
f0----滤波器的通带截止频率
Aup----通带电压放大倍数
从频率特性图上我们可以看到：
（1）一阶有源低通滤波器的电压放大倍数得到了提高，为1+RfR1；
（2）带负载能力得到了加强；
（3）在通带截止频率附近有-20dB/十倍频的幅度衰减，并有-45°/十倍频的相位滞后。
这与一阶无源低通滤波器一样，并没有变化。
3.二阶有源低通滤波器
为了使滤波特性更接近于理想，就要使信号在f0处的衰减更厉害，这样可以采用二阶有源低通滤波器。
如图7.21（a）。
（1）定性分析
ff>f0时，Ui与Uo基本上反相，通过C引入负反馈使Ui的信号衰弱，降低了输出幅度。
（2）定量分析
集成运放和周围的元器件R1、Rf组成同相比例运算电路，则同相输入端的电压与输出电压的关系为Uo=（1+RfR1）U+①
同相端处，对M点列节点电流方程
Ui−UMR−U+−UMR−（UM−Uo）jωC=0②
对同相输入端点列节点电流方程
UM−U+R=U+jωC③
由这三个关系式可以得到二阶有源低通滤波器的电压放大倍数
Au=UoUi=Aup1+（3−Aup）jωRC+（jωRC）2=Aup1−（ff0）2+j1Q⋅ff0
其中，f0=12πRC，Aup=1+RfR1，Q=13−Aup。
Q----电路的等效品质因数
（3）分析
当3−A=up0即A=up3时，Q→∞，这时电路会产生自激振荡；
当3−Aup3时，Q<0，此时的电路非常不稳定；
当3−A>up0即A0，此时电路才能稳定工作，这时Rf<2R1。
当Q>0时，分析图6.21b，可得Q越大，f=f0处的电压增益越大，使幅频特性曲线在f=f0处形成了一个凸起，且Q越大，凸起越大。
只有当0因此，1Q称为阻尼系数。
从以上分析可以看出二阶有源低通滤波器的滤波效果比一阶的要好，它维持了一阶滤波的电压增益，同时又使信号在通带截频处得到更大的衰减（-40dB/十倍频），使滤波更接近理想化。
7.3.3高通滤波器（HPF）
如果将低通滤波器中起滤波作用的电阻和电容的位置互换，就是高通滤波器，如图7.22（a）所示，图7.22（b）示出了高通滤波器的对数幅频特性。
从图上可以读出，高通滤波器和低通滤波器互为镜像关系，因此，可以由低通滤波器来类比推出高通滤波器的电压增益关系。
一阶无源低通滤波器：
电压增益：
Au=UoUi=11−jf0f，通带截止频率：
f0=12πRC。
同样可以推出二阶有源高通滤波器（图7.23）的电压增益。
Au=UoUi=（jωRC）2Aup1+（3−Aup）jωRC+（jωRC）2=Aup1−（f0f）2−j1Q⋅f0f
其中，f0=12πRC，Aup=1+RfR1，Q=13−Aup。
7.3.3带通滤波器（BPF）
如果把一个低通滤波器和一个高通滤波器串联起来，使LPF的截频f2大于HPF的截频f1，就组成了带通滤波器。
它使频率为f1如图7.24所示。
实际的带通滤波器也是根据此原理设计成的。
如图7.25（a）所示。
为估算方便，令R2=2R，R3=R，可得带通滤波器的电压增益为
Au=Auo（3−Auo）+j（ff0−f0f）=Aup1+jQ（ff0−f0f）
其中f0=12πRC，Auo=1+RfR1，Aup=Auo3−Auo=QAuo，Q=13−Auo。
图7.25（b）示出带通滤波器的对数幅频特性曲线。
由图可见，当f=f0时，电压放大倍数达到最大值，此时|Au|=Aup，而当频率增大或这减小时，|Au|都将降低。
当f=0或者f→∞时，|Au|→0。
通常将f0称为带通滤波器的中心频率，可以看出，在中心频率处信号得以正常放大输出，在其他频率处，信号都有不同程度的衰减，且越远离中心频率衰减得越厉害。
由此可以将带通滤波电路作为选频电路，它的选频性能的好坏由Q来决定。
由图可见，Q值越大，通频带越窄，选频性能越好。
一般将|Au|下降至Aup2时所包含的频率范围定义为带通滤波器的通带宽度。
那么，
B=f2−f1=（3−Auo）f0=f0Q=（2−RfR1）f0
7.3.4带阻滤波器（BEF）
如果把一个低通滤波器和一个高通滤波器并联起来，使LPF的截频f1小于HPF的截频f2，就组成了带通滤波器。
它阻碍频率为f1如图7.26所示。
实际的带通滤波器也是根据此原理设计成的。
如图7.27（a）所示。
类比带通滤波器的分析方法，带阻滤波器的电压增益为
Au=1−（ff0）21−（ff0）2+j2（2−Aup）ff0Aup=Aup1+jQff0f02−f2
其中f0=12πRC，Aup=1+RfR1，Q=12（2−Aup）。
图7.27（b）示出带通滤波器的对数幅频特性曲线。
由图可见，当f=f0时，电压放大倍数达到最小，此时|A˙u|=0，而当频率增大或者减小时，|A˙u|都将升高。
当f=0或者f→∞时，|A˙u|→|A˙up|。
通常将f0称为带通滤波器的中心频率，可以看出，在中心频率
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