初中九年级数学 一元二次方程解法.docx

初中九年级数学 一元二次方程解法.docx

《初中九年级数学 一元二次方程解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中九年级数学 一元二次方程解法.docx（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

初中九年级数学一元二次方程解法

一般解法　　1..配方法（可解所有一元二次方程）

　　2.公式法（可解所有一元二次方程）

　　3.因式分解法（可解部分一元二次方程）

　　4.开方法（可解部分一元二次方程）一元二次方程的解法实在不行（你买个卡西欧的fx-500或991的计算器有解方程的,不过要一般形式） 

　　一、知识要点：

　　一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 

　　础,应引起同学们的重视. 

　　一元二次方程的一般形式为：

ax2+bx+c=0,（a≠0）,它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 

　　的整式方程. 

　　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 

　　法：

1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 

　　二、方法、例题精讲：

　　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的 

　　方程,其解为x=m±. 

　　例1．解方程

（1）（3x+1）2=7

（2）9x2-24x+16=11 

　　分析：

（1）此方程显然用直接开平方法好做,

（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2,右边=11>0,所以 

　　此方程也可用直接开平方法解. 

（1）（3x+1）2=7× 

　　∴（3x+1）2=5 

　　∴3x+1=±（注意不要丢解） 

　　∴x= 

　　∴原方程的解为x1=,x2= 

（2）9x2-24x+16=11 

　　∴（3x-4）2=11 

　　∴3x-4=± 

　　∴x= 

　　∴原方程的解为x1=,x2= 

　　2．配方法：

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0） 

　　先将常数c移到方程右边：

ax2+bx=-c 

　　将二次项系数化为1：

x2+x=- 

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：

x2+x+（）2=-+（）2 

　　方程左边成为一个完全平方式：

（x+）2= 

　　当b2-4ac≥0时,x+=± 

　　∴x=（这就是求根公式） 

　　例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0 

　　将常数项移到方程右边3x2-4x=2 

　　将二次项系数化为1：

x2-x= 

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：

x2-x+（）2=+（）2 

　　配方：

（x-）2= 

　　直接开平方得：

x-=± 

　　∴x= 

　　∴原方程的解为x1=,x2=. 

　　3．公式法：

把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项 

　　系数a,b,c的值代入求根公式x=（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根. 

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 

　　将方程化为一般形式：

2x2-8x+5=0 

　　∴a=2,b=-8,c=5 

　　b^2-4ac=（-8）2-4×2×5=64-40=24>0 

　　∴x=== 

　　∴原方程的解为x1=,x2=. 

　　4．因式分解法：

把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 

　　两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 

　　根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 

　　例4．用因式分解法解下列方程：

（1）（x+3）（x-6）=-8

（2）2x2+3x=0 

　　（3）6x2+5x-50=0（选学）（4）x2-2（+）x+4=0（选学） 

（1）（x+3）（x-6）=-8化简整理得 

　　x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式,右边为零） 

　　（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式） 

　　∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程） 

　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解. 

（2）2x2+3x=0 

　　x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式） 

　　∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程） 

　　∴x1=0,x2=-是原方程的解. 

　　注意：

有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. 

　　（3）6x2+5x-50=0 

　　（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错） 

　　∴2x-5=0或3x+10=0 

　　∴x1=,x2=-是原方程的解. 

　　（4）x2-2（+）x+4=0（∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法） 

　　（x-2）（x-2）=0 

　　∴x1=2,x2=2是原方程的解. 

　　小结：

　　一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 

　　形式,同时应使二次项系数化为正数. 

　　直接开平方法是最基本的方法. 

　　公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式 

　　法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 

　　是否有解. 

　　配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 

　　解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 

　　法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：

换元法,配方法,待定系数法）. 

　　例5．用适当的方法解下列方程.（选学） 

（1）4（x+2）2-9（x-3）2=0

（2）x2+（2-）x+-3=0 

　　（3）x2-2x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 

　　分析：

（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差 

　　公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. 

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. 

　　（3）化成一般形式后利用公式法解. 

　　（4）把方程变形为4x2-2（2m+5）x+（m+2）（m+3）=0,然后可利用十字相乘法因式分解. 

（1）4（x+2）2-9（x-3）2=0 

　　[2（x+2）+3（x-3）][2（x+2）-3（x-3）]=0 

　　（5x-5）（-x+13）=0 

　　5x-5=0或-x+13=0 

　　∴x1=1,x2=13 

（2）x2+（2-）x+-3=0 

　　[x-（-3）]（x-1）=0 

　　x-（-3）=0或x-1=0 

　　∴x1=-3,x2=1 

　　（3）x2-2x=- 

　　x2-2x+=0（先化成一般形式） 

　　△=（-2）2-4×=12-8=4>0 

　　∴x= 

　　∴x1=,x2= 

　　（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 

　　4x2-2（2m+5）x+（m+2）（m+3）=0 

　　[2x-（m+2）][2x-（m+3）]=0 

　　2x-（m+2）=0或2x-（m+3）=0 

　　∴x1=,x2= 

　　例6．求方程3（x+1）2+5（x+1）（x-4）+2（x-4）2=0的二根.（选学） 

　　分析：

此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 

　　们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 

　　法） 

　　[3（x+1）+2（x-4）][（x+1）+（x-4）]=0 

　　即（5x-5）（2x-3）=0 

　　∴5（x-1）（2x-3）=0 

　　（x-1）（2x-3）=0 

　　∴x-1=0或2x-3=0 

　　∴x1=1,x2=是原方程的解. 

　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 

　　x2+px+q=0可变形为 

　　x2+px=-q（常数项移到方程右边） 

　　x2+px+（）2=-q+（）2（方程两边都加上一次项系数一半的平方） 

　　（x+）2=（配方） 

　　当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） 

　　∴x=-±= 

　　∴x1=,x2= 

　　当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根. 

　　说明：

本题是含有字母系数的方程,题目中对p,q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母 

　　取值的要求,必要时进行分类讨论. 

　　练习：

（一）用适当的方法解下列方程：

　　1.6x2-x-2=02.（x+5）（x-5）=3 

　　3.x2-x=04.x2-4x+4=0 

　　5.3x2+1=2x6.（2x+3）2+5（2x+3）-6=0 

（二）解下列关于x的方程 

　　1.x2-ax+-b2=02.x2-（+）ax+a2=0 

　　练习参考答案：

（一）1.x1=-,x2=2.x1=2,x2=-2 

　　3.x1=0,x2=4.x1=x2=25.x1=x2= 

　　6.（把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式） 

　　[（2x+3）+6][（2x+3）-1]=0 

　　即（2x+9）（2x+2）=0 

　　∴2x+9=0或2x+2=0 

　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解. 

（二）1．x2-ax+（+b）（-b）=02、x2-（+）ax+a·a=0 

　　[x-（+b）][x-（-b）]=0（x-a）（x-a）=0 

　　∴x-（+b）=0或x-（-b）=0x-a=0或x-a=0 

　　∴x1=+b,x2=-b是∴x1=a,x2=a是 

　　原方程的解.原方程的解. 

　　测试（有答案在下面） 

　　选择题 

　　1．方程x（x-5）=5（x-5）的根是（） 

　　A、x=5B、x=-5C、x1=x2=5D、x1=x2=-5 

　　2．多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为（）. 

　　A、3或7B、-3或7C、3或-7D、-3或-7 

　　3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个 

　　根是（）. 

　　A、0B、1C、-1D、±1 

　　4．一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（）. 

　　A、b≠0且c=0B、b=0且c≠0 

　　C、b=0且c=0D、c=0 

　　5．方程x2-3x=10的两个根是（）. 

　　A、-2,5B、2,-5C、2,5D、-2,-5 

　　6．方程x2-3x+3=0的解是（）. 

　　A、B、C、D、无实根 

　　7．方程2x2-0.15=0的解是（）. 

　　A、x=B、x=- 

　　C、x1=0.27,x2=-0.27D、x1=,x2=- 

　　8．方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（）. 

　　A、（x-）2=B、（x-）2=- 

　　C、（x-）2=D、以上答案都不对 

　　9．已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是（）. 

　　A、（x-1）2=m2+1B、（x-1）2=m-1C、（x-1）2=1-mD、（x-1）2=m+1 

　　答案与解析 

　　答案：

1.C2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C9.D 

　　解析：

　　1．分析：

移项得：

（x-5）2=0,则x1=x2=5, 

　　注意：

方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个. 

　　2．分析：

依题意得：

a2+4a-10=11,解得a=3或a=-7. 

　　3．分析：

依题意：

有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时,ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 

　　时,方程成立,则必有根为x=1. 

　　4．分析：

一元二次方程ax2+bx+c=0若有一个根为零, 

　　则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以c=0. 

　　另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!

　　5．分析：

原方程变为x2-3x-10=0, 

　　则（x-5）（x+2）=0 

　　x-5=0或x+2=0 

　　x1=5,x2=-2. 

　　6．分析：

Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根. 

　　7．分析：

2x2=0.15 

　　x2= 

　　x=± 

　　注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根. 

　　8．分析：

两边乘以3得：

x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+（-）2=12+（-）2, 

　　整理为：

（x-）2= 

　　方程可以利用等式性质变形,并且x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方. 

　　9．分析：

x2-2x=m,则x2-2x+1=m+1 

　　则（x-1）2=m+1. 

　　中考解析 

　　考题评析 

　　1．（甘肃省）方程的根是（） 

　　（A）（B）（C）或（D）或 

　　评析：

因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确 

　　选项.也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以.选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 

　　二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=－1,不能使方程左右相等,所以也是错误的.正确选项为 

　　C. 

　　另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免. 

　　2．（吉林省）一元二次方程的根是__________. 

　　评析：

思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可. 

　　3．（辽宁省）方程的根为（） 

　　（A）0（B）–1（C）0,–1（D）0,1 

　　评析：

思路：

因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、 

　　B两选项只有一个根.D选项一个数不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法. 

　　4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________. 

　　评析：

k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解. 

　　5．（西安市）用直接开平方法解方程（x-3）2=8得方程的根为（） 

　　（A）x=3+2（B）x=3-2 

　　（C）x1=3+2,x2=3-2（D）x1=3+2,x2=3-2 

　　评析：

用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方 

　　根,即可选出答案.

中考数学真题分类汇编：

09一元二次方程及其应用

（1）

一．选择题（共26小题）

1．（2015•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9

2．（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．14B．12C．12或14D．以上都不对

3．（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．12B．9C．13D．12或9

4．（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10B．14C．10或14D．8或10

5．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（　　）

A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣1

6．（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：

3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）

A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想

7．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

8．（2015•河北）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1

9．（2015•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）

A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3

10．（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣

x+

=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）

A．m＞

B．m≤

且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2

11．（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2﹣0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＞

B．m＞

且m≠2C．﹣

＜m＜2D．

＜m＜2

12．（2015•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限．

A．四B．三C．二D．一

13．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

14．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

（　　）

A．9B．10C．9或10D．8或10

15．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：

①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

16．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0

17．（2015•怀化）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　　）

A．19B．25C．31D．30

18．（2015•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）

A．2500x2=3500B．2500（1+x）2=3500

C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500

19．（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）

A．x（x﹣10）=900B．x（x+10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=900

20．（2015•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）

A．（1+x）2=

B．（1+x）2=

C．1+2x=

D．1+2x=

21．（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）

A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=80

22．（2015•巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）

A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315

23．（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）

A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0

24．（2015•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（　　）

A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600

25．（2015•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（　　）

A．20%B．40%C．﹣220%D．30%

26．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）

A．1B．﹣1C．0D．﹣2

2015中考数学真题分类汇编：

09一元二次方程及其应用

（1）

参考答案与试题解析

一．选择题（共26小题）

1．（2015•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9

考点：

解一元二次方程-配方法．

分析：

根据配方法，可得方程的解．

解答：

解：

x2﹣6x﹣4=0，

移项，得x2﹣6x=4，

配方，得（x﹣3）2=4+9．

故选：

D．

点评：

本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：

移