高斯定理.docx
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高斯定理
高斯散度定理
本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。
关于电磁学中与电通量有关的定理,详见“高斯定律”。
散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量,例如,任何上边的曲面;散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面,例如,任何右边的曲面。
在这图内,曲面以蓝色显示,边界以红色显示。
高斯公式,又称为散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于曲面内部区域的散度的三重积分。
直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出一个区域的流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学和流体力学。
∙1定理
∙2用散度表示
∙3用向量表示
∙4推论
∙5例子
∙6二阶张量的高斯公式
∙7参阅
定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα、cosβ、cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
这两个公式叫做高斯公式。
用散度表示
高斯公式用散度表示为:
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而
n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。
用向量表示
令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积,
是定义在V中和S上连续可微的矢量场。
如果
是外法向矢量面元,则
推论
∙对于标量函数g和向量场F的积,应用高斯公式可得:
∙对于两个向量场
的向量积,应用高斯公式可得:
∙对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
∙对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:
例子
假设我们想要计算
其中S是由
所定义的单位球,F是向量场
直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:
由于函数
和
是奇函数,我们有:
因此:
二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。
为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量或张量积)以及相关的概念和记号。
在这里,矢量和矢量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。
1两个矢量
和
并排放在一起所形成的量
被称为矢量
和
的并矢或并矢张量。
要注意,一般来说,
。
2
的充分必要条件是
或
。
3二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4
分别线性地依赖于
和
。
5二阶张量
和矢量
的缩并
以及
对
和
都是线性的。
6特别是,当
时,
所以,一般说来,
。
下面举一个例子:
用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写
和
。
我们还用到二阶张量的转置
(又可以记为
),定义如下:
7
仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于
。
8
。
定理:
设
是三维欧几里得空间中的一个有限区域,
是它的边界曲面,
是
的外法线方向上的单位矢量,
是定义在
的某个开邻域上的
连续的二阶张量场,
是
的转置,则
证明:
下面以第二个式子为例进行证明。
令第二个式子的左边为
,则
接下来利用矢量场的高斯公式,可得
于是
至此证毕