中考数学中的最值问题解法.docx

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中考数学中的最值问题解法

中考数学几何最值问题解法

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：

（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；

（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值

典型例题：

例1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】

A．

　　　B．

　　　C．

5　　　D．

例2.在锐角三角形ABC中，BC=

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、

N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲。

例3.如图，圆柱底面半径为

，高为

，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲

。

练习题：

1.如图，长方体的底面边长分别为2

和4

，高为5

.若一只蚂蚁从P点开

始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】

A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm

2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=

BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】

A、

㎝B、5cmC、

㎝D、7cm

3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_▲．

2、应用垂线段最短的性质求最值：

典型例题：

例1.（2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲．

例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任

意一点，则PK+QK的最小值为【】

　A．1B．

C．2D．

＋1

例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：

如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：

如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：

若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：

如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

例4.如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线

上运动，当线段AB最短

时，点B的坐标为【】

A.（0，0）B.（

，

）C.（

，

）D.（

，

）

例5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CEDF不可能为正方形；

③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为

．

其中正确结论的个数是【】

　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

例6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：

如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；

第二步：

如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

第三步：

如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：

裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲cm，最大值为▲cm．

例8.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为▲．

例9.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

例10.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

例11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：

（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：

结论一：

；结论二：

；结论三：

．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

（注意：

在第

（2）的求解过程中，若有运用

（1）中得出的结论，须加以证明）

练习题：

1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【】

A、1B、2C、3D、4

2如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．

（1）求证：

△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

3.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，

PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】

A．

B．

C．3D．2

4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　▲　．

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：

BC=4：

3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．

3、应用轴对称的性质求最值：

典型例题：

例1.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点

C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最

短距离为▲cm．

例2.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周

长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】

A．130°B．120°C．110°D．100°

例3.点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角

坐标系如图所示．若P是x轴上使得

的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，

则

＝　　▲　　．

例4.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为▲．

例5.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　▲　　。

例6.阅读材料：

例：

说明代数式

的几何意义，并求它的最小值．

解：

，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则

可以看成点P与点A（0，1）的距离，

可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3

，即原式的最小值为3

。

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）代数式

的最小值为．

例7.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

你可以在

上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

．

练习题：

1.如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的

最小值为▲．

2.如图，在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（3，3）两点，现另取一点C（a，1），当a＝▲时，AC＋BC的值最小．

3.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。

经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为

轴建立直角坐标系（如图）。

两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？

（2）水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

4.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【】

A、2B、4C、

D、

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的

任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【】

A．1B．2C．3D．4

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的

中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】

A．3B．4C．5D．6

7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是▲．

四、应用二次函数求最值：

典型例题：

例1.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=▲cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为▲cm2．

例2.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　．

例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。

当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

例4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

例5.等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：

AM=AN；

（2）设BP=x。

①若，BM=

，求x的值；

②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？

并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

例6.如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为

.

⑴当

时，求弦PA、PB的长度；

⑵当x为何值时，

的值最大？

最大值是多少？

例7.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：

∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？

并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

例8.如图，正三角形ABC的边长为

．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形

，且使正方形

的面积最大（不要求写作法）；

（2）求

（1）中作出的正方形

的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

例9.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？

并求出这个最大值．

例10.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜

）秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：

点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

。

例14.在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，

（1）求证：

MA=MB

（2）连接AB，探究：

在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。

请说明理由。

例15.（2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在

和扇形

中，

与

、

分别相切于A、B，

，E、F事直线

与

、扇形

的两个交点，EF=24cm，设

的半径为xcm，

①用含x的代数式表示扇形

的半径；

②若

和扇形

两个区域的制作成本分别为0.45元

和0.06元

，当

的半径为多少时，该玩具成本最小？

例16.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：

△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？

并求y的最大值．

练习题：

1.（2011宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？

（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

2.（2011福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。

（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式。

并求x为何值时，y的值最大?

最大值是多少?

3.（2011浙江杭州12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点

E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为

，

，△OEF与△OGH

组成的图形称为蝶形。

（1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求

与

满足的关系式，并求

的取值范

围。

4.（2011江苏宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

（1）当t≠1时，求证：

△PEQ≌△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求

出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

5.（2011江苏淮安12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。

点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点

A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，

以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为

秒（

＞0），正

方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

（1）当

＝1时，正方形EFGH的边长是；

当

＝3时，正方形EFGH的边长是；

（2）当0＜

≤2时，求S与

的函数关系式；

（3）直接答出：

在整个运动过程中，当

为何值时，S最大？

最大面积是多少？

6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．

图1图2

五、应用其它知识求最值：

典型例题：

例1.（2011山东滨州3分）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【】

A、

B、

8cmC、

D、

例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【】

A．30°B．45°C．60°D．90°

例3.（2011贵州贵阳3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【】

A、3.5B、4.2C、5.8D、7

例4.（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

．

探究：

如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；

拓展：

如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）

（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．

发现：

请你确定一条直线，使得A、