合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第4章答案.docx

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合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第4章答案

合肥工业大学电磁场与

电磁波（孙玉发版）第4

章答案

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Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March

两边同乘以sin（—）,并从o到“对y积分，得到

b

y.nny2U{}\11・严兀八」2U°b.川兀d、

A"二〒片产n（〒心+〒比-尹皿〒）2崙严（〒）

故得到必r,y）=组$+警£,sin（型）sin（空）e「曲bd7T畚，厂bh

如题图所示的导体槽.底面保持电位〃0,其余两浙电位为零，求槽内的电位的解。

解很据题意.电位（p（x.y）满足的边界条件为

根据条件①和

两边同乘以

編：

:

^（l-cos^=H7T

4久

H7T

0,

化0,y）=（pay）=0

做Xy）->0（y->oo）

（p（x^=U0

②•电位

（p（x,y）=yA,,e~n;rv;asin（-^-）；由条件③，有i/0=V4sin（^~—）n-1an-lu

nnxA2U{}r./”兀兀、.

sin（——八并从o到。

对x积分，得到？

——sin（——）dx=aa*a

，?

=L3'5'-:

故得到於，刃=坐X丄严叫in（竺）

77=2,4,6,-.・71心・3・5・・・・"a

★【】一长.宽.商分别为".b.c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

p=y（y-b）sin（—）sin（—）的电荷。

求体积内的电位久ac

解在体枳内•电位0满足泊松方程

c（pd（po（p1z八.刀X、・再兀、“、

+丰+卡=_一y（y_b）Sin（——）sin（——）

（1）

ox"dyozr吕）ac

长方体表面S上，电位0满足边界条件（p\s=0o由此设电位e的通解为

0（x,y,z）=丄ffA””pSin（化匕）sin（W_）sin（匕二），代入泊松方程

（1）,可得

/w=iw=iP=iabc

mmgnn.舁皿宀

EEEA,uv,i（—）_+（vr+（Vr|x

/n=ln=lp=lGD“

jri7rx・,n7ry・nx.nz

sin（）sin（）sin（）=y（y-Z?

）sm（——）sin（——）

abcac

x一

由此可得仏=0（加H1或"Hl）：

XAhiK-）2+（^）2+（-）2]sin（^-）=y（y-b）

（2）

話abcb

[（—）2+（¥）'+（—）2]=：

Jy（y—b）sin（^-）dy=y（—）?

（cosnn-1）=abcbbnn

“=1,3,5,...0（x,y,z）=工；1；—sin（—）sin（^-）sin（—）

r心—眉（丄）2+（少+（丄）2]dbC

/?

=2,4,6,--・abc

★【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板•板间有一与z轴平行的线电荷◎，其位宜为（0,〃）。

求板间的电位函数。

解由于在（0“/）处有一与z轴平行的线电荷如，以x=0为界将场空间分割为x>0和xvO两个区域.则这两个区域中的电位

%（九刃和02（匕刃都满足拉普拉斯方程。

而在x=0的分界面上，可利用5函数将线电荷如表示成电荷面密度b（y）=qQ（y-）b）。

电位的边界条件为

①

mnp

由式

（2）.得

8戻

（帧）‘

0

y

丄

a

题图

0]（X,O）=0]（X,G）=O,卩（儿°）=02（X，d）=°

（p\（X,y）t0（x->oo）f（p2（x.y）->0（xt-s）

0i（ay）=02（°」）•

由条件①和②，可设电位函数的通解为

0心,刃=£A启一"®sin（空）

角Q

由条件③，有

（x>0）®（x，y）=YB严wsin（—-）（x<0）

n-lG

X4sin（^）=fBnsin（^）tia卅a

"、£JU竺）=鱼3（y-d）

d勺）

a

Xan

-工A”兰sin（竺）-工耳兰sin（

n-iuQk-1"

m7ry

由式

（1）•可得厲=氏（3）:

将式

（2）两边同乘以sin（=）・并从0到“对歹枳分，有

nny

A+B=-2^-f°/（y-〃）sin（fdy=上^~sin（上$（4）

“碣J0an兀a

由式（3）和（4〉解得

G.nnd

A〃=e=^sm（——）n7T£｛）a

故叭（x,y）=^S-sin（—K^sin（—）（x>0）

矶n^lflaCl

0（x,y）=丄血（旦）严眺sin（空）（x<0）

叭T^inaa

如题图所示的矩形导休槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷％。

求槽内的电位函数。

解由于在C5，y（））处有一与z轴平行的线电荷g八以x=x0为界将场空间分割为

0

而在x=x0的分界面上.可利用5函数将线电荷①表示成电荷而密度b（y）=aQ（y-）b）・电位的边界条件为

①01（0”）=0,02（"，刃=0,②0i（x,O）二0（x,Z?

）=O,®（x,0）=®（xe）=0

③％（勺，）'）=02（如，〉'）（詈一讐）L-®=—学/（〉'一凡）由条件①和②，可设电位函数的通解为

01（俎y）=XArsin（-r-）smh（-—）（0

bb

0，（x，y）=£B”sin（^^）sinh［?

（"-_¥）］（x0

Mbb

由条件③,有

n/ry

S•（"）*（>）

X4sin（牛药sinh（耳=£耳sin（牛丄）sinh［牛（a-x。

）］铝bb粽bb

□兀x（\、二c口兀.川兀y、.nn,“、

）一丫场〒sin（—j—）cosh［〒（a-x。

）］=一6（丁一儿）

（2）

结bbbs（）

由式⑴，可得Asinh（n；rX<））-Bsinh［—（a-xo）］=O

bb

将式

（2）两边同乘以sin（冬竺），并从0到b对〉'积分，有

b

二▲nn・ii7ry\

S4TS1n（—）cosh（

w-1

从剧（罟）+恥两#（“-心）］=誥匸恥-北）血（罟）2=誥血（乎）⑷

由式（3）和（4）解得

4=——色sinh[—（«-x0）]sin（^^-）

sinh（ii7ra/b）h7T£（）bh

B”=--sinh（竺勺）sin（竺蜀

sinh（n/rq〃）nrrs^bb

故也匕,），）=—£——sinh[牛⑺一勺）]•sin（气巴）sinh（罕3sin（罕J,（0

7T£（>nsinh（n7ra/b）bbbb

©（忑刃二玉工——sinh（^4•sin（^^）sinh[字（"一x）]sin（乎）,（xQ

碣H□sinhQzwb）bbbb

若以y=）b为界将场空间分割为ovy<弘和）b

®（圮刃=工—T：

——smh[——（b—儿）1・sin（—）sinh（—）sin（——）（0

碣=“sinh（/?

7rp/a）aaaa

®（兀刃=——y——-■—smh（）・sm（——）sinh[——（b-y）]sm（——）（y0

亦（）=nsmh（“/r®a）aaaa

*如題图所示，在均匀电场E（）=s£o中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱•恻柱的半径为a。

求导体圆柱外的电位0和电场E以及导体表面的感应电荷密度bo

解在外电场E。

作用下，导体表面产生感应电荷.圆柱外的电位是外电场E。

的电位0。

与感应电荷的电位0〃的叠加。

由于导体恻柱为无限长.所以电位与变虽z无关。

在圆柱面坐标系中.外电场的电位为％（人O）=-E（d+C=-E（/cos0+C（常数C的值由参考点确定）.而感应电荷的电位久（匚0）应与％（几0）—样按COS0变化.而且在无限远处为0。

由于导体是等位体，所以0（几。

）满足的边界条件为

①（pa（t））=c

②卩（匚。

）一>一耳/cos0+C（r—>oo）

由此可设卩（几。

）=-E0rcos^+Ajr"1cos0+C

由条件①，有-C）acos0+°cos0+C=C

于是得到4=a‘E（）,故圆柱外的电位为（p（i\（/>）=（-r+a2rl）E0cos+C若选择导体圆柱表面为电位参考点，即0（d"）=0.则C=0。

导体圆柱外的电场则为

d（p1d（pa1a2

E卞0（儿。

）er亦%厂诃-S（l+=）£oCos0+s（-l+=）EoSin0

导体圆柱表面的电荷面密度为b=一5严"、\=2^0E0cos^

dr

*如题图所示.一无限长介质圆柱的半径为介电常数为£，在距离轴线>a）处・有一与圆柱平行的线电荷才，il•算空间各部分的电位。

解在线电荷g作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位卩（匚0）均为线电荷如的电位口（人0）与极化电荷的电位

冷（几0）的叠加.即卩（几0）=®（几0）+殊（匚0）。

线电荷①的电位为

而极化电荷的电位禺（匚0）满足拉普拉斯方程，且是0的偶函数。

介质恻柱内外的电位0（几0）和卩（匚0）满足的边界条件为分别为

①％（0,砒为有限值：

②02（人。

）一a•—>s）

③r=a时，（p\=（p、、£丝=£°^~drdr

由条件①和②可知，5（人0）和®（八0）的通解为

01（匚0）=冯（八。

）+工AnrHcosM

n-l

将式

（1）〜（3）带入条件③.可得到

（4）

xx

工Anancosn©=工Bn（r11cosn（/>

H-）/l-l

An£nal!

^+耳弘（厂心

（£一窃）/（/严

2知％

a4（£—£（））1G（£—勺））d，

由此解得九=一一—,色=一———:

故得到圆柱内.外的电位分别为

2兀£（）（£+£（））"A）2/^（）（£+£（））M）

（8）

（p\（几0）=———InJr+?

;；-2rr（）cos（/）-'（*—V-（―）r,cos询

2矶2碣（£+匂）的“）

%（r,0）=—InJr，+斥-2n£cos0-色“二包）y1（―）ncosn（/>

2矶2碣（£+匂）粽舁〃・

讨论：

利用式（6）,可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为

-•色心二包）V-（-）1'cosM=恥一®）（in尺一h“）

2碣（£+£（〉）帥r02矶（£+£o）

_恥-6）£丄（尤）,0财=心一可（M一1"）

2兀勺）（£+£（））n-i戸人/2九％（£+£°）

其中R=yjr2+（a2/r（））2-2r（«2/^）cos^。

因此可将％（几砒和⑺（匚°）分别写成为%（“）=—产泌In/?

—尔:

-%）严

2碣£+£（）2碣（£+»）

卩心0）=_厶讪_1一（£7皿1叔_1（一勺皿1”

2矶£+2叭£+旬

由所得结果可知.介质圆柱内的电位与位于（G，0）的线电荷——G的电位相同，而介质恻柱外的电位相为干三根线电荷所产

£+£°

生，它们分别为：

位于（仏，0）的线电荷如：

位于（—.0）的线电荷一位于厂=0的线电荷仝』4。

心£+

*在均匀外电场E（）=ezE{）中放入半径为“的导体球•设

（1）导体充电至

（2）导体上充有电荷0。

试分别讣算两种情况下球外的电位分布。

解

（1）这里导体充电至“°应理解为未加外电场E（）时导休球相对于无限远处的电位为”,此时导体球面上的电荷密度cr=£{pja，总电荷q=47r“iUQ°将导体球放入均匀外电场中后，在E（）的作用下.产生感应电荷.使球面上的电荷密度发生变化.但总电荷9仍保持不变，导体球仍为等位体。

设卩（八&）=%（/）+%（/）,其中（pQ（r.0）=-Eoz=-Eorcos01是均匀外电场E（）的电位.％（匚&）是导体球上的电荷

0（",0）=C（）,_£（）g乔dS=g

产生的电位。

电位卩（几&）满足的边界条件为

①厂tS时.>-E0rcos^:

②r=a时,

其中C°为常数，若适、“|选择0（匚&）的参考点，可使Cq=U°。

由条件①，可设

（p（r,O）=-EQrcos0+A{r~2cos0++G代入条件②.可得到A{=ayE（）.=aU（）9C}=C（）-U

若使G=U{）.可得到

（2）导体上充电荷Q时.令Q=4^0«i/0,有i/0=

利用

（1）的结果，得到（P（0）=-Eorcos0+u'E^r2cos<9+

4矶旷

如题图所示.无限大的介质中外加均匀电场Eo’Ey在介质中有一个半径为"的球形空腔。

求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为£）o

解在电场仇的作用下•介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内.外的电场E为外加电场E。

与极化电荷的电场£卩的叠加。

设空腔内.外的电位分别为®（几&）和？

（八&）,则边界条件为

①厂ts时，5（人°）t-£（/cos&：

②厂=0时，％（匚&）为有限值：

③r=a时.0]（仏&）=%（“,&）•£（）2^L=£^Ldrdr

由条件①和②，可设％（匚0）=-耳/cos&+A/cos&,（p2（r,0）=-EQrcos0+A2r^cos0

带入条件③，有

A^ci=A^u"f—£（）E°+£（/]=—£耳）—2wa4

由此解得A-耳）,A2=-^-~--a'E0

1£+2w+

3w

所以®（人0）=-———Eorcos0

Is+w（）

空腔内、外的电场为

空腔表面的极化电荷面密度为

3匂（―t）EoCos&

2s+w（）

一个半径为R的介质球帯有均匀极化强度Po

解以细导线恻环所在的球ifiir=a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解•并利用5函数将细导线恻环上的线电荷0表示成球面r=a上的电荷面密度

再根据边界条件确定

设球面r=a

③％（%）=02坨巒-勢L广島泌◎

根据条件①和②.可得0|（八&）和©（厂,0）的通解为

®（r,&）=£/W（cos&）

（1）.（p2（r,6>）=2^Plt（cos0）

（2）

“■（）口

代入条件③，有Anan=Bn（r1^（3）£[&加1+优（〃+1）八7比（cos&）=_J（cos^）（.4）

n=02隔X

将式（4）两端同乘以匕（cos&）sin&,并从0到兀对6进行积分，得

:

"+呼［J（cos0）Pn（cos0）sin060=

：

"+撃E（0）

47T£（）cr

（5）

n=1,3,5,…

0

（_1）"/213

246…畀

由式（3）和⑸，解得An=/；r（0）t耳=纟一代（0），代入式⑴和

（2）,即得到

4碣。

4矶

1一秒G）P,（COS6）4-

其中£（0）=

n=2,4,6,…

3

巳（COS&）+•…

中\=亠

4疋（Z

©2=4（~

★【】如题图所示，一个点电荷g放在60°的接地导体角域内的点（1,i,o）处。

求：

（1）所有镜像电荷的位宜和大小：

（2）点x=2.y=1处的电位。

解

（1）这是一个篡重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷g到角域顶点的距离为半径的圆周上•并且关于导体平面对其大小和位宜分别为

x：

=V2cos75°=0.366,

6,厂02=6

y；=V2sin75°=1.366

x；=V2cosl95°=-1.366丄="sin195°=—0.366Jx；=yflcos285°=0.366\y\=285°=-1.366

x；=V2cos315°=1

X=V2sin315°=-l

（2）点x=2.y=1处电位0（2,1,0）=1

7（叮听。

9+亂好

題图

P4（COS^）4-•…

（r

（r>a）

xf2=佢cosl65。

=-1.366y；=Qsinl65°=0.366

纟+乞+鱼+©+2+鱼L

4亦八&R2R.&R5）

（1一0.597+0.292一0.275+0.348一0.477）=（7=2.88x10^（V）

4矶4矶