巴斯普定理及其证明.docx

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巴斯普定理及其证明

05物体平衡的种类

概念规律：

1、平行力的合成与分解

物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平

行力（系）。

在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平

动效果和转动效果5后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都

相同。

两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等

于分力大小之和。

其作用线在两个分力作用点的连线上。

合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。

例如：

两个同向平行力Fa和Fb，其合力的大小F=Fa+Fb，合力作用点0满足A0•Fa=BO•Fb的尖系。

两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其

大小等于分力大小之差。

其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。

合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。

例如：

两个反向平行力Fa和Fb

的合成其合力的大小F=H-Fa（假如Fb〉Fa,则F和Fb同向）其合力的作用点满足AO・Fa=BO-Fb的尖系。

一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。

2、重心和质心

重心是重力的作用点。

质心是物体（或由多个物体组成的系统）

质量分布的中心。

物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。

对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。

但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时,两者就不重合了，如高Lh的重心比质心要低一些。

质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，可以写成三个

分量表达式：

1吕1V1v

竝=帀厶加卫八y=衣乙如y八%=

其意义可以这样理解：

假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m物体总质量等于块数（设为N块）乘以每块质量m第一式可以改写成：

即等于各小块的位置X之和除以块数N。

因此，在假定每

块质量相等时Xc，就是所有X的平均值。

如果其中有一块（设第i块）的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的X应出现两次。

这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。

因此，Xc是所有质量在X方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。

这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

质心位置的求法：

（1）定义法根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。

首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。

对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。

因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。

（2）实验室质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。

在此平面物体上，选两点A和B（设A、B和质心不在同一直线上），分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。

（3）对称法

如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。

这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。

（4）分割法

这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各

部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。

如下左图的棒锤'假设匀质球A质量为M、半径为R;匀质棒B质

量为m、长度为I，求它的重心。

第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。

C在AB连线上，且

AC•M=BC•m（如下右图）。

A吨B

Lb

'mg

（5）负质量法

容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是

把整个物体分割成质心易求的几个部分。

不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。

同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为一M

的球A，的合成（如下左图），用反向平行力合成的方法找出其重心C,C在AB连线上，且BC-（2M+m）=AC-M不难看出两种方法的结果都是：

BC=M（R+I/2）/（M+血

（2U+m）g

证明方法与分割法相同

有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质

心。

通常把物体分割成n个部分，求得这n个部分的质量分别为m,m，・・・5。

所受的重力相应为mg,mg，・・・mg°又求得它们的重心（质心）的坐标分别为（X「yi,Zi）,（Xzy2Z2），…，（Xn,yn,Zn）。

由于这n个部分所受的重力G=mg（i=l,2,・・・，n）可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n个平行力合力的作用点位置（xc,yc,z》得出整个物体质心（重心）的位置坐标为

上例中‘以B点为原点‘水平向右为。

轴正方向，贝UA、B的合质心的位置为：

—肘5

.=0

负号表不质心的位置在B点左侧（如上右图）。

用坐标法求物体的重心是比较方便的。

坐标法与分隔法-

样，都是由平行力的合成方法推导出来的，有兴趣的读者可以尝试推导

「O

（6）巴普斯定理及其推论

对于质量连续分布的物体，求质心的一般方法是利用质心定义的三个分量表达式。

但是，有时我们愿意采用处理这类问题的技巧，巴普斯定理提供了一种技巧。

巴普斯定理表述为：

一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点

沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。

当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直

的直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体。

显然，巴普斯定理成立。

一般情况下，平面物体上海一质点运动保持与物平面垂直，而各质点速度并不相等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间将扫出一个不规则体积。

我们要证明巴昔斯定理仍能得到满足。

下面分步给出证明。

1）易知，质心为原点的质心参照系下，质心的位置坐标必为零。

对于平面物体情况，在物平面内建立坐标OXY（z轴垂直此

面），坐标原点0与质心c重合，因质心X坐标Xc二0,得

2）我们已经知道，冈咻的一个无限小运动可以由刚体上任一参考

点的无限小平动和绕此参考点的无限小转动叠加而成。

现在我们把平面物体的运动分成无限多个无限小运动。

每

个无限小运动分解成随质心的无限小平动和绕质心的无限小转动。

为

保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求，应满足：

随质心的无限小

平动必须垂直于物平面；绕质心的无限小转动

的瞬时转动轴必须在物平面上。

3）讨论符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第i个无限

小运动。

设随质心的第i个无限小平动位移的Z，则平面物体扫过

的体积元为

iVr一SA?

r

其中S为平面物体面积。

设绕过质心在物平面上的转轴为y轴，第i个无限小转动产生的角位移为Aa。

利用Xc二0,得

》:

Tr—tr\=0

其屮（T为平面物体质量面密度，对于质量均匀分布的平

面物体，彷为常量S为平面物体上面元的面积。

设各面元

在无限小转动下转过的路径△1i为

因平面物体上各质点△%相同，所以

&另屁=0

则

X*iSt-0

此式表示，由无限小转动所引起的各面元在空间扫过的体积正好抵消（这只有在坐标原点选在质心上，才有此结论）。

对于整个运动过程，此结论依然成立。

因此，在满足巴普斯定理的运动要求下，面物体在空间扫过的体

积为

v=X匕=5另△卷

其中刀△Zi为平面物体运动中质心经历的路程。

巴普斯定理得证。

例1:

求两直角边长分别为a、b的直角三角形，质量均匀分布5求质心的位置°（x=b/35y=a/3）

例2:

求均匀半圆盘的质心位置。

设圆半径为Ro（x=4R/3n）

巴普斯定理的一个推论同样很实用。

此推论表述为一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。

这个推论的正确性，只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的结论得到。

■

例3:

求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置。

设圆半径

为Ro（x=2R/n）

例4:

如图（a）所示，由匀质金属丝围成的封闭图形，其中曲线部分是半

径为R的半圆'直线部分是直径。

求此封闭金属丝的质心位置。

（2R/

（2+n））

3、物体平衡的种类

当物体达到平衡以后受到微小扰动而偏离平衡位置时，如果这

物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡。

如带正电的小球处在两个带等量负电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，这物体在

所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡。

如带正电小球处在两等量正电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小的扰动偏离平衡位置时，这物体

所受的合力仍为零，而能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡叫随遇平衡。

如与液体密度相同的实心物体浸没在液体内部。

4、物体平衡种类的判断方法

（1）受力分析法当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的：

如果所受的合外力为零，则质点处于随遇平衡状态。

（2）力矩比较法对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定状

态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡状态。

（3）重心升降法对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚体两种）判断其平衡种类时，常可用重心升降法。

即若使物体稍微偏离平衡位置，如其重心升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置后其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置后其重心高度不变，则为随遇平衡。

（4）支面判断法具有支面的物体平衡时，物体所重力的作用线一定在

如果偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体就能回

到平衡位置，属于稳定平衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩会使物体继续远离原来的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突

破口。