大学物理公式.docx

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大学物理公式

大学物理公式

第一章  质点运动学

国际基本物理量：

长度（m）,质量（kg）,时间（s），电流（A）,热力学温度（K），物质的量（mol）,发光强度（cd）

量纲：

某一物理量借助有关定义或定律用基本量表示时，表达式中各基本量的指数。

例：

F=ma,则F导出单位为kg*m/（s^-2）,力对质量，长度量纲为1，对时间量纲为-2。

§1.2质点运动描述

位矢函数：

r=r（t）或r={x（t）,y（t）,z（t）}

其中r=xi+yj+zk，

︱r︳=√[x^2+y^2+z^2]

消去t即可得轨迹方程

速度：

V=dr/dt=（Vx）i+（Vy）j+（Vz）k

︱V︳=√[（Vx）^2+（Vy）^2+（Vz）^2]

加速度：

a=dv/dt=（Ax）i+（Ay）j+（Az）k

︱a︳=√[（Ax）^2+（Ay）^2+（Az）^2]

自然坐标系

Eτ为切向量，EN为法向量

V=（ds/dt）*Eτ=︱V︳*Eτ

a=（Aτ）+（AN）=（dv/dt）*Eτ+（v^2/ρ）*EN  其中ρ为该点的转弯半径

︱a︳=√[（dv/dt）^2+（v^2/ρ）^2]

加速度与切向夹角α=artan（AN/Aτ）

圆周运动

角速度：

ω=dθ/dt

角加速度：

β=dω/dt=（d^2θ）/（dt^2）

有V=Rω,Aτ=Rβ,AN=Rω^2

V=ω×R,求导得a=（Aτ）+（AN）=β×R+ω×v

第二章  质点动力学

牛顿第一定律：

惯性和力

牛顿第二定律：

P=mv,F=dP/dt=d（mv）/dt=m（dv/dt）=ma

牛顿第三定律：

F1=F2

惯性力：

F+Fo=MA’其中Fo=-MAo，Ao为所选参考系相对地面的加速度，A’为目标物体在所选参考系中的加速度

功：

dA=Fcosαdr，A=∫F*dr

功率：

P=dA/dt=F*（dr/dt）=F*v

保守力做功：

只与初末位置有关

平动功能原理：

除重力外其他力作功等于平动机械能改变量

机械能守恒：

保守力做功情况下物体动能与势能相互转换而总合不变

动能定理：

∫F*ds=ΔEk

动量定理：

∫F*dt=ΔP

动量守恒：

F=0（F为合外力）,则P1=P2=C（常矢量）

质心：

质点系中所有质点位矢乘上以该位置质点质量为权重的加权平均值

第三章  刚体力学

转动定律：

M=Jβ,与牛二（F=ma）类比,M为合外力矩，J为转动惯量，相当于m,β为角加速度，相当于a

其中，J=∫r^2*dm

回转半径：

r=√（J/m）

物体类型

转轴位置

对应转动惯量

圆环

穿过圆环中心与环面垂直

J=mr^2   

以直径为转轴

J=（mr^2）/2

薄圆盘

穿过圆盘中心与盘面垂直

J=（mr^2）/2

圆筒

沿圆筒的中心轴

J=m（R1^2+R2^2）/2    其中R1为内半径，R2为外半径

圆柱体

沿柱体中心轴

J=（mr^2）/2

穿过柱体中点与中心轴垂直

J=（mr^2）/4+（ml^2）/12

其中l为柱体长度

细棒

穿过棒中点与棒垂直

J=（ml^2）/12

 其中l为棒长

穿过棒端点与棒垂直

J=（ml^2）/3

其中l为棒长

球体

以球体直径为转轴

J=[2（mr^2）]/5

薄球壳

以球壳直径为转轴

J=[2（mr^2）]/3

平行轴定理：

若质量为m的刚体对过其质心c的某一转轴的转动惯量为Jc,则可知此刚体对于平行于该轴、和该轴相距为d的另一转轴的转动惯量J为：

                                 J=Jc+md^2

刚体转动动能：

Ek=（Jω^2）/2      类比平动动能：

Jóm,ωóv

刚体重力势能：

Ep=mgh

力矩的功：

dA=M*dθ  A=∫M*dθ

功率：

P=dA/dt=M*dθ/dt=M*ω

刚体转动动能定理：

A=∫M*dθ=∫Jωdω=[J（ω2）^2-J（ω1）^2]/2其中M为合外力矩    注意类比平动

转动功能原理：

∫M*dθ=mg（H2-H1）+[J（ω2）^2-J（ω1）^2]/2  其中M为除重力距外其他力矩之和

刚体机械能守恒：

mgH+（Jω^2）/2=C（常量）

角动量：

L=Jω          类比P=mv

角动量定理：

∫M*dt=L2-L1=ΔL   类比∫F*dt=ΔP

角动量守恒：

L=Jω=C，转动过程中合外力矩为零适用

第六章电荷与电场

库仑定律：

F=（kq1q2）/r^2 其中k=1/（4πεo）

真空中的介电常数：

εo  

电场强度：

E=F/q（试验）=kq（产生电场的电荷）/r^2

场强叠加：

dE=k（dq）/r^2    E=k∫[（dq）/r^2]

体电荷密度：

ρ=（dq）/（dV）

面电荷密度：

σ=（dq）/（dS）

线电荷密度：

λ=（dq）/（dL）

电偶极距：

Pe=ql,其中l为-q指向+q的径矢

电偶极子中垂线上某点场强：

E=Pe/（4πεoR^3）=kPe/R^3其中R为该点距中垂线中点距离

无限长的均匀带电棒在距其距离为a处的点的场强为Ey=2kλ/a,其中λ为线电荷密度

半无限长的均匀带电棒在距其距离为a处的点的场强为E=[（√2）*kλ]/a,其中λ为线电荷密度,方向为x轴，y轴角平分线方向

均匀带电圆环轴线上任一点场强为：

E=kQx/[（x^2+a^2）^（3/2）]

其中Q为圆环带电量，a为圆环半径，x为该点到环心的距离

均匀带电圆盘轴线上任一点的场强为：

           E=σ[1-x/√（R^2+x^2）]/（2εo）

其中x为该点到圆盘中心距离，R圆盘半径，σ为面电荷密度

无限大均匀带电板附近场强：

E=σ/（2εo）

电通量：

dφ=E*dS 场强E也可表示为E=dφ/d（S⊥）

φ=∫E*dS,若S为闭合曲面，则φ=∮E*dS

真空中的高斯定理：

φ=∮E*dS=（∑q）/εo

一般取对称高斯面则面上场强E=（∑q）/（εoS）

半径为R的均匀带电球壳的空间场强分布：

r>R时，E=kq/（r^2）

r

半径为R的均匀带电球体的空间场强分布：

r≥R时，E=kq/（r^2）

r

无限长均匀带电直线空间场强分布：

E=2kλ/r     其中r为该点到直线距离

半径为R的无限长均匀带电圆柱面空间场强分布：

r>R时，E=2kλ/r

r

无限大均匀带电薄平板空间场强分布：

E=σ/（2εo）

一对电荷密度等值异号的无限大均匀带电薄平板空间场强分布：

E=σ/εo

静电场环路定理：

dA=QoEdlcosθ  Qo为试验电荷

A=∫dA=kQoQ∫（1/r^2）*dr=kQoQ[（1/Ra）-（1/Rb）]    

 其中Ra为目标电荷到试验电荷运动起点的距离，Rb为目标电荷到试验电荷运动终点的距离

电势：

U=∫E*dl

电势差：

Uab=Qo（Ua-Ub）   Ua为起点电势，Ub为终点电势

单个点电荷的电势分布：

U=kq/r （r≠0）其中r为该点到点电荷距离

半径为R均匀带电球面电势分布：

r>R时，U=kq/r

r≤R时，U=kq/R

半径为R的均匀带电（q）细圆环轴线上电势分布：

U=kq/[√（R^2+x^2）] 其中x为该点距圆环中心距离

当x>>R时，既点无限远，U=kq/x

当x=0时，U=kq/R

等势面：

（1）与电场线正交

（2）电场线方向为电势降落方向（3）电场越强处等势面越密，电场越弱处等势面越疏。

静电场中的导体

静电平衡状态：

导体内部和表面都没有电荷宏观定向运动的状态

静电平衡状态下的导体性质：

1、导体内部，场强处处为零；导体表面场强垂直导体表面；电场线不进入导体内部，而与导体表面正交。

2、导体内、导体表面各处电势相同，整个导体为等势体。

静电平衡状态下的导体带电性质：

1、导体内部净电荷为零，电荷只分布于导体外表面

2、导体表面个点的面电荷密度与表面邻近处场强成正比，即σ=εoE表，

则导体表面邻近处场强:

E表=σ/εo

3、导体表面电荷面密度σ与该处曲率有关，曲率越大则σ越大，曲率越小则σ越小

静电平衡状态下的空腔导体带电性质：

1、腔內无带电体：

①   空腔内部场强为零，整个腔体为一个等势体

②   若空腔导体带电，则其电荷只分布与外表面，内表面无电荷

2、腔內有带电体：

①   导体中场强为零

②   空腔内部的电场取决于腔内带电体，空腔外电场取决于空腔外表面的电荷分布

③   空腔的内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号

电容和电容器

电容：

C=Q/U

电容式反映孤立导体容纳电荷和电能能力的物理量，用单位电势差所容纳的电量来表征，它只与孤立导体本身的形状、大小和周围电介质有关，而与其是否带电无关

计算电容器一般步骤：

1、假设所求电容器两极板各带+q和-q电荷

2、求出其板间电场E的分布，并由U=∫E*dl计算两极板间的电势差

3、由定义C=Q/U求得

两个靠的很近（可将两板看成无限大），相距为d，面积为S，板间为真空的平行金属板组成的平板电容器：

E=σ/εo,U=（qd）/（εoS）,Co=（εoS）/d

当板中充满各向同性均匀电介质时，电容C将增大，有：

             C/Co=εr

Εr称为电介质的相对介电常数

则两个靠的很近（可将两板看成无限大），相距为d，面积为S，板间充满各向同性均匀且相对介电常数为Εr的电介质的平行金属板组成的平板电容器：

           C=εr*Co

两半径分别为R1和R2（R2>R1）的同心金属球壳（壳间为真空）组成的球形电容器的电容为：

          Co=（R1*R2）/[k*（R2-R1）]

对于长为l,半径分别为R1,R2（R2>R1）两同轴圆柱面组成的圆柱形电容器（面间为真空）,其电容为：

            Co=l/[2k*㏑（R2/R1）]

n个电容器串联，有如下等量关系：

Q1=Q2=……=Qn

V=∑Vi,i=1,2……,n

1/C=V/q=（∑Vi）/q=∑（1/Ci）

n个电容器并联，有如下等量关系：

Q=∑Qi

V=V1=V2=….=Vn

C=∑Ci

多个电容串联的总电容可与多个电阻并联的总电阻类比

多个电容并联的总电容可与多个电阻串联的总电阻类比

电介质中某处电极化强度矢量：

P=（∑Pe）/ΔV,其中Pe为该处附近的电介质分子电偶极矩矢量，V为该处体积

当外电场不太强（没有发生电介质击穿现象），某处电极化强度矢量P与该处的总场强E（E=Eo+E’）成正比：

 P=χeεｏE

其中χe称为电介质的电极化率

电介质外表面某处的极化电荷元电量dQ’在量值上等于该处面元dS的电极化强度矢量P的元通量，即：

       dQ’=P*dS

电介质中的场强：

E=Eo+E’

其中Eo为外电场（自由电荷产生场强），E’为极化电荷产生的附加场强

电介质的电极化率χe，相对介电常数εr之间有如下等量关系：

    εr=１＋χe

在电容器那一节中定义过介电常数ε＝εｒ*εｏ

则可得：

   ε=εｒ*εｏ=（１＋χe）*εｏ

其中真空中的介电常数εｏ为已知量，知道εｒ，ε，χe中任意两个即可求得第三个。

εｒ，ε，χe均为表征电介质性质的物理量，即它们的数值随电介质的不同而不同。

当电介质存在时，静电场环流定理仍成立，形式不变，高斯定理也成立，但形式变为：

       ∮E*dS=∑（Qo+Q’）/εo

其中Qo和Q分别为所取高斯面包围的自由电荷和极化电荷，E为空间所有自由和极化电荷在所取高斯面上各点所产生的合场强。

电位移矢量D=εo*E+P=εo*E+χeεｏE=εｒ*εｏ*E=ε*E

高斯定理可化为更简洁的形式：

∮D*dS=∑Qo

点电荷系统的电能：

W=（1/2）∑Qi*Ui

其中Ui为除去第i个点电荷外所有其他点电荷产生电场在第i个点电荷位置产生的电势

电容器能量：

We=（Q^2）/（2C）=（CV^2）/2=Q/（2V）

电场能量：

dWe=[（ε*E^2）/2]*dV       We=∫dWe

第七章电流与磁场

比奥-萨法尔定律:

dB=[（kIsinθ）/（r^2）]*dl  矢量式：

dB=[k*（Idl）×r]/（r^3）用以判断方向

其中Idl为所取电流元，θ为Idl与径矢r的夹角，k=μo/（4π）,μo为真空中磁导率

电流为I的无限长导线在距其距离为a处的点产生的磁感应强度为B=2kI/a（类比电场强度类似模型的结论）

电流为I的半无限长导线在过其端点且垂直于导线的空间直线上某点产生的磁感应强度B=kI/a,为上个结论数值的一半，其中a为该点距导线的距离

电流为I的圆环电流轴线上任一点磁感应强 B=（2k*I*S）/[（R^2+x^2）^（3/2）]=（2k*I*S）/（r^3）

其中R为圆环半径，x为点到环心距离，r=√（R^2+x^2）

易得环心处B=（μoI）/（2R）=（2k*π*I）/R,当x>>R时，B=2k*I*S/（x^3）

载流线圈磁矩：

Pm=N*I*[S（En）],其中I为回路电流，S为圆电流回路面积，En为回路平面法线方向，N为线圈匝数

无限长载流直螺线管内部轴线上的磁感应强度：

B=μo*n*I

其中n为单位长度线圈匝数，I为螺线管电流

半无限长载流直螺线管内部轴线上（端面中心）的磁感应强度：

B=（μo*n*I）/2 为上个结论数值的一半

磁通量：

dφm=B*dS 磁感应强度B也可表示为B=dφ/d（S⊥）

φ=∫B*dS

恒定磁场中的高斯定理:

∮B*dS=0

真空中恒定磁场的安培环路定理:

∮B*dl=μo∑Ii

无限长载流圆柱形导体（半径为R）的磁场分布：

r=0,B=0

r≤R,B=（2k*r*I）/（R^2）

r>R,B=（2k*I）/r

其中r为点到圆柱轴线的距离

无限长载流圆柱面（半径为R）的磁场分布：

r

r≥R,B=（2k*I）/r

无限长载流直螺线管内部轴线上的磁感应强度：

B=μo*n*I

其中n为单位长度线圈匝数，I为螺线管电流

密绕载流螺绕环的磁场分布：

环管内，B=μo*n*I

环管外，B=0

洛伦兹力：

矢量式F=qv×B

安培力：

矢量式dF=Idl×B

F=I*B*l*sinθ

其中θ为电流I与磁场B的夹角

在匀强磁场中的载流线圈受到的磁力矩

M=N*I*B*S*sinθ

θ为线圈发现方向与磁场B的夹角（取锐角），S为线圈面积

平行载流直导线间的互相作用力：

设长为（lA）导线A通的电流为I1,导线B通的电流为I2,则导线A单位长度受力为：

                 d（FA）/d（lA）=（2k*I1*I2）/a,

其中a为两导线间距

磁力或磁力矩的功：

A=F*Δx=I*Δφm当电流变化时，A=∫I*d（φm）

                第八章电磁场与麦克斯韦方程组

N匝线圈感应电动势：

ε=-N*[（dφ）/（dt）]

感应电流：

I=ε/R=-[（dφ）/（dt）]/R

感应电量：

q=∫Idt=-（Δφ）/R

动生电动势：

ε=∫（v×B）*dl=BLv

L为导线切割等效长度，v为切割速度

长为L的铜棒在一平面内绕穿过其端点的固定轴作角速度为ω的转动，有匀强磁场垂直于其旋转平面，则整个铜棒上的动生电动势为：

        ε=（ω*B*L^2）/2

长为l的金属棒与一通以电流I的导线垂直且共面，棒以速度v平行于与导线作切割运动，则棒上产生的动生电动势为：

         ε=2k*I*v*㏑[（a+l）/a]

其中a为导线到棒上与其最近端点的距离

感生电动势：

ε=-d（∫B*dS）/dt

自感：

L，回路电磁惯性的量度，与全磁通ψ有如下等量关系：

               ψ=L*I

自感电动势：

ε=-L*（dI/dt）

求自感系数步骤：

1、设线圈电流I.2、求I在线圈内部产生的磁场分布。

3、求穿过线圈的全磁通ψ。

4、代入L=ψ/I

长为l,截面积为S,单位长度匝数为n，管内充满磁导率为μ的均匀磁介质的长直螺线管的自感系数：

     B=μ*n*l,ψ=NBS=nl*μnl*S=μ*V*I*n^2

         L=ψ/I=μ*V*n^2

电缆（由两个无限长同轴圆柱面组成，两面间充满磁导率为μ的磁介质，内半径为R1,外半径为R2）单位长度的自感系数：

                     L=[μ/（2π）]*[㏑（R2/R1）]

互感

两长直共轴空心螺线管内半径为R1，外半径为R2，自感系数分别为L1,L2,则它们的互感系数为：

                 M=（R1/R2）*[√（L1*L2）]

磁场能量：

Wm=（L*I^2）/2

磁场能量密度：

we=Wm/V=（B*H）/2