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第13章多目标决策

单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。

从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。

但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。

这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。

国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。

到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。

1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。

1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。

目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。

1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。

1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP（theanalyticalhierarchyprocess）法，并在1980年代初纂写了有关AHP法的专著。

自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。

总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。

13.1基本概念

多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。

单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。

例13.1房屋设计

某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：

1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；

2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；

3）建造时间（越快越好）；

4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；

5）造型美观（评价越高越好）

这三个方案的具体评价表如下。

表13.1三种房屋设计方案的目标值

具体目标

方案1（A1）

方案2（A2）

方案3（A3）

低造价（元/平方米）

500

700

600

抗震性能（里氏级）

6.5

5.5

6.5

建造时间（年）

1.5

结构合理（定性）

中

优

良

造型美观（定性）

良

优

中

由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。

某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。

比如从造价低这个具体目标出发，则方案1较好；如从合理美观的目标出发，方案2就不错；但如果从牢固性看，显然方案3最可靠等等。

1．多目标决策问题的基本特点

例13.1就是一个多目标决策问题。

类似的例子可以举出很多。

多目标决策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：

目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。

目标间的不可公度性是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。

例如房屋设计问题中，造价的单位是元/平方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。

目标间的矛盾性是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。

如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。

2．多目标问题的三个基本要素

一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。

目标体系—是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；

备选方案—是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。

有的被选方案是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。

决策准则—是指用于选择的方案的标准。

通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方案依某个准则排序。

另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。

如“可接受”与“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。

3．几个基本概念

1）劣解和非劣解

劣解：

如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。

这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。

非劣解：

既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。

非劣解在多目标决策中起非常重要的作用。

图13.1劣解与非劣解

单目标决策问题中的任意两个方案都可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一定都可以比较出其优劣。

如图13.1，希望f1和f2两个目标越大越好，则方案A和B、方案D和E相比就无法简单定出其优劣。

但是方案E和方案I比较，显然E比I劣。

而对方案I和H来说，没有其它方案比它们更好。

而其它的解，有的两对之间无法比较，但总能找到令一个解比它们优。

I、H这一类解就叫非劣解，而A、B、C、D、E、F、G叫作劣解。

如果能够判别某一解是劣解，则可淘汰之。

如果是非劣解，因为没有别的解比它优，就无法简单淘汰。

倘若非劣解只有一个，当然就选它。

问题是在一般情况下非劣解远不止一个，这就有待于决策者选择，选出来的解叫选好解。

对于m个目标，一般用m个目标函数刻划，其中x表示方案，而x的约束就是备选方案范围。

最优解：

设最优解为，它满足

（13.1.1）

2）选好解

在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个比较满意的方案。

这个比较满意的方案就称为选好解。

单目标决策主要是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案。

而多目标决策除了需要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。

权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。

13.2决策方法

解决多目标决策问题的方法目前已有不少，本节主要介绍以下三种：

化多目标为单目标的方法、重排次序法、分层序列法。

决策的一般步骤为，第一步，判断各个方案的非劣性，从所有方案中找出全部非劣方案，即满意方案。

第二步，在全部非劣方案中寻找最优解或选好解。

13.2.1化多目标为单目标的方法

由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。

下面介绍几种较为常见的方法。

1）主要目标优化兼顾其它目标的方法

设有m个目标f1（x），f2（x），….，fm（x），xR均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1（x），并要求其为最大。

在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即

就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：

（13.2.1）

例13.2设某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要。

生产两种产品所需的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表13.2所示。

在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标：

第一，计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品A的产量必须为产品B的产量的1.5倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于11个单位。

消耗定额产品

资源

限制量

设备台时（h）

原料（t）

单位利润（千元）

3.2

表13.2产品消耗、利润表

显然，上述决策问题是一个多目标决策问题，今若将利润最大作为主要目标，则后面两个目标只要符合要求即可。

这样，上述问题就可变换成单目标决策问题，并可用线性规划进行求解。

设为产品A的产量，为产品B的产量，则上述利润最大作为主要目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下：

max

（13.2.2）

（线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅《运筹学》有关部分。

）

2）线性加权和法

设有一多目标决策问题，共有f1（x），f2（x），…，fm（x）等m个目标，则可以对目标fi（x）分别给以权重系数（i=1，2，…，m），然后构成一个新的目标函数如下：

maxF（x）=（13.2.3）

计算所有方案的F（x）值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。

在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。

3）平方和加权法

设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1（x），f2（x），…，fm（x）与规定的m个满意值f1*，f2*，…，fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：

F（x）=（13.2.4）

并要求minF（x），其中是第i（i=1,2,…）个目标的权重系数。

4）乘除法

当有m个目标f1（x），f2（x），…，fm（x）时，其中目标f1（x），f2（x），…，fk（x）的值要求越小越好，目标fk（x），fk+1（x），…，fm（x）的值要求越大越好，并假定fk（x），fk+1（x），…，fm（x）都大于0。

于是可以采用如下目标函数

F（x）=（13.2.5）

并要求minF（x）。

5）功效系数法

设有m个目标f1（x），f2（x），…，fm（x），其中k1个目标要求最大，k2个目标要求最小。

赋予这些目标f1（x），f2（x），…，fm（x）以一定的功效系数di（i=1,2,…,m），。

当第i个目标达到最满意时di=1，最不满意时di=0，其它情形di则为0，1之间的某个值。

描述di与fi（x）关系的函数叫作功效函数，用di=F（fi）表示。

不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。

图13.2所示为线性功效函数的两种类型。

图13.2a所示为要求目标值越大越好的一种类型，即fi值越大，di也越大。

图13.2b为要求目标值越小越好的一种类型，即fi越小，di越大。

记maxfi（x）=fimax，minfi（x）=fimin，若要求fi（x）越大越好，则可设，，第i个目标的功效系数di的值为

（13.2.6）

1.0

（a）

（b）

图13.2线性功效函数

a）目标值愈大愈好的类型b）目标值愈小愈好的类型

若要求fi（x）越小越好，则可设，，第i个目标的功效系数di的值为

（13.2.7）

同理，对于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定di的取值。

当求出n个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以

（13.2.8）

作为总的目标函数，并使maxD。

从上述计算D的公式可知，D的数值介于0、1之间。

当D=1时，方案为最满意，D=0时，方案为最差。

另外，当某方案第i目标的功效系数di=0时，就会导致D=0，这样也就不会选择该方案了。

13.2.2重排次序法

重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。

下面举例说明重排次序法的求解过程。

例13.3设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。

由于对m个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。

若用fij表示第i方案第j目标的目标值，则可列表如表13.3所示。

表13.3n个方案的m个目标值

目标（j）

方案i

…

fm-1

λ1

λ2

…

λj

…

λm-1

λm

…

f11

f21

….

fi1

…

fn1

f12

f22

…

fi2

…

fn2

…

f1j

f2j

…

fij

…

fnj

…

f1,m-1

f2,m-1

…

fi,m-1

…

fn,m-1

f1,m

f2,m

…

fi,m

…

fn,m

（1）无量纲化。

为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij。

变换的方法是：

对目标fj，如要求越大越好，则先从n个待选方案中找出第j个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。

即

，

并相应地规定

而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性插值的方法求得。

对于目标fi，如要求越小越好，则可先从n个方案中的第j个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。

可规定，。

其它方案的无量纲值可类似求得。

这样就能把所有的fij变换成无量纲的yij.。

（2）通过对n个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作{B}，然后对该组非劣解作进一步比较。

（3）通过对非劣解{B}的分析比较，从中找出一“选好解”，最简单的方法是设一新的目标函数

，（13.2.9）

若Fi值为最大，则方案i为最优方案。

13.2.3分层序列法

分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成f1（x），f2（x），…，fm（x）。

然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表示，接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目标的最优解为止。

将上述过程用数学语言描述，即

（13.2.10）

…

这种方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空，并且不止一个元素。

但这在解决实际问题中很难做到。

于是又提出了一种允许宽容的方法。

所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。

这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是

（13.2.11）

…

i=1,2,…,m-1,

而ai>0是一个宽容限度，可以事前给定。

13.3多目标风险决策分析模型

假设有个目标，个备选方案（），第个备选方案面临个自然状态，这个自然状态发生的概率分别为。

方案在其第k个自然状态下的n个后果值分别为。

该模型可表述为图13.3。

各方案中各目标的期望收益值分别为

……

（13.3.1）

这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：

（13.3.2）

图13.3多目标风险型决策模型

13.4有限个方案多目标决策问题的分析方法

13.4.1基本结构

我们的问题可表述为：

从现有的个备选方案中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有个：

。

决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示（其中表示第i个方案的第k个后果值）：

表13.4有限个方案多目标决策问题的基本结构

方案

目标

…

显然这一表式结构可用矩阵表示为

（13.4.1）

这个矩阵称为决策矩阵，它是大多数决策分析方法进行决策的基础。

决策准则：

（13.4.2）

其中为第j个目标的权重。

13.4.2决策矩阵的规范化

在决策矩阵中如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。

这是因为各目标采用的单位不同，数值可能有很大的差异，因此最好把矩阵中元素规范化，即把各目标值都统一变换到[0，1]范围内。

规范化的方法很多，常用的有以下几种：

1．向量规范化

令

（13.4.3）

这种变换把所有目标值都化为无量纲的量，且都处于（0，1）范围内。

但这种变换是非线性的，变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，即最小值不一定为0，最大值不一定为1，有时仍不便比较。

2．线性变换

如目标为效益（目标值愈大愈好），可令

（13.4.4）

显然.

如目标为成本（目标值愈小愈好），令

（13.4.5）

同样有.

这种变换是线性的，变换后的相对数量和变换前相同。

3．效用值法

把每一目标的各后果值转化为效用值。

4．其他变换

在决策矩阵中如果既有效益目标又有成本目标，采用上述变换产生了困难，因为它们的基点不同。

这就是说变换后最好的效益目标和最好的成本目标有不同的值，不便于比较。

如果把成本目标变换修改为

（13.4.6）

这样基点就可以统一起来。

一种更复杂的变换是，对于效益，令

（13.4.7）

对于成本，令

（13.4.8）

这种变换的好处是，变换后把目标的最大值统一为0和1，但是这种变种不是成比例的。

13.4.3确定权的方法

在多目标决策问题中，决策者所考虑的多个目标对决策的重要程度并不是相同的，相对的来说，总有一定的差别。

目前大部分的多目标决策方法都通过赋予各目标一定的权重进行决策，以权重表示各目标的重要程度，权重越大，其对应目标越重要。

确定权重的方法很多，现介绍几种常用的方法。

1．老手法

这是一种凭借经验评估并结合统计处理来确定权重的方法。

首先，选聘一批对所研究的问题有充分见解的L个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立的对n个目标（）给出相应的权重。

设第j位老手所提供的权重方案为：

，（13.4.9）

它们满足，（）.，。

则汇集这些方案可列出如表13.5所示的权重方案表。

表13.5老手法所得到的权重方案表

权

目

标

重

手

老

偏差

…

均值

…

其中

（13.4.10）

表中的最后一行是L个权重方案的均值，或权重的数学期望估值：

，（13.4.11）

设给定允许，检验由上式确定的各方差估值。

如果上述各方差估值的最大者不超过规定的，即若

则说明各老手所提供的方案没有显著的差别，因而是可接受的。

此时，就以,,…,作为对应各目标,,…,的权重。

如果上式不满足，则需要和那些对应于方差估值大的老手进行协商，充分交换意见，消除误解（但不交流各老手所提出的权重方案），然后，让他们重新调整权重，并将其再列入权重方案表。

重复上述过程，最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。

这种方法比较实用，但一般要求老手的人数不能太少。

2．环比法

这种方法先随意把各目标排成一定顺序，接着按顺序比较两个目标的重要性，得出两目标重要性的相对比率——环比比率，然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标基数的定基比率，最后再归一化为权重。

设某决策有五个目标，下面按顺序来求其权重，见表13.6。

表13.6用环比法求权重

目标

按环比计算的

重要性比率

换算为以E为基数的重要性比率

权重

2.0

4.5

0.327

0.5

2.25

0.164

3.0

4.50

0.327

1.5

1.50

0.109

—

1.00

0.073

合计

13.75

1.000

表13.6第二列是各目标重要性的环比比率，是按顺序两两对比而求得的，则可以通过向决策者或专家咨询而得到。

例如该列第一个数值为2；它表示目标A对决策的重要性相当于目标B的2倍；第2个数字为0.5，它表明目标B对决策的重要性值相当于目标C的一半，其余类推。

第三列的数据是通过第二列计算得到的，即以目标E（排在最后的目标）对决策的重要性为基数，令其重要性为1，由于目标D的重要性相当于E目标的1.5倍，所以换算为定基比率仍是1.5，即11.5=1.5，由于目标C的重要性相当于目标D的3倍，所以目标C的重要性相当于目标E第4.5倍，即目标的定基比率为4.5，其余类推。

把各目标的重要性比率换算更为以E目标为基数的定基比率后，求得这些比率的总和为13.75，即第三列的合计数，然后把第三列中各行的数据分别除以这个合计数13.75就得到了归一化的权重值，列于表13.6最后一列。

值得注意的是上述方法的前提是决策者对于各目标间相对重要性的认识是完全一致的，没有矛盾，可实际上决策者对各目标相对重要性的认识有时不完全一致，此使这种方法便不适用，一般可改用权的最小平方法或下面其他方法。

3．权的最小平方法

这种方法也是把各目标的重要性作成对比较，如把第i个目标对第j个目标的相对重要性的估计值记作（），并近似的认为就是这两个目标的权重和的比。

如果决策人对（）的估计一致，则，否则只有，即。

可以选择一组权，使

为最小，其中（）满足，且。

如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：

（13.4.12）

将上式对微分，得到：

，（13.4.13）

式（13.4.13）和构成了n+1个非齐次线性方程组，有n+1个未知数，可求得一组唯一的解。

式（13.4.13）也可写成矩阵形式：

（13.4.14）

式中

，

4．强制决定法

此法要求把各个目标两两进行对比。

两个目标比较，重要者记1分，次要者记0分。

现举一例以说明之。

考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：

灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下（表13.7）。

其中打分所用列数为15（如目标数为n，则打分所用列数为）。

在每个列内只打两个分，即在重要的那个目标行内打1分，次要的那个目标行内打0分。

该列的其余各行任其空着。

表中总分列为各目标所得分数之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。

表13.7高度计设计方案选优决策中权重的计算

目标

重要性得分

总分

修正

总分

权重

灵敏度

0.129

可靠性

0.286

耐冲击性

0.048

体积

0.143

外观

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