完整版专升本高等数学知识点汇总.docx
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完整版专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
ykxb
（1）2—般形式的定义域：
x€R
yaxbxc
k
（2）y分式形式的定义域：
x丰0
x
（3）y、、x根式的形式定义域：
x>0
（4）ylogax对数形式的定义域：
X>0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当洛X2时，恒有f（xjf（X2）,f（x）在x1?
X2所在的区间上是增加的。
当x1x2时，恒有f（x1）f（x2）,f（x）在x1?
x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性
定义：
设函数yf（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若xD，则有xD）
（1）偶函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
⑵奇函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
三、基本初等函数
1、常数函数：
yc，定义域是（，），图形是一条平行于x轴的直线。
2、幕函数：
yxu,（u是常数）。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义：
yf（x）
x
a，I
（a是常数且a
0，
a1）.
图形过（0,1）
点。
4、
对数函数
定义：
yf（x）
lOgaX
，（
a是常数且
a
0，a
1）o图形过（
1,0）点。
5、
三角函数
（1）
正弦函数：
y
sinx
T
2，D（f）
（,
），
f（D）[
1,1]
o
⑵
余弦函数：
y
cosx.
T
2，D（f）
（,
），
f（D）[
1,1]
o
⑶
正切函数：
y
tanx
T
，D（f）{
x|x
R,x
（2k1）-,k
Z}，
f（D）（,
）.
⑷
余切函数：
y
cotx
T
，D（f）{
x|x
R,x
k,kZ}
f（D）
（,）.
5、反三角函数
（1）
反正弦函数：
y
arcsinx,D（f）
[1,1],f（D）[,]o
22
⑵
反余弦函数：
y
arccos<,D（f）
[1,1]，f（D）[0,]o
⑶
反正切函数：
y
arctanx,D（f）
（,）,f（D）（-,2）
⑷
反余切函数：
y
arccotx,D（f）
（,），f（D）（0,）o
极限
一、求极限的方法
1代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。
”因此遇到大部分
简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
、函数极限的四则运算法则
推论
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：
当x0时，sinx~x，tanx~x，arctanx~x，
x12
arcsinx~x，ln（1x）~x，e1~x，1cosx~x。
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：
当□0时，si门口~口，其余类
似。
四、两个重要极限
sinx
重要极限Ilim1。
lim^1
口0□
X0x
它可以用下面更直观的结构式表示：
1x
重要极限IIlim1e。
其结构可以表示为：
lim1
八、洛必达（L'Hospital）法则
0”型和“一”型不定式，存在有limf（x）1计丄型A（或）。
0xag（x）xag（x）
一元函数微分学
、导数的定义
设函数yf（x）在点xo的某一邻域内有定义，当自变量
x在Xo处取得增量x（点
x0x仍在该邻域内）时，相应地函数
y取得增量yf（x0x）f（x0）。
如果当
x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限
lim丄=limf（x0x）f（x°）=f（X。
）注意两个符号
x0xx0x
他的符号表示。
x和X0在题目中可能换成其
、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）（C）0（C为常数）
1
（2）（x）x（为任意常数）
（3）（ax）axlna（a0,a1）特殊情况（ex）ex
111
（4）（logax）-logae（x0,a0,a1），（lnx）-
xxlnax
（5）（sinx）cosx
（6）（cosx）sinx
（7）（tanx）厂
（8）（cotx）
sin2x
（9）（arcsinx）
（1x1）
1x
（10）（arccosx）
1x1）
（11）（arctanx）
（12）（arccotx）
2、导数的四则运算公式
（1）
[u（x）
v（x）]u（x）
v（x）
（2）
[u（x）v（x）]
u（x）v（x）
u（x）v（x）
（3）
[ku]
ku
（k为常数）
（4）
u（x）
u（x）v（x）
u（x）v（x）
v（x）
v（x）
3、复合函数求导公式：
设
y
f（u）,
u
（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数
yf[（x）]的导数为
dy
dy
du
f'（u）.
（x）。
dx
du
dx
三、导数的应用
1、函数的单调性
f'（x）0则f（X）在（a,b）内严格单调增加。
f'（x）0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。
2、函数的极值
f（x）
0的点-
――函数
f（x）的驻点。
设为X0
（1）
若x
X。
时，
f'（x）
0；
xx°时,
f'（x）
0，则
f（x0）为f（x）的极大值点。
（2）
若x
X。
时，
f'（x）
0；
xX°时,
f'（x）
0,则
f（x°）为f（X）的极小值点。
（3）
如果
f（x）在X0的两侧的符
号相同，那么f（x。
）不是极值点。
3、曲线的凹凸性
f（x）0,则曲线yf（x）在（a,b）内是凹的。
f''（x）0,则曲线yf（x）在（a,b）内是凸的。
4、曲线的拐点
（1）当f"（x）在xo的左、右两侧异号时，点（Xo,f（x。
））为曲线yf（x）的拐点，此时
f''（xo）0.
（2）当f''（x）在xo的左、右两侧同号时，点（Xo,f（Xo））不为曲线yf（x）的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
dyf（x）dx，求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。
公式可以用求导公式来记忆。
2、不定积分的性质
（1）[f（x）dx]
f（x）或df（x）dxf（x）dx
（2）
F'（x）dx
F（x）C或dF（x）F（x）C
（3）
[f（x）
（x）（x）]dxf（x）dx（x）
（x）dx。
（4）
kf（x）dx
kf（x）dx（k为常数且ko）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）
odx
C
（2）
xadx
1a1/
xC（a
a1
1）
（3）
-dx
InxC.
axdxaxC（a0,a1）
Ina
（5）
xx
edxe
（6）
sinxdx
cosxC
sinxC
（7）
cosxdx
tanxC.
cotxC.
（11）
arcsinxC.
2x
1」小
2dxarctanxC.
1x2
3、第一类换元积分法
对不定微分g（x）dx，将被积表达式g（x）dx凑成
g（x）dxf[（x）]（x）dxf（x）d（x），这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有：
1
f（axb）dxf（axb）d（axb）
a
（1）
（2）
f（axkb）xk
1kk
dxf（axb）d（axb）ka
（3）
f（V7）芈dx
2f,xd..x
f
（1）d1
xx
（5）
f（ex）exdx
f（ex）d（ex）
（6）
f（lnx）±dx
x
f（Inx）d（lnx）
（7）
f（sinx）cosxdxf（sinx）d（sinx）
（8）
f（cosx）sinxdx
f（cosx）d（cosx）
（9）
（10）
1
f（tanx）—dx
cosx
1
f（cotx）—dxsinx
f（tanx）d（tanx）
f（cotx）d（cotx）
（11）
f（arcsinx）
f（arcsinx）d（arcsinx）
（12）
f（arccosx）
1dx,1x2
f（arccosx）d（arccosx）
（13）
f（arctanx）
f（arctanx）d（arctanx）
（14）
4、分部积分法
udvuvvdu
、定积分公式
1、（牛顿一莱布尼茨公式）
b
则有f（x）dxF（b）
a
2、计算平面图形的面积如果某平面图
（x））
（（x）0）
如果F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上的任意一个原函数,
F（a）。
y1g（x）,y2f（x）及两条直线刘a和x?
围成的（其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线）
其面积可由下式求出：
b
a[f（x）g（x）]dx.
3、
计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线yf（x）（f（x）
形是由两条连续
0）和直线
a,xb（ab）及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形
成的旋转体，如图所示。
则该旋转体的体积V可由下式求出:
Vxaf2（x）dx
:
f2（x）dx.
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
2、全微分公式：
dzdf（x,y）AxBy。
3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图
且在对应于（x,y）的点（u,v）处，函数zf（u,v）存在连续的偏导数—，，则复合函数uv
zf[（x,y）,（x,y）]在点（x,y）处存在对x及y的连续偏导数，且
zzuzvzzuzv
xuxvxyuyvy
4、隐函数的导数
对于方程F（x,y）0所确定的隐函数yf（x），可以由下列公式求出y对x的导数y':
I
y'Fx（x,y）
Fy（x,y），
2、隐函数的偏导数
对于由方程F（x,y,z）0所确定的隐函数zf（x,y），可用下列公式求偏导数:
zFx（x,y,z）zFy（x,y,z）
xF；（x,y,z）'yF；（x,y,z）
5、二元函数的极值设函数zf（xo,y。
）在点（x°,y°）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
fx（x°,y°）
0，fy（x0,Yq）0又设fxx（x0,y0）A，fxy（x0,y0）B，fyy（x0,Yq）c，
则:
（1）当
1B2
AC
0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处取得极值，且当A
0
时有极大值，
当A
0时有极小值。
（2）当
1B2
AC
0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处无极值。
（3）当
兰B2
AC
0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处是否有极值不能确定,
要用其它方
法另作讨论。
平面与直线
1平面方程
（1）平面的点法式方程：
在空间直角坐标系中，过点M0（x0,y0,z0），以n｛代B,C｝为法向量的平面方程为
A（xx0）B（yy0）C（zz0）0称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
AxByCzD0称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
AxByCz0表示过原点的平面方程
AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程
AxBy0表示过Oz轴的平面方程
CzD0表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面i：
AiXBiyCizDi0
2:
A?
xB2yC2zD20
平面i和2互相垂直的充分必要条件是：
AiA2BiB2CiC20
4、直线的方程
（i）直线的标准式方程过点M0（X0，y°,Z0）且平行于向量s｛m,n,p｝的直线方程
x—x^y———z^称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）mnp
常称s｛m,n,p｝为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
AxRyGzD10称之为直线的一般式方程
A2xB2yC2zD20
5、两直线间关系
设直线丨1,丨2的方程为
xX1yy1z乙
|1:
m1
Pi
I：
XX2
II:
m2
yy2zZ2
n2
P2
直线h，I2平行的充分必要条件为-
m2n2
直线I1,丨2互相垂直的充分必要条件为口1口2门小2P1P20
6、直线l与平面间的关系
设直线I与平面的方程为
I:
xx°y_y0zz°
mn
:
A（xXo）B（yyo）C（zz°）0
ABC
直线I与平面垂直的充分必要条件为：
ABC
一AmBnCp0
直线I与平面平行的充分必要条件为：
p
Am0BnoCp0D0
直线l落在平面上的充分必要条件为AmBnCP0
Am0Bn。
Cp0D0
将初等函数展开成幕级数
1、定理：
设f（X）在U（Xo，）内具有任意阶导数，且
2、几个常用的标准展开式
称上式为f（x）在点X。
的泰勒级数。
或称上式为将f（x）展开为xX。
的幕级数。
2n1
④sinx
（1）n
n0（2n1）!
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程I
f（x）g（y）
若一阶微分方程F（x,y,y）0通过变形后可写成g（y）dyf（x）dx或
则称方程F（x,y,y）0为可分离变量的微分方程.
2、、可分离变量微分方程的解
方程g（y）dyf（x）dx必存在隐式通解G（y）F（x）C。
其中：
G（y）g（y）dy,F（x）f（x）dx.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、定义：
方程yP（x）yQ（x）称为一阶线性微分方程.
（1）非齐次方程一一Q（x）0；
⑵齐次方程——yP（x）y0.
（1）先求齐次方程yP（x）y0的通解:
P（x）dx
yCe
其中C为任意常数。
2、求解一阶线性微分方程
丄e2xcosxC1；
4
p乎,
dy
（2）将齐次通解的C换成u（x）。
即yu（x）e
（3）代入非齐次方程yP（x）yQ（x）,得
P（x）dxP（x）dx
yeq（x）edxC
2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程
1、yf（x）型的微分方程
1
例3：
求方程ye2xsinx的通解.分析：
yydx
2
yydx-e2xsinxC1xC2.
8
2、yf（x,y）型的微分方程
解法：
⑴令py，方程化为pf（x,p）；
（2）解此方程得通解p（x,cj；
（3）再解方程y（x,CJ得原方程的通解
y（xQ）dxC2.
3、yf（y,y）型的微分方程
解法：
⑴令py,并视p为y的函数，那么y—ddxdydx
⑵代入原方程，得p—f（y,p）
dy
（3）解此方程得通解p（y,G）；
（4）再解方程y（y,CJ得原方程的通解
dy-
xC2.
（y,Ci）
例4:
求方程yyy20的通解.
分析：
（1）令py,
并视p
为y
的函数，
那么
dpy
dp
dy
dx
dy
dx
⑵
代入原方程，得
dpyp-
2
p
0或
dp
dy
dy
p
y
⑶
解上方程，得In
|p|ln
|y|
InC
p
Gy，
（C1
C）
⑷
再解方程yC
iy
y_
Ci
ln|：
y1Ox
C2.
y
于是原方程的通解为y
CiX
C2e，（C
2
C2
e2）
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程ypyqy0的解。
写出特征方程并求解
2
rprq0.
2
下面记p4q,ri,r2为特征方程的两个根.
2
（1）p4q0时，则齐次方程通解为：
rixr2x
yGeC2e。
（2）p24q0时，则齐次方程通解为
rixrixrix
yCieC2xee（CiC2X）.
2
（3）p4q0时，有rii,ai（0）,则齐次方程通解为
x
ye（CicosxC2sinx）.
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式：
ypyqyf（x）解法步骤：
2
（1）写出方程的特征方程rprq0；
（3）原方程的通解如下表所示
特征方程的根
方程的通解
riG
C1erixC2er2x
rriD
rx
（C1C2x）e
ri
x
e（C1cosxC2sinx）（0）
（4）再求出非齐次方程的一个特解y*（x）；
⑸那么原方程的通解为yC1y1（x）C2y2（x）y（x）。
11
f（-）-ydx
xx
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