方程解法文档.docx

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方程解法文档

说明与分析：

此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。

实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法一一配方法。

可以看出，原方程中x・3是4的平方根，

配方法

教学目标

1.使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0,bHO,cHO）町以转化为适合于直接开平方法的形式（x+m）2二n;

2.在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的半方二

3.在数学思想方法方而，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学巫点和难点

觅点：

常握用配方法解一元二次方程。

难点：

凑配成完全平方的方法与技巧。

创教学过程设计

一复习

1.完全的-元二次方程的一般形式是什么样的？

（注&a^O）

2-不完全一元二次方程的哪几种形式？

（答：

只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0（a^0））

3-对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0（a±0）和ax2+c=0（a/0）,我们己经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如（x+m）2二ngO）的方程。

例解方程：

（x-3）2二4（让学生说出过程）。

解：

方程两边开方，得x-3二丈2,移项，得x二3丈2。

所以X1二5,X2二1.（并代回原方程检验，是不是根）

4•其实（x-3）2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。

（把这个展开过程写在黑板上）

（x-3）2二4,①

/-6乂+9二4,②

x2-6x+5=0.③

二新课

仁逆向思维

我们把上述由方程①T方程②-方程③的变形逆转过来，町以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为（x+m）2=n的形式c这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式（x+m）2。

2•通过观察，发现规律

问：

在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方（x+?

）S（添一项+1）

即（x2+2x+1）=（x+1）2.

练习，填空：

x2+4x+（）=（x+）2;,+6y+（）=（y+）2.

算理x2+4x=2x2,所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：

对T*x^px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。

即2・+（）2④

（让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项）

项固练习（填空配方）

Ux♦）2：

（答：

左边填右边为（X*V）2）

42

）=（x*）2；（答：

左炖填牯右边为（丁+抄）

2（"）2;（答：

左越吩•右边为（x+y）2）

）=（x+）2.（答：

左边鎭%右边为（”匕5））

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：

如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取？

算理是什么？

巩固练习（填空配方）

教学内容

教师活动

程斥

x2-bx+（）=（x-）2;x2-（m+n）x+（）=（x-）2.

课题名称

§13、3公式法

课

新授课

课时

安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预

习

配方法

教学媒

体

投影仪

教学

学生活备

■•

%

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。

因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（aHO）,得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程ax+x+c=0（aHO）吗？

小亮是这样做的：

ax2+by+c=0（aHO）

两边都除以a

X2+b/ax+c/a=O

配方

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

自主探索求根公式。

公式法的

如果b2-4ac^O

意义在

于，对于

任意的一

元二次方

收旳，Xjj兀一佚万桂ax+bx-c=O（a

HO）,当b2・4acN0时，它的根是：

程，只要

将方程化

成一般形

上面这个式子称为一元二次方程的求根公

式，就可

式。

用求根公式解一兀一次方程的方法叫做公

以直接代

式法。

入公式求

解。

他的

依据就是

牢记公

配方法。

式

例解方程：

x2-7X-18=0

解：

这里a=l,b=-7,c=-18

Vb2-4ac=（-7）MXIX（-18）=121>0

••

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

（1）2x2-9x+8=0

（2）9x2+6x+1=0

（3）16x2+8x=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三条边长。

要求学生先找出a,b,c,对b2-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

作业：

习题2.61、2

课后

根据公式会解一元二次方程记

一元二次方程的解配方法

教学目标教学重点难点

】•龜点配方法.

2.难点如何配方.

教与学互动设计

<-）创设惜眾，导入新课

1.完成下列因式分解：

①（）

②（）

2观察下列方程之间冇何联系？

并思老：

（1）怎样将①方程变为③方程.写出变形过程：

（2）若由③方程变为①方程，应该怎样变换（请同学们自由讨论）.

①；②；③。

【提示】①方程②方程③方程

（2）合作交流，解读探处

配方法

【白主探索】若把方程展开，就得到，或，，反过来，你能把这些方程化成的形式吗？

（让学生分组讨论）

【点评】7生通过讨论，发现对丁•二次项系数为1.把常数项移到右边於个非负数的一元二次方程，只要在方程的左右两边都加上一次项系数-半的平方.就可使左边配成一个完全平方式，从而采用直接开平方法来解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.教师可设计以下流程图加以观说明：

配方

【练一练】

（1）学生独立完成教材的练习第1题.

【答案】（1〉9,3：

（2）16,4：

（3）,：

（4）,,.

（2）学生妝独左成教材的例4并阅读例4下的归纳，明确什么圧配方法.

【答案】

（1）.;

（2）..

【强開】配方时要注意二次项系数为1.写出完全平方时耍注盘符号，配方的关键一步出两边都加上一次项系效一半的平方.

【师生介作学习】

用配方法解下列方程：

（1）:

（2）

解:

（1）移项.得：

方程左边配方，得：

即

两边开平方得:

所以原方程的解圧,

（2）让学生对照

（1）的解题过程进行.

［详见教材第32页的例5的

（2）］

【点评】通过探讨，进一步辻学生感知用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法步骤，从而熟练京握和运用配方法.

（三）应用迁移.巩固提高

例题用配方法解方程：

解：

移项，得：

方程两边都除以2,得：

方程左边配方得：

即

所以

原方程的解肚，

（备选例題】（学案例2）用配方法解方程：

解：

移项，得

方程左边配方，得

即

所以

原方程的解圧，.

（四）总结反思，拓展升华

【小结】L配方法的基本步骤：

一、要将方程化为二次项系数足1的形式，并把常数项移到方程的右边

12.2一元二次方程的解法

（2）——配方法

［课题］§12.2一元二次方程的解法

（2）—一配方法［教学目

的］使学生学握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法

解数字系数的一元二次方程。

［教学重点］掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。

［教学难点］掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax・bx+c二0（aHO）的配方。

［教学关键］会用配方法解数字系数的一元二次方程。

［教学用具］［教学形式］讲练结合法。

［教学用时］45’XI［教学过程］［复习提问］1、在（x+3）J2中，x+3与2的关系是什么？

（x+3是2的半方根。

）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。

（x：

+6x+9二2,x2+6x+7=0o）［讲解新课］现在，我们来研究方程:

x：

+6x+7二0的解法。

我们知道，方程：

x'+6x+7二0是由方程：

（x+3）2变形得到的，因此,要解方程：

x：

+6x+7二0应当如何变形？

这里要求学生做尝试回答：

要解方程：

x：

+6x+7=O,最好将其变形为：

（x+3）:

=2o这是因为，我们会用直接开平方法解方程：

（x+3）:

=2To下面重点研究如何将方程：

x：

+6x+7二0,变形为:

（x+3）：

=2o这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。

将方程：

x'+6x+7二0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2・x・3,得：

x：

+2・x・3=-70由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两

边都加上31B|J：

x2+2•x•3+32=-7+32,（x+3）：

二2。

解这个方程,得：

xi=-

3+,x：

=-3-o随后提出：

这种解•元二次方程的方法叫做配方法。

很明显，学握这种方法的关键是“配方”。

上述引例以及列3,二次项系数都是1,而例4,二次项的系数不是1,这时，要将方程的两边都除以二次项的系数，就把该方程的二次项系数变成1了。

这样，“配方”就容易了。

让学生做练习：

1、x「+6x+二（x+）（9,3）2、x=—5x+=（x—）

1（,）3、x2+x+=（x+）2；（»）例3解方程：

x:

-4x-3=0o解：

略。

例4—方程：

2x'+3=7x。

解：

略。

说明：

在讲解完这两个例题之后，一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解，另一方而是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。

讲解应突出重点，对容易出错的地主应给予较多的讲解。

如例4的解方程：

2x:

+3=7x,在“分析”中指出，应先把这个方程化成一般形式：

2x：

—7x+3二0。

其次，这个方程的二次项系数是2,为了便于配方，可把二次项系数化为1,为此，把方程的各项都除以2,并移项，得：

x:

-x=-:

下一步应是配方。

这里，一次项的系数是

（一），它的一半的平方是

（一）■学生在这里容易出错。

讲解时，应提醒学生注意。

我们知道,配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法，而用公式法。

但是，配方法是导出公式法一一求根公式的关键，在以后的学习中，会常常用到配方法，所以掌握这个数学方法是重耍的。

［课堂练习］教科书第10页练习第1,2题。

［课堂小结］这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，配方的关键是：

在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

请同学们回去后，用配方法解一下关于x的方程：

ax：

+bx+c二0（aHO）。

（此题为下一课讲解作准备，可指定一些同学做，从中了解在公式推导过程中存在的问题。

）［课外作业］教科书第15页习题12.1A组第3,4题。

［板书设计］

例题：

辅助板书:

［课后记］通过本节课的学习，多数学生对配方法解一元二次方程基本举握，但有一部分学生对一元二次方程一般式的配方法掌握的不好，希望课后多加练习。

一元二次方程的解法复习课

文章来源3edu教育网教学内容习题课

教学目标

能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。

会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。

重难点关键

1.重点:

会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。

2.难点「通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。

教学过程

I•用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=O（配方法，公式法,因式分解发）教师点评:

三种不同的解法体现了同样的解题思路--把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。

2把下列方程的最简洁法选填在括号内。

（A）直接开半方法（B）配方法（C）公式法（D）因式分解法

（l）7x-3=2x2（）

（2）4（9x-l）2=25（）（3）（x+2）（x-l）=20（）

（4）4x2+7x=2（）（5）2（O.2t+3）2-12.5=0（）（6）x2+2x-4=0（）

说明:

一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。

其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。

3.将下列力程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。

（l）3x2=x+4

（2）（2x+l）（4x-2）=（2x-l）2+2（3）（x+3）（x-4）=-6（4）（x+l）2-2（x-l）2=6x-5

说明:

将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。

4.阅读材料，解答问题：

材料:

为解方程（x2-l）2-5（x2-l）2+4=0我们可以视（x2-l）为一个整体撚后设x2-l=y,原方程可化为y2-5y+4=0©.解得yl=l,y2=4。

当yl=l时,x2-l=l即x2=2,x=±•当y2=4时,x2-】=4即x2=5,x=±"5。

原方程

的解为xl=,x2=-,x3=v5,

x4=-V5

解答问题:

⑴填空:

在由原方程得到①的过程中利用法,达到了降次的

目的，体现的数学思想。

（2）解方程x4-x2-6=0.

5.小结

（1）说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识

（消元、降次、化归的思想）

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系①降次，即它的解题的基本思想是:

将二次方程化为一次方程，即降次.

2公式法是由配方法推导而得到.

3配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程.

区别:

①配方法要先配方，再开方求根.

2公式法直接利用公式求根.

3因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一

次因式等于0.

《一元二次方程的解法》教案及说课稿

一元一次方程的解法教案课题：

一元二次方程的解法教学目标

1・初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程.

2•初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解方程.

3•学握一元二次方程的求根公式的推导，会运用求根公式解一元二次方程.4•通过对一元一次方程解法的教学，领悟一元一次方程的应用及意义，进一步了解数学与实际生活的紧密联系.

教学模式

引导探究，讲练结合.

教学重点和难点

重点：

一元二次方程三种解法.

难点：

运用恰当的方法解一元二次方程.

教学过程

1•知识回顾：

完全平方公式

试一试，做四道关于完全平方公式的题目.

2.知识结构：

一元二次方程的三种解法

引用例题导出一元二次方程的直接开平方法、配方法和公式法.

1）一桶油漆町刷的而积为1500,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

让学生进行小组讨论，分析、总结。

解：

由于10个正方体形状的盒子是相同的，则10个盒子的面积也是相同的.

设正方体形状的盒子的棱长为・

又由于10个正方体形状的盒子的总面枳是1500,则町设方程•由此可得，.

这种方法叫直接开平方法.

2）怎样解方程？

解：

方程左边可化为完全平方式.

则这个方程化为.

进行降次，得.

则方程的解为.

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

3）通过例题总结，方程总可以化成的形式.

4）求方程的根，从而得出求根公式•

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式.并写出a,b,c的值.

（2）求出b2-4ac的值.

（3）代入求根公式：

前0,b2-4ac>0）

（4）写出方程的解：

5）作业：

想一想，m取什么值时，方程有两个相等的实数解？

用因式分解法解一元二次方程教学设计

沙坝初中刘彭浩

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1.正确理解因式分解法的实质.2.熟练系握运用因式分解法解一元二次方程.

（二）能力训练点：

通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.

（三）徳育渗透点：

通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：

用因式分解法解一元二次方程式）

3.教学疑点：

理解“充要条件”、“或”、“且”的含义.

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程.对于有些一元二次方程，例如（x-2）（x+3）=0,如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x—2=0或x+3=0,解起來就变得简单多了.即可得xl=2,x2=-3.这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法一一因式分解法.

（二）整体感知

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式.如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零.用因式分解法更为简单.例如：

x2+5x+6=0,因式分解后（x+2）（x+3）=0,得x+2=0或x+3=0,这样就将原來的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解•可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键•“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据.方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件.满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1.复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零.反之，如果两个因式有一个等于零,它们的积也就等于零.

“或”有下列三层含义

①A=0且BH0②AH0且B=0③A=0且B=0

2.例1解方程x2+2x=0・

解：

原方程可变形x（x+2）=0……第一步

x=0或x+2=0第二步

xl=0,x2=-2・

教师提问、板书，学生回答.

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”・分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而列一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的

“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.

例2用因式分解法解方程x2+2x—15=0.

解：

原方程可变形为（x+5）（x-3）=0.

得，x+5=0或x-3=0.

・；xl=-5,x2=3・

教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：

（一）方程化为一般形式：

（二）方程左边因式分解：

（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程：

（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解.

练习：

P.22中1、2.

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演.

体会步骤及每一步的依据.

例3解方程3（x-2）-x（x-2）=0.

解：

原方程可变形为（x-2）（3-x）=0.

/.x-2=0或3-x=0・

・・xl=2,x2=3.

教师板演，学生回答.

此方程不需去括号将方程变成一般形式•对于总结的步骤要具体情况具体分析.

（2）（3x+2）2=4（x-3）2.

解：

原式可变形为（3x+2）2-4（x-3）2=0.

[（3x+2）+2（x-3）][（3x+2）-2（x-3）]=0

即：

（5x-4）（x+8）二0・

・・・5x-4=0或x+8=0・

学生练习、板演、评价.教师引导，强化.

练习：

解下列关于x的方程

6.（4x+2）2=x（2x+l）・

学生练习、板演.教师强化，引导，训练其运算的速度.

练习P.24练习.

（4）总结、扩展

1.因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零・”

四、布置作业

教材P.31中1

2.因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（3）x（x-2）+x-2=0

（x+1）（x-2）=0所以x=-1或x=2

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程：

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解.但要具体情况具体分析.

3.因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.

五、板书设计

12.2用因式分解法解一元二次方程

（一）

例例

二、因式分解法的步骤

（1）……练

习：

…

（2）……・・・

（3）……

（4）……

但要具体情况具体分析