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系统科学
数学
运
筹
学
灰
色
理
论
概率统计
模糊数学
对长江水质污染的灰色预测
1问题的提出
在CUMCM2005A题中给出长江在过去10年中废水排放总量（见表1）和六类不同水质所占的百分比，据此对今后10年的长江水质污染的发展趋势做出预测。
表1
年份
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
排污总量
174
179
183
189
207
234
220.5
256
270
285
2问题的分析
本问题的实质是在现有的状况下，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来10年水质污染的发展趋势做出预测分析。
传统的数理统计预测方法有回归分析法，指数平滑法，马尔柯夫法等，这些方法往往需要足够多的数据。
此处数据量偏少，如果采用上述方法误差太大，根据上述特点可采用灰色预测理论。
所谓灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统，它介于一无所知的黑色系统与全部确知的白色系统之间。
灰色预测在形式上只运用预测对象自身的时间序列建立模型。
与其相关联的因素表面上没有参与运算和建模，并不是说那些因素对预测对象没有影响和作用从而影响模型的全面性。
灰色系统的“灰”正体现在这里。
任何一个客观系统究竟含有多少因素是难以说清楚的。
如影响长江污染物增长的因素既有社会经济的、也有自然环境的、还有科学技术方面的等等。
这些众多的因素，不是用几个指标所能表达清楚的。
这些因素之间的结构关系难以准确描述，更无法精确计算。
多数因素都在动态变化之中，其运行机制和变化规律难以完全明白。
灰色系统理论把这样受众多因素影响，又无法确定其复杂关系的量称为灰色量。
对灰色量进行预测不必拼凑数据，不必过分关注那些数据不准、关系不清、变化不明的参数。
那些主要的、次要的、直接的、间接的、己知的、未知的、明显的、隐含的众多因素相互联系、相互制约、协同作用的结果已经表现在动态变化的时间序列数据中。
灰色预测的另一特点是不追求大样本量。
灰色系统分析有个重要原则就是现实信息优先的原则，即在处理历史信息和现实信息的关系时重视现实信息。
这是因为在信息不完全系统中，表征或反映它的状态特征和行为的主要是现实信息。
直接影响系统未来发展趋势、起着主导作用的也是现实信息。
所以灰色预测不追求大量历史数据，也不强求它的典型分布。
而是对己掌握的部分信息进行合理的技术处理，通过建立模型在更高的层次上对系统动态过程进行科学的描述。
在灰色系统理论中，以GM（1,1）模型为基础所作的预测，正好克服传统方法的不足。
灰色系统分析方法对于信息不完整或不完全的实际情况具有良好的适用性，其中的GM（1,1）模型在水质预测中得到了较为广泛的运用。
本文对离散的、规律性不强的河流水质原始数据，为提高预测精度，采用光滑处理和累加生成的方式进行处理，使其变成规律性强的累加生成序列，并在此基础上建立灰色预测模型。
3数学模型——GM（1,1）模型的建立和计算
灰色系统分析实质上是将一些己知的数据序列，通过一定的方法处理，使其由散乱状态转向规律化，然后利用微分方程拟合，并由外延进行预测。
其中己知的数据称为白色，需要预测的数据称为灰色，而处理过程称为白化，就是对数据序列的随机性弱化。
由于题目中给出的是10年的数据，在此把前9年的数据作为历史数据，第10年的数据用来检验模型的合理性和精确性。
3.1作累加生成数列
考虑有变量，原始序列
，
对作1-AGO得累加生成数列，其中
3.2对进行准光滑性检验。
由满足准光滑条件，本题从后满足准光滑条件。
见表2
表2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ρ
1.03
0.52
0.35
0.29
0.25
0.19
0.18
0.16
0.15
3.3检验是否具有准指数规律。
由可以建立GM（1,1）模型。
本题满足准指数规律。
见表3
表3
σ
2.03
1.52
1.35
1.29
1.25
1.19
1.18
1.16
1.15
3.4确定数据矩阵
对作紧邻均值生成得
3.5对参数列进行最小二乘估计。
此处有
3.6确定微分方程模型。
GM（1，1）模型为一阶微分白化方程：
即
求微分方程的解，得到时间响应式：
即（k=0,1,2,…，）
3.7求的模拟值并累减还原求出的模拟值。
。
结果见表4
表4
10
174
173
184
196
208
222
236
251
267
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
303
322.5
343
365
388.9
413.9
440.5
468.9
499.1
531.2
3.8检验误差。
上述模型是否可信，误差是否很大，必须进行精度检验。
检验误差有四种，分别为相对误差，关联度，均方差比值，小误差概率。
本文在这里对四种检验全部进行。
精度标准可以参考表5。
表5
精度等级
相对误差
关联度
均方差比值C
小误差概率P
好（一级）
<
0.01
>
0.90
0.95
良好（二级）
0.05
0.80
0.50
合格（三级）
0.10
0.70
0.65
勉强（四级）
0.20
0.60
不合格
（1）相对误差检验
依据时间检验函数，对原始数列求出模拟和预测值，
作残差数列
平均误差为，精度为二级。
（2）检验与灰色绝对关联度
，
，灰色绝对关联度，精度为一级。
（3）均方差检验
原始数据均值:
原始数据方差:
数列残差均值:
残差方差:
均方差比值C=,精度为一级。
（4）小误差概率：
，精度为一级。
从图1可以看到原始数据和模拟于预测数列之间的关系。
特别是第十年的实际数据和预测数据几乎一样。
由此可以得出此预测的精度较高。
特别此处，根据邓聚龙教授的分析，此时的GM（1,1）可用于中长期预测。
10步以后的预测精确度高于90%。
4模型的改进
4.1模型的改进一——建立GM（1.1）模型群
单一灰色GM（1,1）预测模型形式，难以克服由不稳定信息给预测结果带来的不利影响。
如果采用灰色动态模型群法，利用不同时段数据建立了不同的灰色GM（1,1）模型来构造灰色预测模型群，分别对未来时刻的各项预测值进行统计计算，并将统计平均值作为最终预测值。
该法进一步提高了预测的精度和预测结果的可靠性。
依据GM（1,1）单个模型的建模原理，一般要求建模采用的数据系列中的数目应不少于4个。
假定原始数据系列中有n个数，含有原始数据系列中最后一位数的组合数为n一3，则可建立起n一3个子模型组成的灰色预测模型群。
此处原始数据系列中有10个数，而只采用其中的9个数据来做历史分析，第十个作为比较。
本文利用9个原始数据系列做成5个灰色预测模型，即预测1取~为原始数据建立GM（1,1）模型1，预测2取~为原始数据建立GM（1,1）模型2，……，以此类推，预测5取~为原始数据建立GM（1,1）模型5。
计算各模型后取其均值，结果见表6，误差检验见表7所列。
检验表明模型的精度均满足要求。
表6
序号
模型1
174
173
184
196
208
222
236
251
267
284
模型2
181
194
221
252
269
287
模型3
193
206
220
288
模型4
209
237
268
286
模型5
224
平均值
176
183
193
207
252
268
286
303
323
343
365
389
414
441
469
499
531
307
328
350
374
399
426
455
486
520
555
308
330
353
377
403
431
461
493
527
563
304
324
345
367
391
416
443
472
503
535
301
320
339
360
382
406
457
485
514
305
325
346
369
393
419
446
475
507
540
表7
精度
方差比值
0.02563
良
0.9997
好
0.230
优
0.02252
0.9991
好
0.239
0.02419
1.00001
0.275
0.02606
0.9976
0.319
0.02837
0.9980
0.417
0.8
0.02075
0.9988
0.214
从以上数据可以看出，利用5个GM（1,1）子模型组成的灰色预测模型群的平均值比每个单独子模型的精度来得高，说明这种模型的改进使用是有效的。
用该方法进行预测时多次考虑了近期数据对未来的影响，而对时间序列靠前的数据信息使用频率则相对减少。
特别是长江水质问题主要是近年来流域社会经济活动引起的，因此近期长江污染数据对未来水质变化趋势的影响也较以往更为重要。
所以这种处理方式是科学、合理的。
以灰色动态模型群统计均值作为预测结果，可以避免单一灰色模型容易受到不稳定信息干扰的缺陷，进一步提高了预测精度和预测结果的可靠性。
图2
4.2模型的改进二——等维灰数递补动态预测
4.1的改进是GM（1.1）模型通过对数列长度的不同取舍组成模型群，可得到系列预测结果，从而组成一个预测灰区间，取其均值供决策使用。
但有时利用GM（1.1）模型预测所得灰区间过大而失去意义。
这是由于GM（1.1）GM模型预测灰平面成一喇叭型展开（如图2），即预测时刻越远预测的灰区间越大。
所以，用已知序列建GM（1.1）模型进行预测时，不用这个模型一直预测下去，而是只预测一个值，并将这个灰数补充在已知数列之后。
为不增加序列长度去掉第一个已知数据，保持数据列的等维，再建立GM（1.1）模型。
这样新陈代谢，逐个预测依次替补，不断补充新的信息，使灰度逐步降低，直到完成预测目标或达到一定的精度要求为止。
这种方法称为“等维灰数递补动态预测”，可以达到两个目的：
①及时补充和利用新的信息，提高灰区间的白化度。
显然，用改进后的新模型再去预测下一值，比继续用原模型进行预测要合理，且更接近实际。
②每预测一步模型，参数作一次更新，从而提高预测精度。
因此对于一些提高精度的模型预测，应该采用等维灰数递补动态预测。
本文分别采用10个9个8个7个6个5个4个数据组成10维9维8维7维6维5维4维灰数列，进行递补动态预测，计算结果见表8。
表8
10维
390
536
9维
326
368
396
447
477
508
541
8维
306
372
476
7维
322
348
417
444
473
6维
302
445
506
539
5维
313
331
356
383
409
440
471
505
579
4维
318
336
355
375
418
465
490
均值
392
474
537
5小结
在CUMCM2005A题中还给出长江在过去10年中六类不同水质所占的百分比，据此也可以用同样方法对今后10年的长江六类不同水质所占的百分比趋势做出预测。
但其中有几种数列明显不是大惯性序列，有波动现象，建议采用灰色波动预测或拓扑灰预测，限于篇幅不在此处讨论。
总之，长江水质受人类社会经济活动等因素的影响很大，现有的水质数据只包含了己有的各种因素对水环境系统的影响，不可能包括未来出现的新因素（如流域社会经济活动的剧烈变化）对水环境系统的干扰与作用。
因而随着预测时间的延续，模型所得预测值也就不可能完全符合今后的实际情况。
鉴于此，可以考虑将今后每年所得到的新数据加入中重新建立模型群或新陈代谢递补数列进行预测。
参考文献：
邓聚龙灰理论基础[M]华中科技大学出版社2002
刘思峰郭天榜党耀国等灰色系统理论及其应用[M]科学出版社2000
王学萌灰数等维递补动态预测[J]华中理工大学学报1989,40:
9-16
傅立灰色系统理论及其运用[M]科学技术文献出版社1992.
附录
clear
y1=[174179183189207234221256270285];
%fori=1:
%s1（i）=sum（y1（i:
10））/（10-i+1）;
%end
%s1;
%s2（i）=sum（s1（i:
%end
fori=1:
x1（i）=sum（y1（1:
i））;
end
x1;
y=[y1（2:
10）]'
;
x
（1）=-（x1
（1）+x1
（2））/2;
x
（2）=-（x1（3）+x1
（2））/2;
x（3）=-（x1（3）+x1（4））/2;
x（4）=-（x1（4）+x1（5））/2;
x（5）=-（x1（5）+x1（6））/2;
x（6）=-（x1（6）+x1（7））/2;
x（7）=-（x1（7）+x1（8））/2;
x（8）=-（x1（8）+x1（9））/2;
x（9）=-（x1（10）+x1（9））/2;
x=[x;
ones（1,9）]'
A=x\y;
a=A
（1）;
b=A
（2）;
xx
（1）=x1
（1）;
30
xx（i+1）=（x1
（1）-b/a）*exp（-a*i）+b/a;
xy
（1）=y1
（1）;
xy（i+1）=xx（i+1）-xx（i）;
xy
d=sum（abs（y1-xy（1:
10））./y1）/10
e1=y1-xy（1:
10）;
文章编号：
1002-0268（2004）10-00-04
灰色关联在桥梁施工组织设计评审中的应用研究
蔡雪峰1，李林1，朱嬿2
（1.福建工程学院土木工程系，福建福州350007;
2.清华大学土木水利学院，北京100084）
摘要：
桥梁工程施工组织设计是指导桥梁施工的重要技术文件。
为了更加科学有效地评价施工组织设计方案，本文根据多年的工程实践经验和理论研究，建立了桥梁施工组织设计的评审指标体系及其数学模型，运用层次分析法确定评价指标的权重，采用灰色关联法构建出桥梁施工组织设计的评价模型，根据关联度的大小确定桥梁施工组织设计的最优方案。
通过实际项目施工组织设计评审的应用，证明了用灰色关联法不仅客观而且实用。
关键词：
桥梁工程；
施工组织设计；
指标因素；
灰色关联法；
评审
中图分类号：
U444文献标识码：
O引言
桥梁工程施工组织设计是用来指导桥梁工程从施工准备到竣工验收全部施工活动的技术文件。
它是投标文件的重要组成部分，也是业主选择承包商的重要依据之一。
它对施工现场实现科学的生产管理，保证工程质量，节约资源及降低工程成本等起着十分重要的作用，尤其施工方案是施工组织设计的核心，它的合适与否直接影响质量、安全、效益等问题。
因此对于施工组织设计的评审越来越引起业主的重视。
从桥梁工程招投标的情况分析，影响施工组织设计评审结果的因素主要有以下两个方面：
一是权重的确定。
权重定得是否恰当直接影响指标因素的重要程度及评价结果。
目前在桥梁工程项目评标过程中，权重的确定缺乏科学
依据，主要凭主观决定，随意性较大。
二是评价模型的确定。
评价模型的选择是
关系到评价的分辨率，如果选择恰当，所评价的结果能反应客观真实情况，否则就偏离实际情况。
目前评标过程中较多采用的方法是专家打分，然后去掉最高分和最低分进行加权平均取高分推荐中标。
此种方法得到的评价结果有时并不能反应评价对象的真实情况。
为了克服上述方法的弱点，本文采用层次分析与灰色关联分析相结合的方法评审桥梁施工组织设计。
所得到的评价结果更具有科学性和适用性。
1桥梁工程施工组织设计评价指标各因素权重的确定
1.1评价指标体系的构成
桥梁工程施工组织设计评价指标体系的构成主要从以下两个方面考虑：
一是选择影响评价结果的主要因素构成评价指标体系，对于次要因素略去不计；
二是按各因素的重要度进行编号排序（如图1所示）。
桥梁工程施工组织设计评价指标体系
施工准备工作计划
a4
施工部署和施工方案
a1
施工质量保证措施
a2
安全保证措施
a3
施工进度计划与措施
a5
临时供水、电、热计划
a6
成本降低措施
a7
资源需要量计划表
a8
施工总平面图
a9
图1桥梁工程施工组织设计评价指标体系
1.2数学模型Ⅰ的建立-----层次分析法确定指标权重
桥梁施工组织设计的评价指标体系中，各因素权重的确定本文采用层次分析法，运用层次分析法在计算权重向量时通常有以下四种方法：
和法，根法，最小二乘法，特征值法。
本文采用的是根法（几何平均法）。
其步骤如下：
步骤1：
构造判断矩阵
表示目标，表示评价因素（）,表示的相对重要性数值，（）,按1～9自然数表示，根据因素的重要性大小排序建立指标的判断矩阵。
步骤2：
用根法（几何平均法）将的各个列向量采用几何平均然后正规化，得到的列向量近似作为权重向量
①，
②将标准化得近似特征向量即权重向量。
步骤3：
一致性检验
①近似计算最大特征值：
即
②判断矩阵的一致性检验：
为一致性指标：
，为平均随机一致性指标；
当判断矩阵满足：
时，判断矩阵可以接受，否则判断矩阵必须作修改。
步骤4：
根据上述步骤1～2确定的判断矩阵和权重分配见表1.按步骤3进行一致性检验由表2计算出，，并且查出
时的平均随机一致性指标=1.46，，权重可以接受，得到表1最后一列为权重比例。
表1A-a判断矩阵
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