湘教版数学八年级上学期全册教案.docx
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湘教版数学八年级上学期全册教案
第1章 分式
1.1 分式
第1课时 分式
1.理解分式的定义,能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件,会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导:
阅读教材P2~3,完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地,如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母),所得商叫作分式,其中f是分式的分子,g是分式的分母,g≠0.
2.
(1)分式存在的条件是g≠0;
(2)分式不存在的条件是g=0;(3)分式的值为0的条件是f=0,g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中,哪些是分式?
①;②;③;④;⑤;⑥2x2+;⑦;⑧-5;⑨3x2-1;⑩;⑪5x-7.
解:
分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x取何值时,下列分式的值不存在?
当x取何值时,下列分式的值等于0?
(1);
(2).
解:
(1)当x+2=0时,即x=-2时,分式的值不存在.当x=3时,分式的值等于0.
(2)当3-2x=0时,即x=时,分式的值不存在.当x=-5时,分式的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是整式?
哪些是分式?
(1)甲每小时做x个零件,他做80个零件需多少小时;
(2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺流速度是多少千米/时,轮船的逆流速度是多少千米/时;
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解:
(1);分式.
(2)a+b,a-b;整式.(3);整式.
例2 当x取何值时,分式的值存在?
当x取何值时,分式的值为零?
解:
当的值存在时,x2-4≠0,即x≠±2;
当的值为0时,有2x-5=0且x2-4≠0,即x=.
分式的值存在的条件:
分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件:
分式的分母等于0.分式值为0的条件:
分式的分子等于0,但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中,哪些是分式?
①;②;③;④;⑤x2.
解:
①③是分式.
2.当x取何值时,分式的值存在?
解:
3x-2≠0,即x≠时,存在.
3.求下列条件下分式的值.
(1)x=1;
(2)x=-1.
解:
(1)当x=1时,=-.
(2)当x=-1时,=-.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件,以及分式值为0的条件.
第2课时 分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分,并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P4~6,完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示为=(h≠0).
2.根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式),叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)=(c≠0);
(2)=.
解:
(1)由c≠0,知==.
(2)由x≠0,知==.
应用分式的基本性质时,一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空,使等式成立:
(1)=(其中x+y≠0);
(2)=.
在分式有意义的情况下,正确运用分式的基本性质,保证分式的值不变,给分式变形.
3.约分:
(1);
(2).
解:
(1)公因式为ab,所以=ac.
(2)公因式为8a2b2,所以=-.
活动1 小组讨论
例1 约分:
(1);
(2);(3).
解:
(1)=-.
(2)=.
(3)==.
约分的过程中注意完全平方式(a-b)2=(b-a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式,应先分解因式再约分.
例2 先约分,再求值:
,其中x=3,y=1.
解:
==.
当x=3,y=1时,=.
活动2 跟踪训练
1.约分:
(1);
(2).
解:
(1)=.
(2)==-.
2.先约分,再求值:
(1),其中m=1,n=2;
(2),其中x=2,y=4.
解:
(1)===1.
(2)====-.
活动3 课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P8~9,完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则:
(1)分式乘分式,把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为·=.
(2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:
如果u≠0,则规定÷=·=.
(二)自学反馈
1.计算·的结果是.
2.化简÷的结果是m.
3.下列计算对吗?
若不对,要怎样改正?
(1)·=1;
(2)÷a=b;
(3)·=;(4)÷=.
解:
(1)对.
(2)错.正确的是.(3)错.正确的是-.(4)错.正确的是.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)·;
(2)÷.
解:
(1)原式===.
(2)原式=·=-=-.
例2 计算:
(1)·;
(2)÷.
解:
(1)原式=·==.
(2)原式=·=·==-.
整式与分式运算时,可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)·;
(2)÷8x2y;(3)-3xy÷.
解:
(1)原式==.
(2)原式=·==.
(3)原式=-3xy·=-=-.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算,然后约分,运算结果要化为最简分式.
2.计算:
(1)÷;
(2)÷(x+3)·.
解:
(1)原式=·=·==.
(2)原式=··=··=-.
分式的乘除要严格按着法则运算,除法必须先换算成乘法,如果分式的分子或分母是多项式,那么就把分子或分母分解因式,然后约分,化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3 课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时 分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P10~11,完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则:
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为()n=.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算:
(1)()2;
(2)(-)3.
解:
(1)()2=.
(2)(-)3=-.
2.计算:
(1)(-)2·;
(2)(3a2b)2÷(-)2.
解:
(1)原式=·=b.
(2)原式=9a4b2÷=9a4b2·=36a6.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)()3;
(2)()3.
解:
(1)()3=.
(2)()3==.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方,再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算:
(1)m3n2÷()3;
(2)(-)2÷()3·()3.
解:
(1)m3n2÷()3=m3n2÷=m3n2·=n5.
(2)(-)2÷()3·()3=÷·=··=.
分式混合运算,要注意:
(1)化除法为乘法;
(2)分式的乘方;(3)约分化简成最简分式.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)·÷;
(2)÷·;
(3)()2÷(a-1)·.
解:
(1)原式=··=.
(2)原式=··=-.
(3)原式=··=.
2.计算:
(1)()3;
(2)()2÷·()3.
解:
(1)原式==-.
(2)原式=··=-.
3.化简求值:
÷()2·,其中a=,b=-3.
解:
化简结果是ab;求值结果为-.
化简过程中注意“-”.化简中,乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3 整数指数幂
1.3.1 同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P14~15,完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除,底数不变,指数相减.设a≠0,m,n是正整数,且m>n,则==am-n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5 B.-a5 C.a8 D.-a8
2.计算:
x5÷(-x)2=x3;(ab)5÷(ab)2=a3b3.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1);
(2).
解:
(1)=-x5-3=-x2.
(2)==-x3y3.
例2 计算:
(x-y)6÷(y-x)3÷(x-y).
解:
原式=(x-y)6÷[-(x-y)]3÷(x-y)=-(x-y)6-3-1=-(x-y)2.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1);
(2).
解:
(1)原式=a3.
(2)原式=1.
2.计算:
(p-q)4÷(q-p)3·(p-q)2.
解:
原式=(p-q)4÷[-(p-q)3]·(p-q)2=-(p-q)·(p-q)2=-(p-q)3.
活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算.
1.3.2 零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质,并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导:
阅读教材P16~18,完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1,即a0=1(a≠0).
2.a-n=(n是正整数,a≠0).
(二)自学反馈
1.计算:
30=1;(-2)-3=-.
2.用科学记数法表示数0.0002016为2.016×10-4.
3.计算:
23-()0-()-2.
解:
原式=8-1-4=3.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)3-2;
(2)(10)-3;(3)()-2.
解:
(1)3-2==.
(2)10-3==0.001.
(3)()-2=()2=.
例2 把下列各式写成分式的形式:
(1)3x-3;
(2)2x-23y-3.
解:
(1)3x-3=.
(2)2x-23y-3=.
例3 用科学记数法表示下列各数:
(1)0.0003267;
(2)-0.0011.
解:
(1)0.0003267=3.267×10-4.
(2)-0.0011=-1.10×10-3.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(-2)0=1;3-1=.
2.把(-100)0,(-3)-2,(-)2按从小到大的顺序排列为(-100)0>(-)2=(-3)-2.
3.计算:
(-1)2012×(3-π)0+()-1.
解:
原式=1×1+2=3.
活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P19~20,完成下列问题.
(一)知识探究
1.am·an=am+n(a≠0,m,n都是整数).
2.(am)n=amn(a≠0,m,n都是整数).
3.(ab)n=anbn(a≠0,b≠0,m,n都是整数).
(二)自学反馈
计算:
(1)a3·a-5=a-2=;
(2)a-3·a-5=a-8=;
(3)a0·a-5=a-5=;(4)am·an=am+n(m,n为任意整数).
am·an=am+n这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)(a-1b2)3;
(2)a-2b2·(a2b-2)-3.
解:
(1)原式=a-3b6=.
(2)原式=a-2b2·a-6b6=a-8b8=.
例2 下列等式是否正确?
为什么?
(1)am÷an=am·a-n;
(2)()n=anb-n.
解:
(1)正确.理由:
am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n.
(2)正确.理由:
()n==an·=anb-n.
活动2 跟踪训练
1.下列式子中,正确的有(D)
①a2÷a5=a-3=;②a2·a-3=a-1=;③(a·b)-3==;④(a3)-2=a-6=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.计算:
[x(x2-4)]-2·(x2-2x)2=.
活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则,并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P23~24,完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.即,±=.
2.==-,=.
(二)自学反馈
1.计算:
+=;-=.
2.计算:
(1)-;
(2)-.
解:
(1)-===1.
(2)-=+==a-b.
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)+;
(2)-.
解:
(1)原式===1.
(2)原式====.
例2 计算:
(1)-;
(2)-.
解:
(1)原式=+=.
(2)原式=-=+==.
活动2 跟踪训练
1.化简+的结果是(D)
A.x+1 B.x-1
C.-x D.x
2.化简-的结果是(A)
A.a+b B.a-b
C.a2-b2 D.1
3.计算:
(1)-;
(2)+-.
解:
(1)原式==1.
(2)原式==0.
1.在分式有关的运算中,一般总是先把分子、分母分解因式;
2.注意:
计算过程中,分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式相加减时,如果分子是一个多项式,要将分子看成一个整体,先用括号括起来,再运算,可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分,化为最简分式(或整式).
第2课时 通分
1.了解什么是最简公分母,会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念,并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导:
阅读教材P25~26,完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时,也要先化成同分母分式,然后再加减.
2.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程,叫作分式的通分.
3.通分时,关键是确定公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.,的最简公分母是6xy.
2.对分式,,通分时,最简公分母是12xy2.
3.通分:
(1)与;
(2)与.
解:
(1)==;-=-=-.
(2)=,=.
活动1 小组讨论
例1 通分:
(1)与;
(2)与.
解:
(1)最简公分母是2a2b2c.
==,
==.
(2)最简公分母是(x+5)(x-5).
==,
==.
例2 通分:
(1)与;
(2)与.
解:
(1)最简公分母是4b2d.
=,=.
(2)最简公分母是2(x+2)(x-2).
==,
===-.
活动2 跟踪训练
1.分式,的最简公分母为(B)
A.(x+2)(x-2) B.2(x+2)(x-2)
C.2(x+2)(x-2)2 D.-(x+2)(x-2)2
2.分式,,的最简公分母是x(x+1)2(x-1).
3.通分:
(1)与;
(2)与;(3)与.
解:
(1)=,=.
(2)=,=.
(3)=,=.
活动3 课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.
第3课时 异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导:
阅读教材P27~29,完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时,要先通分,即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式,化成同分母分式,然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式+的结果是(C)
A.x B.
C. D.
2.下列计算正确的是(D)
A.+= B.-=
C.+1= D.-=
活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)+;
(2)-.
解:
(1)原式=+=.
(2)原式=-=.
例2 计算:
(1)(1-)÷;
(2)+.
解:
(1)原式=·=·=a-b.
(2)原式=+==.
活动2 跟踪训练
1.计算(+)÷的结果为(A)
A.a B.-a
C.(a+3)2 D.1
2.化简(1+)÷的结果是(A)
A. B.
C. D.
3.化简·+的结果是.
4.化简(1-)(m+1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中,一般总是先把分子、分母分解因式;
2.注意:
化简过程中,分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式加减运算的方法思路:
2.分式相加减时,如果分子是一个多项式,要将分子看成一个整体,先用括号括起来,再运算,可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分,化为最简分式(或整式).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因,并掌握验根的方法.(重点)
自学指导:
阅读教材P32~34,完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时,将所求的未知数的值代入最简公分母中,如果它使最简公分母的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根;如果它使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根,称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根,因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中,哪些是分式方程?
哪些是整式方程?
①=;②+=7;③=;④=-1;⑤=;⑥2x+=10;⑦x-=2;⑧+3x=1.
解:
①⑤⑥是整式方程,②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是:
(1)去分母;
(2)解整式方程;(3)验根;(4)小结.
活动1 小组讨论
例1 解方程:
=.
解:
方程两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3).
解得x=9.
检验:
当x=9时,x(x-3)≠0.
所以,原分式方程的解为x=9.
例2 解方程:
-1=.
解:
方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验:
当x=1时,(x-1)(x+2)=0.
所以x=1不是原方程的解.所以,原方程无解.
活动2 跟踪训练
解方程:
(1)=;
(2)=+1;(3)=;(4)-=0.
解:
(1)方程两边同乘2x(x+3),得x+3=4x.化简得3x=3.解得x=1.
检验:
当x=1时,2x(x+3)≠0.所以x=1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x+1),得3x=2x+3x+3.解得x=-.
检验:
当x=-时,3x+3≠0.
所以x=-是方程的解.
(3)方程两边同乘x2-1,得2(x+1)=4.解得x=1.
检验:
当x=1时,x2-1=0,所以x=1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0.解得x=.
检验:
当x=时,x(x+1)(x-1)≠0.
所以x=是原方程的解.
方程中分母是多项式,要先分解因式再找公分母.
活动3 课堂小结
解分式方程的思路是:
第2课时 分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结.(重难点)
自学指导:
阅读教材P35~36,完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是:
(1)审题设未知数;
(2)找等量关系列方程;
(3)去分母,化分式方程为整式方程;
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义;
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园,动用了一台甲型挖土机,4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机,两台挖土机一起挖,结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天?
甲型挖土机4天完成了一半,那么甲型挖土机每天挖÷4=,如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天,那么一天挖;两台挖土机一天共挖+;两台一天完成另一半.所以列方程为+=;解得x=,即乙单独挖需天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1 小组讨论
例 甲、乙两人分别从相距36千米的A,B两地相向而行,甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人的速度各是多少?
分析:
路程
速度
时间
甲
18+1×2
x+0.5
乙
18
x
等量关系:
t甲=t乙.
解:
设乙的速度为x千米/小时,则甲的速度为(x+0.5)千米/小时.
根据题意,列方程得
=.
解得x=4.5.
检验:
当x=4.5时,x(x+0.5)≠0.
所以x=4.5是原方程的解.则x+0.5=5.
答:
甲的速度为5千米/小时,乙的速度为4.5千米/小时.
等量关系是时间相等,那么就要找到相等时间里每个人所走的路程,甲的路程比乙的路程多两个1千米.
活动2 跟踪训练
1.A、B两地相距135千米,有大、小两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5,求两辆汽车的速度.
解:
设大汽车的速度为2x千米/小时,则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意,列方程得=.
解得x=9.
检验:
当x=9时,10x≠0.
所以,x=9是原方程的解.
则2x=18,5x=45.
答:
大汽车的速度是18千米/小时,小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间,等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程,需要在规定日期内完成,如果甲队独做,恰好如期完成,如果乙队独做,就要超过规定3天,现在由甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,也刚好在规定日期内完成,问规定日期是几天?
解:
设规定日期是x天,则甲队独做需x天,乙队独做需(x+3)天,根据题意,列方程得
+=1.解得x=6.
检验:
当x=6时,x(x+3)≠0.所以,