高教社杯全国大学生数学建模竞赛创意平板桌.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛创意平板桌
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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）
日期：
2014年9月12日
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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创意平板折叠桌
摘要
折叠桌具以其便折叠，占用空间小，易折叠等特点在我们生活中很受一部分人的喜爱；随着现代模具技术的发展，折叠桌的制作材质、外观、稳定性等都得到了进一步提升，创意平板折叠桌也随着科学技术的发展逐步融入我们的生活，在设计折叠桌的过程中，需要考虑它的稳固性强弱、加工难易、用材多少、外观等条件。
本文研究的最终目的是根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得折叠桌更加满足人们要求，设计出自己的创意平板折叠桌。
针对问题一，根据对平板的尺寸数据的分析以及合理性的假设，考虑木条间间隙，得出桌腿木条共有19根，然后利用勾股定理建立数学模型一，得出桌角与平面间的夹角从0.9948-1.309弧度值变化时最长桌腿木条长和最短桌腿木条长。
通过查阅资料可知，当一侧的两个桌角长及其延长线构成一个黄金三角形时，折叠桌的结构最稳定，再通过将空间模型简化为点、线，建立空间直角坐标系，然后利用MATLAB软件实现数据的处理，一方面验证了模型一得出的数据，另一方面结合黄金三角形的稳定性原理得出了折叠桌的设计参数的取值范围，如圆桌的半径桌半径为26.0799cm等，折叠桌的动态变化过程，主要是建立直角坐标系，通过坐标来表示折叠桌时刻的位置变化来实现，桌角边缘线是通过求出桌角坐标点，进而用插值拟合求解。
针对问题二，稳固性是通过最外侧桌角与地面的夹角是否为问题一中的最佳夹角范围来确定[1]，加工方便主要考虑，木条宽度与开槽长度，用材最少即在满足折叠桌站立时长方形平板体积最小来实现，通过摩擦锥角的比较，进而可知当最短木腿长的反向延长线交于一点落于折叠桌的正投影中心位置时，整个折叠桌的稳固性较好，通过最外侧桌腿与地面间的夹角限制来确定折叠周的最优化设计加工参数。
可知平板材料的尺寸为175cm×80cm×3cm,钢筋的位置为折叠桌高度的三分之一处，开槽长度如下。
针对问题三，我们根据目标分析法进行建模求解。
问题要求设计出的折叠桌更加满足顾客的要求，我们通过刻画桌面边缘线的形状大小来实现这一目标。
对目标限制了三个因素，进而优化桌面边缘线，选取出合适的折叠桌平板尺寸和加工参数。
关键词：
勾股定理三角函数插值拟合MATLAB黄金三角形目标分析法
1．问题的重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：
1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。
3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
附件1：
图片
附件2：
视频
2．问题的分析
针对问题一：
首先确定设计折叠桌必要的参数有桌腿木条的根数，桌腿的长度，桌腿木条开槽的长度，圆桌的半径，桌腿最低端距离地面的高度，桌腿与水平面间的夹角。
对桌腿的数量分析知道，一方面，现在最薄的刀厚度也要达到3mm，当然电火花切割会小得多，补偿值仅是0.2mm，即没有耗损的切割是做不到的，并且为了保证桌腿能够自由转动，桌腿与桌腿之间应该具有一定的间隙，另一方面，我们很容易分析出如果是20根桌腿木条，那么折叠桌在折叠时会有最里面的两个木条的是紧挨着且运动轨迹完全相同那么会造成折叠桌不稳定的情况，这样的折叠桌是不合理的，而且未做到木料的充分利用，所以桌腿木条的数量为19根。
通过计算我们得到19根木条之间的空隙为0.1389cm，满足假设和实际情景，通过构建空间直角坐标系，运用MATLAB软件，我们可以得到相关数据，并用MATLAB画图软件描绘出折叠桌的空间运动轨迹，并拟合出桌角边缘线的数学描述。
需要注意的是：
考虑实际情况最外层即最长桌腿木条的开槽仅仅是满足能插进钢筋即可，开槽长度在计算时忽略不计，即认为为0。
针对问题二；对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，要保证折叠桌的稳固性则最外侧桌腿与地面的夹角在0.9948—1.309弧度值变化范围内，为加工方便，我们可以减少木条的切割次数，及其木条开槽长度的大小，用材最少即长方形平板的体积最小，我们可以求出最短木条开槽的最底端距离最短木条端点的距离，保留适当的长度，然后做与最外侧木条垂直，过最适长度切点切割，保持最外侧木条不变，此时长方形平板的体积即为最小。
在稳固性的求解中，通过限制夹角的大小，与钢筋距离地面的距离，可确定一个目标函数，用目标分析法，可以求得折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三：
为了设计出折叠桌美观尽可能的满足顾客的需求，我们将刻画桌面边缘曲线形状作为目标函数，结合问题一和问题二的建模结果，得到约束条件一：
钢筋位置约束；约束条件二：
开槽长度约束；约束条件三：
桌子高度约束；通过建立约束条件和目标函数的关系得出了折叠桌在立起来稳定的时候所产生的桌角边缘线可以更好地满足客户对桌角边缘线的要求时平板尺寸和加工参数。
3．模型的假设与符号说明
3．1模型的假设
假设一合叶能将折叠桌完全平铺，桌腿木条与桌面之间没有任何缝隙。
假设二折叠桌任何部分的材质都完全一样。
假设三最长的桌腿木条的开槽长度在计算时忽略不计，即认为为0。
3．2符号的说明
长方形平板的长
长方形平板的宽
长方形平板的高
每根木条的宽
木条的个数
桌腿最外侧木条与水平面间的夹角
桌腿最短木条与垂直水平面的直线间的夹角
每根木条间的间隙
桌面半径
4．模型的建立与求解
4.1问题一：
能够保持相对静止，并且在一定时间内保持的状态的持续性叫做稳定。
坚固是稳定给人的第一感觉，坚固的本质便是源于构成体的质点以最少的连接组合在一起所表现出强大的作用力时的外在物质表现[2]。
在二维世界里三角形的稳定性是不争的事实。
在实际现实情况下，三维立体实物色稳定是我们必需考虑的。
由此根据实际情况而设计“三角体”的类型，如等腰“三角体”、“直角三角体”等等。
实物的整体构造可以采用横向三角式和纵向三角式。
本文中考虑该折叠桌桌腿的设计是横向三角式。
满足三角形稳定性，所以易知
。
模型一：
由题目所给定折叠桌平铺时的长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条的宽度为2.5cm，可得最多可有20根木条，根据问题分析确定桌腿木条数量为19根，所以木条之间的平均间隙为
代入数据解得
根据桌面平铺时的状态，运用CAD软件可制图如下：
图1折叠桌立体图
图2折叠桌平铺图
由图1，图2可得：
最长桌面木条的半长：
最短桌腿木条长：
最短桌面木条的半长：
最长桌腿木条长：
已知桌面的高度为53cm,桌面的厚度为3cm，所以桌面距离地面的距离为50cm
可推得：
（1）
如图2，我们建立的是外接圆，所以
通过计算可知当
时，
（1）等式不成立上式，当
时
（1）等式才会成立，又由题意可知
（当
为0时木板整体为长方形平板，当
为
时只有最长的四条桌腿着地，与地面垂直）
钢筋固定的位置距离地面的高度
最短桌腿木条距离地面的高度
最短桌腿木条开槽的最低端距离木条终端的距离
，考虑到沿木条有空槽以保证滑动的自由度，保证折叠桌的设计稳固性好，故
由于钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，不仅起到了固定木条的作用，而且钢筋的坚固性还可以通过空槽给木条施力，保证折叠桌的稳固性，在此我们通过所给
的范围，求出R的大致范围，在这些范围中，确定一个最适合组合，
的确定，我们考虑的是，当桌腿最外侧的木条与最短桌腿的木条关于垂直水平面的直线对称时稳固性会更好。
根据上述分析，可确定
，结合MATLAB软件，我们可以建立数据的程序模型（见附录1），利用MATLAB得到如下数据：
表1
角度
圆桌半径
最短桌腿长
弧度
最长桌腿长
最短木条距地面的距离
57
25.0029
35.0284
0.9948
59.6182
5.2193
58
25.0217
35.0096
1.0123
58.9589
5.5301
59
25.0556
34.9756
1.0297
58.3317
5.8098
60
25.1024
34.9287
1.0472
57.735
6.0612
61
25.1599
34.8711
1.0647
57.1677
6.2873
62
25.2263
34.8047
1.0821
56.6285
6.4904
63
25.2999
34.731
1.0996
56.1163
6.6729
64
25.379
34.6518
1.117
55.6301
6.8367
65
25.4625
34.5682
1.1345
55.1689
6.9837
66
25.549
34.4816
1.1519
54.7318
7.1156
67
25.6376
34.3929
1.1694
54.318
7.2339
68
25.7271
34.3033
1.1868
53.9267
7.3399
69
25.8168
34.2134
1.2043
53.5572
7.4348
70
25.906
34.1242
1.2217
53.2089
7.5198
71
25.9938
34.0362
1.2392
52.881
7.5957
72
26.0799
33.9501
1.2566
52.5731
7.6636
73
26.1635
33.8664
1.2741
52.2846
7.7241
74
26.2443
33.7855
1.2915
52.015
7.778
75
26.3218
33.7079
1.309
51.7638
7.826
根据折叠桌的立体图我们清楚的看到，当折叠桌立着时，它的侧面的两个最长腿的延长线和地面的一条线可以形成一个三角形。
而黄金三角形是三角形中比较稳当和美观的。
黄金三角形是一个顶角为
，底角为
的等腰三角形，三角形的底与一腰之长之比为黄金比：
。
当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形，这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线。
因此我们可以选取
时的一组数据，所对应圆桌面直径为26.0799cm，最短桌腿长33.9501cm弧度为1.2566cm最长桌腿长为52.5731cm最短木条离地面的距离为7.6636cm。
模型二：
对于开槽长度的求解：
首先建立空间直角坐标系，我们以两根钢筋所在平面，以两根钢筋对称轴为x轴，以两根钢筋中点连线为y轴，以垂直地面向上为z轴方向建空间直角坐标系如下图3所示
图3
其中n表示中间偏x轴正向的木条序号（n=1，2，3……10）。
因为桌腿是关于yoz平面对称的，所以本题以1-10根的木腿的各个加工参数进行讨论，利用MATLAB软件建立程序模型（见附录2）。
得到木腿的相关加工参数如下表：
表2加工参数
n
Pnx
Pny
Pnz
Qnx
Qny
Qnz
PQ
fn
dn
hn
1
1.2500
26.0499
25.0000
1.2500
15.5508
0
27.1151
6.8349
19.4336
33.9501
2
3.8889
25.7883
25.0000
3.8889
15.5508
0
27.0149
7.1967
19.0718
34.2177
3
6.5278
25.2497
25.0000
6.5278
15.5508
0
26.8155
7.9348
18.3338
34.7503
4
9.1667
24.4158
25.0000
9.1667
15.5508
0
26.5252
9.0589
17.2096
35.5842
5
11.8056
23.2549
25.0000
11.8056
15.5508
0
26.1601
10.5850
15.6836
36.7451
6
14.4444
21.7145
25.0000
14.4444
15.5508
0
25.7486
12.5369
13.7317
38.2855
7
17.0833
19.7057
25.0000
17.0833
15.5508
0
25.3429
14.9512
11.3173
40.2941
8
19.7222
17.0644
25.0000
19.7222
15.5508
0
25.0458
17.8898
8.3788
42.9356
9
22.3611
13.4217
25.0000
22.3611
15.5508
0
25.0905
21.4878
4.7807
46.5783
10
25.0000
7.4271
25.0000
25.0000
15.5508
0
26.2868
26.2861
-0.0176
52.5729
表中：
PnxPnyPnz为P点的空间坐标。
QnxQnyQnz为Q点的空间坐标。
PQ为桌腿木条的切割点到钢筋的距离。
fn木槽底端距离桌腿底部的距离。
dn桌腿木条开槽长度。
hn第n根木条的长度。
综上所述可以得到折叠桌的设计加工参数：
1、桌腿共有38根。
2、圆桌半径为26.0799cm。
3、每条桌腿的长度分别为（以中间偏x轴正向的10根桌腿木条数据为例）33.9501cm34.2117cm34.7503cm35.5842cm36.7451cm38.2855cm40.2941cm42.9356cm46.5783cm。
4、桌腿木条开槽的长度分别为（以中间偏x轴正向的10根桌腿木条数据为例）19.4336cm19.0718cm18.3338cm17.2096cm15.6836cm13.7317cm11.3173cm8.3788cm4.7807cm-0.0176cm
5、木槽底端距离桌腿底部的距离分别为（以中间偏x轴正向的10根桌腿木条数据为例）：
6.8349cm7.1967cm7.9348cm9.0589cm10.5850cm12.5369cm14.9512cm17.8898cm21.4878cm26.2861cm
模型三：
1、建立模型描述折叠桌的动态变化过程
建立以圆桌面圆心为中心，平行于木条长的直线为x轴，垂直于木条长的直线为y轴，过圆心垂直于水平的直线为z轴，建立直角坐标系，并分别表示出桌面上各点随角度的变化，运用MATLAB程序（见附录3）描述折叠桌折叠的整个运动过程。
图4
2、桌角边缘线的数学描述
设桌腿低端的端点为M点，则在模型二的直角坐标系下M点的坐标表示为。
Mnx=1.25+（n-1）*（2.5+2.5/18）;
Mny=Qny+（hn-PQ）.*（25/PQ）;
Mnz=-d1;
并由MATLAB程序求出一系列M值的坐标点，如下表，再运用数据拟合可描绘出桌角边缘线的数学描述。
x
y
z
25
40.5502
-24.9997
22.3611
36.9611
-23.2052
19.7222
33.4079
-21.4285
17.0833
0.8019
-19.8744
14.4444
3.3784
-18.5862
11.8056
5.4353
-17.5578
9.1667
7.0128
-16.769
6.5278
8.1532
-16.1988
3.8889
8.8909
-15.83
-1.25
9.2491
-15.6509
-3.8889
8.8909
-15.83
-6.5278
8.1532
-16.1988
-9.1667
7.0128
-16.769
-11.8056
5.4353
-17.5578
-14.4444
3.3784
-18.5862
-17.0833
0.8019
-19.8744
-19.7222
33.4079
-21.4285
-22.3611
36.9611
-23.2052
-25
40.5502
-24.9997
4.2问题二：
模型四的建立：
在折叠桌的设计过程中应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少等等诸多因素，但在实际情况中，如果只考虑加工方便，用材最少的话，折叠桌的稳固性差就没有实用价值，因此在折叠桌的设计过程中我们首要考虑的是折叠桌的稳固性。
在立体的折叠桌中，钢筋固定的桌腿为桌子与地面的支撑点，受到地面所给的力，桌子之所以能很稳定的站立，紧靠四个着地桌腿提供的力还不够，所以钢筋穿过的每根转动木条都会受到力，在此我们仅考虑最短桌腿的受力情况，由于考虑到黄金三角形的稳定性，正圆锥的摩擦锥形象及摩擦角的取值范围[4]，设最短桌腿的延长线的终点最终落于圆桌面的圆心位置（保证加了载荷后的重心位置必须落在地面矩形内），并建立第一问的坐标轴，以摩擦自锁的摩擦角为约束条件建立多目标分析法运用lingo软件分析即可解决稳定性和用料问题。
摩擦自锁模型
当物体沿支撑面任意方向有滑动趋势，全反力方向也随之改变。
临界平衡时，全反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面成摩擦锥。
如物体间的摩擦系数沿各个方向都相同，则摩擦锥是一个顶角为2
的正圆锥。
摩擦角和摩擦锥形象地说明了物体平衡时，主动力位置的变动范围，即有图可知：
（1）只要主动力的合力作用线在摩擦角内。
无论主动力多大，物体仍保持平衡，这种现象称为摩擦自锁。
（2） 如主动力的合力作用线在摩擦角外，无论主动力多小，物体一定滑动。
这种与力大小无关，而只与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件，物体不下滑的条件是：
即自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。
以垂直于z轴的视角看最短木条与圆桌面的高和水平面构成的平面三角形如图
图5
可表示出最短木条的长度：
最短木条距离地面的高度（即钢筋最低穿过木条的高度）：
P点坐标：
Q点坐标：
桌面边缘到槽底端的长度：
槽长：
M点的坐标：
目标标函：
约束条件：
通过以上模型的建立，我们可以确定一个关于桌高70 cm，桌面直径80cm的折叠桌的最优设计加工参数为，
4.3问题三：
首先我们考虑如何刻画桌面边缘线的形状大小，当用户给定桌面边缘线的期望形状时，在桌子放平二维平面上，我们可以通过对边缘线上每一点
距离桌面中心线的距离
的计算，来近似描述用户需要的左面边缘线的轮廓。
我们通过用户给定的折叠桌的高度H，和桌面边缘线的形状大小来来找到一组平板材料的形状尺寸和切实可行的加工参数，去尽量满足用户需要的桌角边缘线的大致形状。
首先我们遵循第二小问中的三条约束条件，钢筋位置约束
，开槽长度约束
，还有桌子高度约束
。
其次，关于对称性的约束，为了满足折叠桌能顺利展开和稳定摆放，我们必须考虑其对称性，即要求客户对桌面边缘的要求必须是关于桌子的中线是对称的，且还需要是左右对称的。
为了尽量满足用户对桌角边缘线的要求，我们设计了第四个目标条件：
其中
和
代表了，其表示了在桌子立起来时的稳定状态下，用户需要的桌角边缘线中每一点i的y和z坐标值，
和
分别代表了我们进行优化选择的平板尺寸和加工参数之后的桌子立起来的稳定状态下的桌角边缘线的每一点i的y和z坐标值。
当
越趋近于0时，我们可以说此时选取的平板尺寸和加工参数加工出来的桌
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