人教B版数学必修4 第二章《平面向量》单元教学设计.docx
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人教B版数学必修4第二章《平面向量》单元教学设计
人教B版数学必修4第二章《平面向量》单元教学设计
一、教材分析
1.本单元教学内容的范围
2.1向量的线性运算
2.1.1向量的概念
2.1.2向量的加法
2.2.3向量的减法
2.1.4向量数乘
2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
2.2向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1平面向量基本定理
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标表示
2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件
2.3平面向量的数量积
2.3.1向量数量积的物理背景与定义
2.3.2向量数量积的运算律
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式
2.4向量的应用
2.4.1向量在几何中的应用
2.4.2向量在物理中的应用
2.本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。
向量是既有大小又有方向的量，大小反映了向量数的特征，方向反映了形的特征，因此是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。
它既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，从而向量是一个具有几何代数双重身份的概念。
从“数、量和运算”发展的角度理解向量，向量的加法、减法、数乘、向量和向量的数量积都是新的运算，向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展和扩大。
在中学引入向量为以后进入大学后选修矩阵及运算做了铺垫。
向量除了在日常生活中和数学各分支中有着广泛的应用，向量也是研究运动学、力学、电学、宇宙学、经济学等许多学科不可缺少的数学工具。
特别是在物理学中得到广泛的应用。
向量具有丰富的物理背景和实际背景。
数学家在物理学家使用向量的基础上，又对向量进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他学科的有力工具。
在中学数学引入向量，通过向量对传统问题进行分析，可以帮助学生更好的建立代数和几何之间的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了基础。
因而我们可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一。
3.本单元教学内容总体教学目标
通过本章的学习，应使学生了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及其运算。
通过实际问题的分析和求解，一方面应使学生体会平面向量是沟通代数与几何的一种重要工具，另一方面，应逐步提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。
（1）平面向量的实际背景及其基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
①通过实例，掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件
（4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②掌握平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程。
知识与技能目标
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义。
（3）掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
（4）了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（5）了解平面向量的基本定理及其意义
（6）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
（7）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
（8）理解用坐标表示的平面向量共线的条件
（9）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（10）掌握平面向量的数量积与向量投影的关系。
（11）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（12）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（13）会利用向量法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程
过程与方法目标
（1）通过本章的学习，研究用向量处理问题的两种方法----向量法和坐标法。
（2）经历向量的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用。
（3）经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等常用的工具，体会向量的工具性。
情感、态度与价值观目标
（1）通过力和力的分析、物理中“功”等实例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
（2）向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本章的学习，体会他们之间的联系。
（3）本章的学习较多的运用了几何直观、类比、特殊到一般等思维方法，认真体会这些思想方法，逐渐提高理性思维能力。
（4）同过本章学习，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
4.本单元教学内容重点和难点分析
本章重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做两个向量的和向量。
向量减法的概念和向量减法的作图法。
平面向量基本定理。
平面向量的坐标运算，平面向量的数量积定义、运算规律及坐标表示。
难点：
理解向量加法、减法的定义，加法、减法运算时方向的确定。
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
平面向量基本定理的理解与应用。
向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
2.1．第一大节向量的线性运算：
包括向量的物理背景与概念、向量的加法、减法，数乘向量、向量共线的条件与轴上向量坐标运算。
向量的加法、减法，数乘向量的综合运算，叫做向量的线性运算。
2.1.1向量的概念
本小节包括位移的概念、向量的概念、用向量表示点的位置。
重点：
向量的概念，相等向量的概念，向量的表示。
难点：
对向量概念的理解。
2.1.2向量的加法
本小节包括向量加法、向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量求和的多边形法则、向量加法的交换律和结合律。
重点：
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
难点：
对向量加法的理解。
2.1.3向量的减法
本小节包括向量减法、向量减法的三角形法则
重点：
向量减法法则的运用
难点：
对向量减法定义的理解
2.1.4数乘向量
本小节包括数乘运算的定义、运算律
重点：
数乘向量的定义、运算律。
难点：
正确的运用法则、运算律进行向量的线性运算。
2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
本小节包括平行向量基本定理、单位向量、轴上的坐标公式、数轴上两点间的距离公式。
重点：
平行向量基本定理
难点：
平行向量基本定理的应用
2.2向量的分解与向量的坐标表示
2.2.1平面向量基本定理
本小节包括平面向量基本定理。
重点：
平面向量基本定理及应用
难点：
平面向量基本定理及应用
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标表示
本小节包括向量的直角坐标系、在直角坐标系中，给出了向量的坐标，定义了向量加法、减法和数乘向量的运算法则。
重点：
向量的直角坐标运算
难点：
应用向量的直角坐标运算的法则解决具体问题。
2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件
本小节包括用坐标表示向量共线的条件及其应用
重点：
用坐标表示向量共线的条件
难点：
用坐标表示向量共线的条件的应用
2.3平面向量的数量积
2.3.1向量数量积的物理背景与定义
本小节包括以力做功为背景引入向量的数量积的运算，两向量夹角的定义，两向量垂直的充要条件，向量在轴上的正投影，两个向量内积的性质。
重点：
向量的数量积的定义及性质。
难点：
对向量数量积定义及性质的理解与应用。
2.3.2向量的数量积的运算律
本小节包括向量数量积的三条运算律
重点：
对向量数量积运算律的理解与应用
难点：
对向量数量积运算律的理解与应用
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式
本小节包括向量数量积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、距离、夹角的坐标公式。
重点：
向量数量积的坐标运算与度量公式。
难点：
灵活运用公式解决有关问题
2.4向量的应用
2.4.1向量在几何中的应用
本小节包括向量在平面几何和解析几何中的应用
重点：
利用向量解决平面几何问题和解析几何问题。
难点：
利用向量解决平面几何问题和解析几何问题。
2.4.1向量在物理中的应用
本小节包括力向量、速度向量两种应用
重点：
应用向量方法解决实际问题
难点：
选择适当的方法解决实际问题。
5。
其他相关问题
（1）本单元“大纲”与“课标”的比较
项目
课标（12课时）
大纲（12课时）
顺序
必修4第二章
第一册（下）第五章
（一）
内容
向量的概念
向量的加法
向量的减法
向量数乘
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
平面向量基本定理
向量的正交分解与向量的直角坐标表示
用平面向量坐标表示向量共线条件
向量数量积的物理背景与定义
向量数量积的运算律
向量数量积的坐标运算与度量公式
向量在几何中的应用
向量在物理中的应用
向量
向量的加法与减法
实数与向量的积
平面向量的坐标表示
线段的定比分点
平面向量的数量积
平面两点间的距离
平移
要求
了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示
掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义
掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义
了解向量的线性运算性质及其几何意义
了解平面向量的基本定理及其意义
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
理解用坐标表示的平面向量共线的条件
理解平面向量数量积的含义及其物理意义
掌握平面向量的数量积与向量投影的关系
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
会利用向量法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程
理解向量的概念掌握向量的几何表示
了解共线向量的概念
掌握向量的加法与减法
掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件
了解平面向量的基本定理
理解平面向量的坐标的概念掌握平面向量的坐标运算
掌握平面向量数量积及其几何意义了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件掌握平面两点间的距离公式
掌握线段的定比分点和中点坐标公式并能熟练运用掌握平移公式
（2）变化之处
①删繁就简，降低了知识的难度。
②新教材在以前教材基础上增加了平面向量在物理和几何中的应用，强调了向量的工具作用。
③用向量的内积沟通和角公式与各度量公式之间的联系。
（3）人教B版教材特点
①向量的学习与平面图形的几何性质紧密结合,加强向量在几何和三角中的应用.用位移向量与合成引入向量及向量的加法运算.把平行与全等的性质转化向量及其运算律表示;把图形的放大和缩小（相似）转化为数乘向量运算;把正投影的性质转化为向量的数量积运算.研究向量在平面几何、解析几何和三角中的应用.
②强化向量知识的理论体系:
二条基本定理.建立起一维和二维坐标系的向量理论基础.
强化代数推理的训练,强化算律的应用。
在引进向量的线性运算与实数的运算及算律进行比较.让学生注意实数运算与向量坐标运算的关系.
③平面向量的学习对以后空间向量的学习具有重要意义，这部分知识可以类比到选修2——1空间向量中去，也为向量法解决几何问题奠定基础；
④向量的数量积有极其广泛的应用，它可以处理无理函数的最值问题，证明部分不等式，可以很简单的证明选修4——5中的柯西不等式，很多时候也可以替代柯西不等式进行求最值及新不等式的证明。
⑤提供了“练习A、练习B”，“习题A、习题B”，“计算机上的练习”，“巩固与提高”，“自测与评估”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
教学方式：
讲授启发式、自主探究式
教学方法概述：
向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。
了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。
教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。
例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。
对本章教学的几个建议
1．引导学生关注向量的实际背景
在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例使学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。
同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。
2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路
向量既是代数的对象，又是几何的对象。
作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。
值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平。
3．引导学生认真体会向量法的思想实质
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。
教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意。
4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比
前已指出，向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量的学习有一个好的思维固着点。
这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此教学中应当予以充分的关注。
另外，从思想实质来说，向量法与解析法是完全一致的，教学中可以引导学生回顾数学2中归纳的解析法的“三步曲”，然后让学生自己概括出向量法的“三步曲”
三、本单元所需教学资源概述
1.课件：
使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
2．练习、习题.
3．搜集能用向量方法解决的物理背景、几何背景、实际背景的问题。
四、本单元学时建议
2.1向量的线性运算
2.1.1向量的概念1课时
2.1.2向量的加法1课时
2.2.3向量的减法0.5课时
2.1.4向量数乘0.5课时
2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1课时
2.2向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1平面向量基本定理0.5课时
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标表示1课时
2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件0.5课时
2.3平面向量的数量积
2.3.1向量数量积的物理背景与定义0.5课时
2.3.2向量数量积的运算律0.5课时
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1课时
2.4向量的应用
2.4.1向量在几何中的应用1课时
2.4.2向量在物理中的应用1课时
本章小结2课时
共计12课时
第一学时～第四学时向量的线性运算
一、学习目标
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示
通过实例，掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.
通过实例，掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的条件.
了解向量的线性运算性质及其几何意义.
二、重点、难点
⒈关于向量的概念
重点是向量的概念、相等向量的概念、向量的表示;难点是对向量概念的理解.
⒉关于向量的线性运算
重点是向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则及运算法则的运用,数乘向量的定义、运算律,平行向量基本定理;难点是对向量加法、减法定义的理解,正确地运用法则、运算律,进行向量的线性运算,理解平面向量的共线条件.
三、教学内容安排
本节内容主要包括:
向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量、向量共线的条件与轴上向量坐标运算等五小节内容.
四、教学资源建议
⒈用几何画板等辅助软件、教育资源网站为学生提供多媒体教学素材及试题等.
⒉方案1：
练习、习题的选择以A组题为主，B组题为辅.
方案2：
练习、习题的选择以B组题为主，A组题为辅.
⒊引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.
五、教学方法与学习指导策略建议
1．在本节教学过程中要利用学生的生活经验，其他学科的相关知识，创设丰富的问题情景，通过实例使学生了解有关概念的实际背景，使学生了解向量来源于生活并应用于生活。
2．在定义、法则的教学中，要借助于几何直观，通过几何背景，帮助学生理解向量线性运算的几何意义。
3．教学中要注重与数的运算进行类比。
可采取引导发现法，通过探究引导学生自己类比数的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律。
第五学时——第六学时向量的分解与向量的坐标运算
一、学习目标
了解平面向量的基本定理及其意义。
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
二、重点、难点
本节教学的重点是平面向量的基本定理及应用，同时也是本节的教学难点。
三、教学内容安排
本节内容主要包括平面向量的基本定理，向量的正交分解与向量的直角坐标运算
四、教学资源建议
利用几何画板理解向量的基本定理及其正交分解．
方案1：
建议“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅．
方案2：
建议“练习”“习题”的选择以B组题为主，A组题为辅．
五、教学方法与学习指导策略建议
1．作为向量数量化依据的平面向量基本定理，教材是通过具体的例子来说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这种表示是学生所不熟悉的。
教学中应当充分用好具体例子，使学生形成对基本定理的直观理解，但不要加以证明。
在进入平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算后，可以引导学生通过例题，在解决线段的定比分点、平移、平面上两点之间的距离等问题的过程中，使学生看到结果与在数学2中得到的一样，从而进一步体会平面向量基本定理的内涵。
平面向量基本定理不作严格的证明。
2．正交分解和向量的应用是新课标中新增内容，相对原来的向量的学习有新的突破，课标中对这部分内容强调重视基础，不要过多挖掘难度，因此在教学中要注意基础知识的教学，控制例题、习题的难度。
建议教学中采用合作学习法、探究教学法，教师放手让学生活动，然后作适当的点评。
第七学时～第八学时平面向量的数量积
一、学习目标
通过物理中“功”的实例，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；
体会平面向量数量积与向量投影的关系；
掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
二、重点难点
重点：
平面向量数量积的定义及性质；向量数量积运算律的理解和应用；平面向量数量积的坐标运算与度量公式.
难点：
对平面向量数量积定义及性质的理解和应用；向量数量积运算律的理解和应用；灵活运用公式解决有关问题.
三、教学内容安排
本节内容主要包括向量数量积的物理背景与定义，向量数量积的运算率，向量数量积的坐标运算与度量公式
四、教学资源建议
教材、教参、课标、多媒体、实物投影、尺规
方案1：
课后习题以A组题为主，必要时补充B组题（酌情选用）.
方案2：
课后习题以B组题为主
五、教学方法与学习指导策略建议
六、
1.本节利用力做功这一物理问题，过渡到数学的向量问题，引导学生对向量的数量积的定义理解。
本节主要学习向量积的概念及相关定义，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.对于向量内积的性质，可以引导学生自己去探索发现。
2.本节建议采用“自主、合作、探究”的教学方法，自主探究和讲解相结合，利用多媒体辅助教学．在教学中，注重学生学习的思维方式，即学生是如何接受知识的．要重视知识的形成过程，关注解题方法产生的思维过程，强化学生的应用意识，引导学生探究的解题规律．
3.关于向量数量积的运算律，建议在上一节课后，让学生思考这样一个问题，向量数量积的交换律和分配律是否成立，学生通过课下阅读课本了解了分配律的证明方法，课上教师答疑，培养了学生阅读自学的能力．通过这个证明过程，使学生体会向量加法在正投影变换下的不变性质，体会如何把二维问题转化为一维问题来处理．对于本小节的两个例题，例1得出的结论可直接运用，例2是利用向量知识证明几何问题，这为今后用向量解题的方法作铺垫．
4.在教学中，通过向量数量积的数与形两种表示的相互转化使学生进一步体会数形结合思想，增强向量法与坐标法处理向量问题的意识，使学生转化、化归的思想得到提升，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力．在例题的教学中，要重视引导学生分析解题思路，总结解题规律．
第九学时——第十学时向量的应用
一、学习目标
二、
经历用向量方法解决某些简单的几何问题、物理问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、重点、难点
教学重点是利用向量方法解决几何问题和与物理相关的实际问题．
教学难点是选择适当的方法，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，以及建立以向量为主题的数学模型，把物理问题转化为数学问题．
三、教学内容及课标要求
本节主要内容包括向量在平面几何中的应用;向量在物理中的应用．
四、教学资源建议
1．多媒体教学系统（展示相关图片和资料）
2．电脑和几何画板软件（画图并演示几何图形的性质）
3．引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方法的应用，加深对向量工
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