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数学建模
数学建模
——山羊数量变化过程及趋势
李锦辉2010011236数学2班
一·摘要
有一百只山羊，分别在较好、中等、较差的环境下，年平均增长率分别为1.5%0.5%-4.0%，根据单一控制变量原理，不考虑山羊迁入和迁出，假设环境不随时间变化而变化，不考虑在考察期间山羊受到自然灾害、人为因素等影响，在理想的自然条件下考虑山羊的变化规律，对其逐年变化的规律进行研究。
考虑人工捕获时动物是否会灭绝，为人工繁殖提供一个可行的方案。
分别按以下情况提出三个问题，分别讨论动物数量逐年变化的过程及趋势：
1、在这三种环境下，山羊数量十五年的变化过程，对结果列表并图示；
2、如果每年捕获三只，山羊数量会如何变化？
会灭绝吗？
3、.要使山羊数量稳定在六十只左右，每年需要人工繁殖多少只？
针对问题1、2，可以建立指数模型。
通过指数模型，建立山羊数量与时间（年份）之间的指数函数模型，制成表格，画出函数图即可得到问题1的解。
对于问题2，可以建立指数多项式函数式，在不同的捕获量下，根据函数变化趋势，预测山羊会不会灭绝，为物种的保护和资源的最大利用率提出可行方案。
针对问题3，可以建立指数模型和微分方程来求解，分析所建立的函数模型，可以得到，在有人工繁殖的前提条件下，可以将山羊的数量稳定在某一个稳定的数量范围（60只左右）之内，使其数量变化率趋近于0。
这可以应用到人工繁殖中，为人工繁殖山羊提供一个行之有效的方案，使山羊数量控制在一定范围内，达到一个稳定值，控制其数量。
同样的，这种方案、研究方法和解决问题的思路还可以应用到类似情况问题的研究上，对于其他动物的研究有借鉴价值，具有广泛意义。
关键词：
环境影响动物数量指数模型微分方程
二·提出问题
在不同环境下动物数量逐年变化的研究，在动物保护、人工繁殖、饲养方面都有着重要意义及广泛的应用。
本文主要通过对山羊数量逐年变化的研究，将山羊在不同自然环境下的数量变化图示化，考虑在捕获山羊时山羊是否会灭绝的问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，使山羊的数量稳定于一定值。
三·模型假设
1 山羊群体无迁入、迁出现象，处于一个相对封闭的环境中；
2 山羊群体中的每个个体具有相同的死亡概率与繁殖机会，不考虑年龄和个体雌雄的差异；
3 将山羊数量的变化视为连续函数且光滑，只与时间有关的函数；
4 从一个群体的角度总体考虑山羊死亡与繁殖过程的平均效应；
5 数量增长过程是平稳的，与时间无关；
6 对山羊每年的捕捉和繁殖都是在年末统计进行的；
四·模型参数
r：
表示增长率；
x0：
表示山羊的初始数量100只；
x/t：
表示第t年山羊的数量；
a：
每年繁殖或捕获的山羊的数量。
yi：
表示在不同环境下山羊的数量，其中i=1，2，3；
（1：
较好环境2：
中等环境3：
较差环境）。
五·模型分析
●问题1：
山羊在较好、中等及较差的自然环境条件下，每年平均分别以1.5%0.5%-4.0%的增长率增长，可以得到山羊数量的变化函数应服从指数变化，分别为
y1=100（1+0.015）.^x,
y2=100（1+0.005）.^x,
y3=100（1-0.04）.^x。
●问题2：
每年捕获三只，则动物在较好的自然环境下数量变化为：
第一年，y1=100*（1+1.5%）-3；
第二年，y1=100*（1+1.5%）^2-3*（1+1.5%）-3；
第三年，y1=100*（1+1.5%）^3-3*（1+1.5%）^2-3*（1+1.5%）-3;
……
……
第x年，y1=100*（1+1.5%）.^x-3*（1-1.015.^x）/（1-1.015）;
依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为：
y2=100*（1+0.5%）.^x-3*（1-1.005.^x）/（1-1.005）;
y3=100*（1-4.0%）.^x-3*（1-0.96.^x）/0.04。
●问题3：
在较好和中等环境下，山羊数量增长系数均大于0，不会出现负增长现象，如使山羊数量稳定在60只左右，属于不可能事件。
较差的自然环境下山羊数量增长率为小于0的负数，欲使其数量稳定在60只左右，需要进行人工繁殖方能达到目的。
在较差的自然环境下，如果想要山羊的数量稳定在60只左右，设每年需人工饲养的动物数为a,则
y3=100*（1-4.0%）.^x+a*（1-（1-0.04）.^x）/4.0%。
在t年以后动物数量逐渐稳定在60只左右，那么动物增长率就为0，即x>=t时，y3=60;dy3（t）=0。
六·模型建立及求解
●问题1：
山羊在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均分别为1.5%0.5%和-4.0%，可以得知在15年的变化函数应是指数变化，分别为：
y1=100（1+0.015）^x,
y2=100（1+0.005）^x,
y3=100（1-0.04）^x。
自然环境下山羊数量变化表：
年份
山羊数量
生存环境
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
较好环境
102
103
105
106
108
109
111
113
114
116
118
120
121
123
125
中等环境
101
101
102
102
103
103
104
104
105
105
106
106
107
107
108
较差环境
96
92
88
85
82
78
75
72
69
66
64
61
59
56
54
利用MALLAB可画出动物在3种自然环境下的变化过程：
由图可知，在十五年的时间内，较好环境下山羊数量呈直线增长；中等环境中山羊数量也呈直线增长，但其增幅较较好环境稍缓；在较差的环境下山羊数量呈现负增长，有灭绝的趋势。
●问题2：
每年捕获三只，则动物在较好的自然环境下数量变化为：
第一年，y1=100*（1+1.5%）-3；
第二年，y1=100*（1+1.5%）^2-3*（1+1.5%）-3；
第三年，
y1=100*（1+1.5%）^3-3*（1+1.5%）^2-3*（1+1.5%）-3;
……
……
第x年，y1=100*（1+1.5%）.^x-3*（1.015.^x-1）/（1.015-1）;
依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为
y2=100*（1+0.5%）.^x-3*（1.005.^x-1）/（1.005-1）;
y3=100*（1-4.0%）.^x-3*（1-（1-0.04）.^x）/0.04;
每年捕获三只，自然环境下山羊数量变化表：
年份
山羊数量
生存环境
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
较好环境
99
97
95
94
92
91
89
87
86
84
82
80
79
77
75
中等环境
98
95
92
90
87
85
82
80
77
74
72
69
67
64
61
较差环境
93
86
80
74
68
62
57
51
46
41
37
32
28
24
20
用matlab画出的图像如下：
由图示知，在捕获3只的情况下，三种自然环境下都在下降，其中较差环境在十五年的时候已濒临灭绝。
●问题3：
在较差的自然环境下，如果想要山羊的数量稳定在60只左右，设每年需人工饲养的动物数为a,则
y3=100*（1-4.0%）.^x+a*（1-（1-0.04）.^x）/4.0%。
在t年以后山羊数量逐渐稳定在60只左右，即就是山羊增长率为0，即x>=t时，y3→60，dy3（t）=0。
用MATLAB作M文件程序如下；
Symsatx;
y3=100*（1-0.04）.^x+a*（1-（1-0.04）.^x）/0.04;
solve（‘y3（t）=60’,‘x=t’,‘dy3（t）=0’）；
通过函数图像显示，在a=2.4的时候函数值最接近于y3（t）的值。
即就是在a=2.4的时候山羊数量稳定在60只左右。
稳定趋势如图：
由于在实际生活中每年的人工繁殖数a只能取整数，故对a=2和a=3再进一步讨论如下：
当a=2时;y3函数图像如下：
当a=3时；y3函数图像如下：
由图像可知，当a=2的时候，山羊数量稳定在50只左右，当a=3的时候，山羊数量稳定在75只左右。
可见，当每年人工繁殖2只的时候最接近要求。
七·模型改进方向及应用
1、在考虑捕获动物对其造成的影响是是否会灭绝的问题时，可不必单独对捕获1、2或3只考虑，而应对捕获m只一般性考虑，编写程序在不同数量评价的标准n的情况下，并输出相应的“灭绝”、“骤减”等更详细的结果。
2、动物的增长率不可能是恒定不变的，随着动物数量的增加，动物内部也会存在竞争，从而影响动物的增长率。
3、在判断物种是否濒临灭绝时，能相应的再考虑怎样具体的保护该物种不致灭绝，建立合理化的模型，给出合理的方案，是可以进一步研究的课题。
例如，改善物种的生活环境，人工繁殖等等。
4、在建立模型解需人工繁殖多少只来稳定物种数量时，对于解出的非整数解的处理还需要改进，有时取其邻近整数解并不可靠，而且通过图像分别考虑其整数解的是否合适，在实际生活中也不十分可行，模型也需要改进。
5、动物每年的捕捉和繁殖不可能只在某一个点进行，所以此模型的假设为只在每年年末进行捕捉或繁殖有待改进。
八·附件
（1）文中出现的程序：
在较好环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*（1+0.015）.^x;
scatter（x,y,'.'）
在中等环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*（1+0.005）.^x;
scatter（x,y,'.'）
在较差环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*（1-0.040）.^x;
scatter（x,y,'.'）
每年捕获三只，在较好环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*1.015^x-3.*（1.015^x-1）/0.015;
scatter（x,y,'.'）；
每年捕获三只，在中等环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*1.005.^x-3.*（1.005.^x-1）/0.005;
scatter（x,y,'.'）；
每年捕获三只，在较差环境下山羊数量变化过程图在matlab中的程序代码：
x=1:
1:
100;
y=100.*0.96.^x-3.*（1-0.96.^x）/0.04;
scatter（x,y,'.'）；
（2）参考文献
1、姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版）北京：
高等教育出版社，2003
2、欧宜贵，李志林，洪世煌.计算机模拟在数学建模中的应用.海南大学学报，2004，22
3、李志林，欧宜贵.计算机模拟建模.工程数学学报，2005，22（8）：
81-84
4、李志林，欧宜贵.数学建模竞赛与数学素质和人文素质培养.高等数学研究，2003。
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