数学一级学科硕士学位研究生培养方案吉林师范大学美术学院.docx
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数学一级学科硕士学位研究生培养方案吉林师范大学美术学院
数学一级学科硕士学位研究生培养方案
（0701）
一、学科简介
数学是一门在非常广泛意义下研究自然现象和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。
它的根本特点是从自然现象的量的侧面抽象出一般性的规律，预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。
数学是各门科学的基础，在自然科学、社会科学、工程技术等方面起着思想库的作用；又是经济建设和技术进步的重要工具。
数学科学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系。
本学科目前在基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论五个二级学科招收硕士研究生。
070101基础数学专业概况。
基础数学又称为纯粹数学，是数学学科的核心和灵魂。
它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础，也是自然科学、社会科学、工程技术等方面所必不可少的语言、工具、方法及思想库。
基础数学包含数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多的分支学科。
当代数学的迅速发展使得这些分支学科间交叉与渗透的趋势日益明显，出现了许多新的研究领域和生长点。
高科技的发展及电子计算机的广泛应用为基础数学的研究提供了更广阔的应用前景。
070102计算数学专业概况计算数学是研究如何用计算机解决各种数学问题的学科，它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定算法。
高效的计算方法与高速的计算机是同等重要的，计算作为认识世界改造世界的一种重要手段，已与理论分析、科学实验共同成为当代科学研究的三大支柱。
计算数学主要研究与各类科学计算和工程计算相关的计算方法，对各种算法及其应用进行理论和数值分析，设计和研究用数值模拟方法来代替某些耗资巨大甚至是难以实现的实验，研制专用或通用科学工程应用软件和数值软件等。
近年来，计算数学与其它领域交叉渗透，形成了诸如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学等一批交叉学科，在自然科学、社会科学、工程技术及国民经济的各个领域得到了日益广泛的应用。
070103概率论与数理统计学科概况。
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的学科。
概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律，是数理统计的基础。
它既研究复杂大系统的宏观规律，也研究一般系统的微观性质。
它一方面探讨随机现象的定性和定量规律，另一方面也将随机方法应用于某些非随机性问题。
数理统计学研究如何有效地收集、整理、分析和使用随机数据，并从数据中提取信息、寻求规律的学科，为概率论的实际应用提供了广阔的天地。
它包括了广泛的方法和理论，是进行推断、预测和决策的重要工具。
概率论与数理统计相互依存，相互推动，和数学的其它学科、理论物理、生物学、经济学、计算机科学等交叉、渗透，形成了众多的分支学科，其应用遍及自然科学、社会科学、工程技术及国民经济的各个领域。
概率统计思想渗入各个学科已成为近代科学发展的明显特征之一。
070104应用数学学科概况。
应用数学是联系数学与自然科学、工程技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学的重要桥梁。
通过建立数学模型和借助功能日益强大的计算机，应用数学的思想和方法在科学和工程技术的众多领域中取得了令人瞩目的成就，对某些新学科的产生和发展起了重要的作用。
应用数学也是数学新问题的重要来源。
应用数学的研究范围十分广阔，包括应用数学的基础理论，具有广泛应用的数学方法，以及利用数学方法解决实际问题等。
070105运筹学与控制论学科概况。
本专业包括运筹学和控制论两个方面。
它以数学和计算机为主要工具，从系统和信息处理的观点出发，研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题。
从第二次世界大战以来，运筹学和控制论由于其广泛的应用，得到了迅猛发展，开创了很多新的研究和应用领域，形成了一个包括众多分支的学科。
二、培养方案
070101基础数学
（一）培养目标：
本学科培养的硕士应是基础数学方面的德、智、体全面发展的高层次专门人才。
掌握马克思主义的基本原理，热爱祖国，遵纪守法，品德优良，具有强烈的公民意识和社会责任感。
学风严谨，具有实事求是、不断追求新知、勇于创造的科学精神，积极为社会主义建设服务。
具有比较扎实宽广的数学基础，了解本学科目前的进展与动向，并在某一子学科受到一定的科研训练，有较系统的专业知识，初步具有独立进行理论研究的能力或运用数学知识解决实际问题的能力，在某个专业方向上做出有理论或实践意义的成果。
较为熟练地掌握一门外国语，能阅读本专业的外文资料。
毕业后能从事与数学相关的科研、教学或其它实际工作。
本学科所培养的硕士应具有良好的科学素质、严谨的治学态度及较强的开拓精神，善于接受新知识，提出新思路，探讨新课题，具有较强的适应性。
（二）研究方向
1.动力系统；2.一般拓扑学；3.现代模论；4.环论；5.数学史。
（三）主要相关学科
应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论、以及与数理经济学、金融学、信息科学、管理科学、系统科学、计算机科学、物理学、天文学、力学等方面有关的二级学科。
（四）学习年限及应修学分
学习年限一般为三年，学分不少于35学分，不超过38学分。
（五）课程设置与教学计划表
课程类别
课程名称
总学时
周学时
学分
开课学期
考核
公共学位必修课
马克思主义理论课
科学社会主义理论与实践
36
2
1
Ⅰ
考试
自然辩证法概论
54
3
2
Ⅰ
考试
综合英语（听力、口语、写作）
120
4
4
Ⅰ—Ⅱ
考试
专业学位必修课
基础理论课
拓扑学
60
3
3
Ⅰ
考试
代数学
60
3
3
Ⅰ
考试
泛函分析
60
3
3
Ⅱ
考试
专业方向课
拓扑动力系统（方向1）
60
3
3
Ⅱ
考试
一般拓扑学（方向2）
60
3
3
Ⅱ
考试
模论（方向3）
60
3
3
Ⅱ
考试
环论（方向4）
60
3
3
Ⅱ
考试
数学史研究（方向5）
60
3
3
Ⅱ
考试
非学位必修课
文献阅读（前沿指导、方法论指导）
20
1
1
Ⅳ
考查
公共选修课
第二外语（日语、英语）
54
3
2
Ⅲ
考查
计算机技术与应用
54
3
2
Ⅲ
考查
专业选修课
遍历理论（方向1）
40
2
2
Ⅲ
考查
分形几何（方向1）
40
2
2
Ⅲ
考查
公理集合论（方向2）
40
2
2
Ⅲ
考查
拓扑空间论（方向2）
40
2
2
Ⅲ
考查
环结构（方向3）
40
2
2
Ⅲ
考查
同调代数（方向3）
40
2
2
Ⅲ
考查
商环（方向4）
40
2
2
Ⅲ
考查
环上导子（方向4）
40
2
2
Ⅲ
考查
数学哲学（方向5）
40
2
2
Ⅲ
考查
数学文化史研究（方向5）
40
2
2
Ⅲ
考查
实践活动
与撰写学位论文
参加学术活动
第一至四学期进行，考查（提交学术活动记录），1学分。
参加教学实践
第四学期进行教学实践（助课、讲课训练等），20学时，考查（提交书面鉴定），2学分。
参加社会实践
第五学期结合撰写毕业论文参加社会调研等活动，考查（提交社会调研报告），2学分。
撰写学位论文
第四学期进行学位论文开题；第五学期开始撰写毕业论文。
要求观点鲜明、理论联系实际，有创新。
第六学期进行学位论文申请、评阅和答辩。
在学期间发表一篇至少第二作者（导师第一作者）省级公开发表的与本专业相关的论文，3学分。
（六）课程简介、教材和文献阅读书目
拓
扑
学
（公共课）
内容简介
拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言．拓扑学在物理学、经济学等学科也有许多应用，拓扑学是基础数学硕士点的一门重要的学位课．拓扑学是一门几何学，主要研究几何图形在连续形变下不改变的性质，它利用分析的方法和代数的方法研究几何图形的拓扑性质，将数学的三大组成部分（几何、代数、分析）有机的结合起来，对于提高学生对数学的整体认识和数学修养颇有裨益。
本课程主要介绍点集拓扑的主要内容：
拓扑空间与连续性、主要的拓扑性质、商空间与闭曲面，以及代数拓扑的基础知识：
同伦与基本群、单纯同调群，映射度与不动点．课程以讲授为主，学生组织讨论班轮流报告为辅，充分调动学生学习的主观能动性，加强教学效果。
使用教材
何伯和、廖公夫，《基础拓扑学》，高等教育出版社，1991.
参考书目
1.胡适耕，《基础拓扑学》，华中科技大学出版社，2007.
2.尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997.
3.熊金城，《点集拓扑讲义》，高等教育出版社，2004.
4.[美]芒克里斯，《拓扑学》，机械工业出版社，2006.
5.[美]凯利来，《一般拓扑学》，北京：
科学出版社，1982.
基
础
代
数
学
（公共课）
内容简介
代数学的理论与方法无论是对整个数学的发展与完善，还是对学生数学综合素质的培养与提高，都具有不可替代的作用，随着科学技术的进步，特别是计算机技术的迅速发展与普及，代数学在通信、系统工程和计算机科学等许多领域都有非常广泛的应用。
因此《基础代数学》这门课程不仅对基础数学的研究生是必要的，而且对相关学科的研究生也是必要的．基础代数学主要讲述群、环、域及模的基本理论，这些理论包括交换整环的因式分解，域的代数扩张，有限群的Sylow子群，群的扩张，群的直积，可解群，主理想整环上的模理论及其在有限生成Abel群的分类与有限维线性空间的线性变换的标准形这两方面的应用，集合中元素之间的等价关系与集合的分类，方程的Galois理论，范畴理论。
使用教材
NathanJacobson，《BasicAlgebraⅠ》，W.H.FremanandCompany，1980.
参考书目
1.[荷]B.L.范德瓦尔登，《代数学》，科学出版社，1978.
2.[美]T.W.Hungerford，《代数学》，湖南出版社，1985.
3.谢邦杰，《抽象代数学》，上海科学技术出版社，1982.
4.聂灵沼、丁石孙，《代数学引论（第二版）》，高等教育出版社，2003.
5.李超、谢瑞强，《代数学基础/研究生教材》，国防科技大学出版社，2000.
泛
函
分
析
（公共课）
内容简介
泛函分析是综合运用分析、代数和几何的观点和方法使代数结构、序结构、拓扑结构融为一体的数学学科，是一门内容丰富、方法系统、体系完整、应用广泛的独立分支．它对于任何一位从事纯粹数学与应用数学研究的学者而言，它都是必不可少的基础．本课是基础数学专业函数论、常微分方程、分析学等方向硕士研究生的公共基础课，内容包括泛函分析的预备知识，主要介绍抽象测度、向量值函数以及拓扑线性空间等内容；算子的一般理论，紧算子理论及自伴算子的谱分解定理，算子的Fredbolm理论，Banach代数的Gelfand理论等。
使用教材
江泽坚、孙善利，《泛函分析》，高等教育出版社，1994.
参考书目
1.王振鹏，《泛函分析》，吉林大学出版社，1990.
2.W.Rudin，赵俊峰，刘培德译，《泛函分析》，湖北教育出版社，1989.
3.吉田耕作，吴元恺，孙顺华等译，《泛函分析》，人民教育出版社，
1981.
4.定光桂、王芝，《泛函分析选讲》，南开大学出版社，1992.
5.张恭庆、林源渠，《泛函分析》（上册），北京大学出版社，1987.
拓
扑
动
力
系
统
基
础
内容简介
本课程是拓扑动力系统方向的基础课，动力系统的理论始于Poincare对数学中微分方程的理论研究，它主要研究微分方程解的性态及其结构。
随着学科的发展，从物理学及其他各门自然科学、技术科学的实际问题中也相继产生动力系统的模型，动力系统已经成为纯粹数学的许多分支之一，是自然科学各部门及工程领域之间的一个重要的桥梁。
其内容包括：
拓扑动力系统基础知识，主要介绍动力系统和子系统、回复性、拓扑传递性和拓扑混合性、极小性、拓扑共轭、拓扑熵、混沌、符号动力系统的动力性态、有限型子转移的动力性态等。
使用教材
周作领，《符号动力系统》，上海科教出版社，1997.
参考书目
1．[美]MorrisW.Hirsch、StephenSmale、RobertDevaney，《微分方程、动力系统与混沌导论》，人民邮电出版社，2008.
2．R.L.Devaney,《AnintroductiontochaosDynamicalsystems》，Addison-Wesleypublishingcompany,Inc.，1989.
3．张景中、熊金城，《函数迭代与一维动力系统》，四川科技教育出版社，1992.
4.叶向东、黄文、邵松，《拓扑动力系统概论》，科学出版社，2008.
5.（美）罗宾逊（Robinson,R.C.）著,韩茂安等译，《动力系统导论》，机械工业出版社，2007.1.
遍
历
理
论
内容简介
遍历理论又称各态历经理论，研究保测变换的渐近性态的数学分支。
它起源于对为统计力学提供基础的"遍历假设"的研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。
本课程主要讲授遍历理论的预备知识、保测变换、遍历性、同构、共轭性和谱同构以及具有离散谱的保测变换、连续变换的不变测度和拓扑压等内容。
通过学习可使学生在动力系统与遍历理论领域奠定必要的研究基础。
使用教材
PeterWalters,《AnIntroductiontoErgodicTheory,Springer-Verag》,Newyork,Inc.,1982.
参考书目
1.钱敏平，《随机过程论》，北京大学出版社，1997.
2.叶向东、黄文、邵松，《拓扑动力系统概论》，科学出版社，2008.
3.R.E.Bowen,《EquilibriumStatesandtheErgodicTheoryofAnosovDiffeomorphism》,SpringerLectureNotesinMath.470,1975.
4.N.A.Friedman,《IntroductiontoErgodicTheory》,VanNostrand,
1970.
5.（美）罗宾逊（Robinson,R.C.）著,韩茂安等译，《动力系统导论》，机械工业出版社，2007.1.
分
形
几
何
基
础
内容简介
分形几何又称分形论，是数学科学的新分支，研究自然界和非线性系统中不光滑、不规则的几何形状，研究运动、变化中的“混沌”现象，用“分数维”来刻画集合的复杂性。
主要讲授分形几何的基本理论，包括分维的定义与计算技巧，分形理论在数学与物理上的各方面的应用。
具体内容是Hausdorff测度，Hausdorff维数，密度，整维数与非整维数集的结构，Besicovitch与Kakeya集，自相似集，吸引子等分形几何理论中的基本问题。
通过学习可使学生在动力系统与分形几何领域奠定必要的研究基础。
使用教材
K.J.Falconer,《分形几何中的技巧》，曾文曲等译，东北大学出版社,1999.6.
参考书目
1．KennethFaiconer,《FractalGeometryMathematicalFoundationsandApplications》,JohnWiley&Sons,1990.
2．文志英，《分形几何的数学基础》，上海科教出版社，2000.
3.K.J.Falconer,《TheGeometryofFractalSets》,CambridgeUniversityPress,1985.
4.刘式达、梁福明、刘式适、辛国君，《自然科学中的混沌和分形》，北京大学出版社，2004.7.
5.G.A.Edgar,Integral,《ProbabilityandFractalMeasures》.Springer.
1997.
6.P.Mattila,《GeometryofSetsandMeasuresinEuclideanSpace:
FractalsandRectifiability》，CambridgeUniversityPress,Cambridge，1995.
点
集
拓
扑
学
内容简介
本课程的内容包括拓扑的定义，点的邻域系统，闭集，凝聚点，闭包及闭包算子，内部，边界，具有可数基的拓扑，Lindelöf定理，相对化，可分离性，连通集，连通分支；定向集，网，子网，网的聚点和极限点，序列，子序列；连续性的描述，同胚，积拓扑，点态收敛，开（闭）映射，上半连续分解，商空间；Tychonoff引理，Urysohn引理，嵌入引理，Tychonoff空间，度量拓扑，伪度量空间,度量化定理，局部有限覆盖，加细，度量化的等价描述；有限交性质，ω-聚点，Alexander子基定理，紧性与可分离性质，紧空间的积，局部紧空间，商空间，一点紧化，紧化，偶覆盖，Lebesgue覆盖引理等。
使用教材
JohnL.Kelly，《GeneralTopology》，Springer-Verlag，1955.
参考书目
1.RyszardEngelking，《GeneralTopology》，HeldermannVerlagBerlin,Revisedandcompletededition,1989.
2.尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997.
3.罗嵩龄，熊金城等译，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987.
4.何伯和，廖公夫，《基础拓扑学》，吉林大学出版社，1991.
5.徐森林，胡自胜等，《点集拓扑学》，高等教育出版社，2007.
公
理
集
合
论
内容简介
本课程的内容包括ZF系统的形式语言，外延公理，内涵公理，无序对，有序对，并集公理，幂集公理，关系与映射；偏序，全序，良序，良序集基本定理，序数及其性质，无限公理，自然数集；替换公理，序型的定义，类On上的超限归纳法，序数的运算，良基集，基础公理；等势的定义，Cantor定理，基数，后继基数，极限基数，集的基数，良序定理，选择公理，基数与选择公理有关的性质，基数的加法、乘法运算，基数的指数运算，连续统假设，共尾数以及连续统假设的相对无矛盾性和相对独立性等.
使用教材
汪芳庭，《公理集合论》，中国科学技术大学出版社，1995.
参考书目
1.KennethKunen,《SetTheory》,North-HollandPublishingCompany,1980.
2.KarelHrbacekandThomasJech，《IntroductiontoSetTheory》，MarcelDekker,Inc.,1978.
3.HerbertB.，《Enderton,Elementsofsettheory》，人民邮电出版社，2006.
4.张锦文，《集合论浅说》，科学出版社，1984.
5.王宪钧，《数理逻辑引论》，北京大学出版社，1982.
拓
扑
学
内容简介
拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言．拓扑学在物理学、经济学等学科也有许多应用，拓扑学是基础数学硕士点的一门重要的学位课．拓扑学是一门几何学，主要研究几何图形在连续形变下不改变的性质，它利用分析的方法和代数的方法研究几何图形的拓扑性质，将数学的三大组成部分（几何、代数、分析）有机的结合起来，对于提高学生对数学的整体认识和数学修养颇有裨益。
本课程的内容主要包括拓扑空间，拓扑基，序拓扑，子空间拓扑，度量拓扑，连续函数，积拓扑；连通空间，紧致空间，可数性公理，分离公理，Urysohn引理，Tietze扩张定理，Urysohn度量化定理；Tychonoff定理；度量化定理与仿紧致性；完备度量空间,点态收敛和紧致收敛；Baire空间和维数论；基本群；平面分割定理及曲面分类等。
使用教材
[美]JamesR.Munkres著，熊金城等译，《拓扑学》（原书第二版），机械工业出版社，2006.
参考书目
1.儿玉之宏、永见启应，《拓扑空间论》，科学出版社，2001.
2.RyszardEngelking，《GeneralTopology》，HeldermannVerlagBerlin,，Revisedandcompletededition，1989.
3.何伯和、廖公夫，《基础拓扑学》，吉林大学出版社，1991.
4.罗嵩龄、熊金城等译，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987.
5.M.A.Armstrong著，孙以丰译，《基础拓扑学》,北京大学出版社，1983.
模
论
内容简介
模是一个代数系，向量空间的推广。
一般来说，只要将向量空间中系数所在的数域F推广为任意环，就得到模的概念。
在历史上，模是由L.克罗内克在19世纪末提出来的，用于研究矩阵的标准形和处理微分方程组的一些问题，20世纪40年代以后，模在环论、群论、李代数、交换代数中占有非常重要的地位。
研究模的一个重要工具是同调代数。
另外，代数的表示理论也是关于模的理论。
因此，模的理论对代数的结构如李代数、结合代数、群等的研究起着极为重要的作用。
本课程主要介绍模的概念及其同态基本定理，自由模，投射模，内射模，平坦模，模的直和，直和以及图表追踪的证明手法，主理想整环上的模。
使用教材
T.S.Blyth.，《ModuleTheory》.，OxfordUniversitypress.，1977.
参考书目
1.F.kasch.，《ModulesandRings》，AcademicPress.Inc.（London）LTD.，1982.
2.聂灵沼、丁石孙，《代数学引论》（第二版），高等教育出版社，2003.
3.F.W.Anderson,、K.R.Fuller,，《RingsandCategoriesofModules》,2ndEd.Springer-Verlag,NewYork,1992.
4.陈家鼐，《环与模》，北京：
北京师范学院出版社，1989.
5.谢邦杰，《抽象代数学》，上海：
上海科学技术出版社，1982.
环
结
构
内容简介
环是一个具有两种二元运算的代数系统。
在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。
倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。
对环的结构的研究非常重要。
本课程主要介绍具有链条件的环（Artin环、Noether环）及结构定理，环的局部化，环的根理论。
使用教材
刘绍学，《环与代数》，科学出版社，1983.
参考书目
1.HideyukiMatsumura,《CommutativeRingTheory》,CambridgeUniversityPress,1986.
2.N.Jacobson.，《StructureofRings》，Providen
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