数学建模.docx
《数学建模.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
数学建模
数学建模论文模版
（一）
1问题的提出
位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。
过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。
由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。
而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。
2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。
为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。
从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。
二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。
铺设管道的费用为
（万元），其中
表示每年的可供水量（万吨/年），
表示管道长度（公里）。
铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。
要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。
政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。
表1现有各水井在近几年的产水量（万吨）
年份
产水量
编号
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
1号井
32.2
31.3
29.7
28.6
27.5
26.1
25.3
23.7
22.7
2号井
21.5
15.9
11.8
8.7
6.5
4.8
3.5
2.6
2.0
3号井
27.9
25.8
23.8
21.6
19.5
17.4
15.5
13.3
11.2
4号井
46.2
32.6
26.7
23.0
20.0
18.9
17.5
16.3
表28个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
打井费用
5
7
5
4
6
5
5
3
当年产水
25
36
32
15
31
28
22
12
2问题的分析
题中要求制定一个总费用（决策目标）最小的抗旱（打井，铺设管道）方案，属于优化问题，并且使得该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，每年费用不超过60万元。
（此两点为主要约束条件）
其他的约束条件有：
a.每口井只能在2010年开始，连续三年中的其中一年施工
b.铺设管道费用为万元整数倍
c.由于河位于与该村相隔20公里外的地方,所以管道总长度不小于20公里
d.铺设管道需要3年时间,故前3年管道供水量为0,而第4,5年供水量不小于100万吨。
故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。
3模型的假设
a．忽略小蓄水池的作用和利息因素
b．不考虑意外情况导致所需经费增加
c．假设井在年初修建且时间很短，修完之后即可利用，管道铺好后即可用于供水
d．假设这五年之内村民需水量基本稳定
e．假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的影响
f．从长远利益考虑，打井和铺设管道两个方案应同时协调进行
4符号说明
Xij0—1变量，表示第i号井在第j年的施工情况，Xij=1第i号井在第j年施工，Xij=0表示不施工
Zj第j年的总费用
Pj第j年的铺管道费用
Lj第j年铺管道公里数
Wj第j年的水量
Q管道供水量
Nj所有新建的水井在第j年的产水量
5模型建立
决策变量为三年间铺设管道和打井的总费用。
0—1变量Xij表示i号井j年是否施工，为1则施工,产生费用，Pj表示第j年的铺路费用。
所以第j年的总费用Zj=5*X1j+7*X2j+5*X3j+4*X4j+6*X5j+5*X6j+5*X7j+3*X8j+Pj
三年费用minZ=Z1+Z2+Z3
=5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1+
5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2+
5*X13+7*X23+5*X33+4*X43+6*X53+5*X63+5*X73+3*X83+P3
约束条件：
1）由于第i号井只能在三年中的某一年打造或者不打造，故应有
<=1;
2）每年的费用不能超过计划即
Z1=5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1;
Z2=5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2;
Z3=5*X13+7*X23+5*X33+4*X43+6*X53+5*X63+5*X73+3*X83+P3;
Z1〈=60，Z2〈=60，Z3〈=60
3）每年的水量应满足要求，水量有三部分构成：
现有水井的产水量，新建水井的产水量，管道铺好后的管道水量。
现有水井产水量可根据2001——2009数据拟合出2010——2014年的，程序编码及拟合图见附录1，拟合结果如下图所示：
编号
产水量
年份
2010
2011
2012
2013
2014
1号井
21.4472
20.2456
19.0439
17.8422
16.6406
2号井
1.069
0
0
0
0
3号井
9.1306
7.0456
4.9606
2.8756
0.7906
4号井
11.8286
4.5071
0
0
0
总水量
43.4754
31.7983
24.0045
20.7178
17.4312
新建水井产水量：
第一年：
N1=25*X11+36*X21+32*X31+15*X41+31*X51+28*X61+22*X71+12*X81;
第二年：
N2=25*X12+36*X22+32*X32+15*X42+31*X52+28*X62+22*X72+12*X82+25*X11*0.9+36*X21*0.9+32*X31*0.9+15*X41*0.9+31*X51*0.9+28*X61*0.9+22*X71*0.9+12*X81*0.9
第三年：
N3=25*X13+36*X23+32*X33+15*X43+31*X53+28*X63+22*X73+12*X83+25*X12*0.9+36*X22*0.9+32*X32*0.9+15*X42*0.9+31*X52*0.9+28*X62*0.9+22*X72*0.9+12*X82*0.9+25*X11*0.81+36*X21*0.81+32*X31*0.81+15*X41*0.81+31*X51*0.81+28*X61*0.81+22*X71*0.81+12*X81*0.81;
第四年：
N4=N3*0.9
第五年：
N5=N3*0.81
管道水量：
前三年为0，后两年为Q
故每年的总水量
W1=43.4754+N1
W2=31.7983+N2
W3=24.0045+N3
W4=20.7178+N4+Q
W5=17.4312+N5+Q
满足，W1>=150,W2>=160,W3>=170,W4>=180,W5>=190
4）每年的铺管道费取整且总管道不小20公里即
Pj=0.66Q^0.51*Li
Pj取整
L1+L2+L3>=20
6模型求解
将上述模型输入LINGO可得到【2】
第一年花费20万元打造1,3,6,7号井；花费35万元铺管道5.06公里，共计55万元；
第二年花费7万元打造2号井，花费53万元铺管道7.669公里，共计60万元；
第三年花费6万元打造5号井，花费51万元铺管道7.379公里，共计57
7结果分析
由结果可知第一年打井1，3，6，7号。
产生水量150.47万吨。
由各井的产水量可知无论是减少井量，或是替换成其他的井，在保证费用不增加的情况下都会使产水量减小，所以第一年只能打井1，3，6，7号。
第二年新增水井2号，总水量164.098，可供替换的井为4，5，7号，与2号水量之差分别为21，5，24皆大于4万吨，故也无法满足水量只能打2号井。
同理第三年也只能打5号井。
这样方案费用是最小的。
8方案评价
1）本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。
2）运用MATLAB和LINGO软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性。
且所得数据较为合理可靠。
3）运用0—1模型解题，全面可靠
4）但在实际运用本方案中还应考虑自然因素对产水量的影响，还有需水量的变化，根据实际情况进行灵活改变。
二号井水量模拟图线
（万吨）
（年份减去2000）
（年份减去2000）
（万吨）
三号井水量模拟图线
（万吨）
（年份减去2000）
四号井水量模拟图线
人员疏散范文
（二）
摘要
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散，对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字
人员疏散流体模型距离控制疏散过程
问题的提出
教学楼人员疏散时间预测
学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素，一旦发生火灾，火灾及其烟气蔓延很快，容易造成严重的人员伤亡。
对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，结合1号教学楼的结构形式，对教学楼的典型的火灾场景作了分析，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，并对学校领导提出有益的见解建议。
前言
建筑物发生火灾后，人员安全疏散与人员的生命安全直接相关，疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。
火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短，火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。
人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时，还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下，人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展，世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作，并取得了一定的成果（模型和程序），如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89，HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO、FIREWIND，加拿大的FIERAsystem和日本的EVACS等，我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作，并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。
一般地，疏散评估方法由火灾中烟气的性状预测和疏散预测两部分组成，烟气性状预测就是预测烟气对疏散人员会造成影响的时间。
众多火灾案例表明，火灾烟气毒性、缺氧使人窒息以及辐射热是致人伤亡的主要因素。
其中烟气毒性是火灾中影响人员安全疏散和造成人员死亡的最主要因素，也就是造成火灾危险的主要因素。
研究表明：
人员在CO浓度为4X10-3浓度下暴露30分钟会致死。
此外，缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素，研究表明：
空气中氧气的正常值为21％，当氧气含量降低到12％～15％时，便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏，当氧气含量低到6％～8％时，便会使人虚脱甚至死亡；人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW／m2（烟气层温度约为200℃）。
预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评估的一部分，该部分应考虑烟气控制设备的性能以及墙和开口部对烟的影响等；通过危险来临时间和疏散所需时间的对比来评估疏散设计方案的合理性和疏散的安全性。
疏散所需时间小于危险来临时间，则疏散是安全的，疏散设计方案可行；反之，疏散是不安全的，疏散设计应加以修改，并再评估。
疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。
疏散开始时间即从起火到开始疏散的时间，它大体可分为感知时间（从起火至人感知火的时间）和疏散准备时间（从感知火至开始疏散时间）两阶段。
一般地，疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统，起火场所、人员相对位置，疏散人员状态及状况、建筑物形状及管理状况，疏散诱导手段等因素有关。
疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间，它由步行时间（从最远疏散点至安全出口步行所需的时间）和出口通过排队时间（计算区域人员全部从出口通过所需的时间）构成。
与疏散行动时间预测相关的参数及其关系见图3。
模型的分析与建立
将人群在教学楼内的走动模拟成水在管道内的流动，对人员的个体特性没有考虑，而是将人群的疏散作为一个整体运动处理，并对人员疏散过程作了如下保守假设：
u疏散人员具有相同的特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；
u疏散人员是清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；
u在疏散过程中，人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配
u人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。
以上假设是人员疏散的一种理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响，在采用该模型进行人员疏散的计算时，通常保守地考虑一个安全系数，一般取1．5～2，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。
教学楼模型的简化与计算假设
教学楼为一幢分为A、B两座，中间连接着C座的建筑（如上图），A、B两座为五层，C座为两层。
A、B座每层有若干教室，除A座四楼和B座五楼，其它每层都有两个大教室。
C座一层即为大厅，C座二层为几个办公室，人员极少故忽略不考虑，只作为一条人员通道。
为了重点分析人员疏散情况，现将A、B座每层楼的10个小教室（40人）、一个中教室（100）和一个大教室（240人）简化为6个教室。
在走廊通道的1/2处，将1、2、3、4、5号教室简化为13、14号教室，将6、7、8、9、10号教室简化为15、16号教室。
此时，13、14、15、16号教室所容纳的人数均为100人，教室的出口为距走廊通道两边的1/4处，且11、13、15号教室的出口距左楼梯的距离相等，12、14、16号教室的出口距右楼梯的距离相等。
我们设大教室靠近大教室出口的100人走左楼梯，其余的140人从大教室楼外的楼梯疏散，这样让每一个通道的出口都得到了利用。
由于1号教学楼的A、B两座楼的对称性，所以此简图的建立同时适用于1号教学楼A、B两座楼的任意楼层。
经测量，走廊的总长度为44米，走廊宽为1.8米,单级楼梯的宽度为0.3米,每级楼梯共有26级,楼梯口宽2.0米,每间教室的面积为125平方米.则简化后走廊的1/4处即为教室的出口，距楼梯的距离应为44/4=11米。
对火灾场景做出如下假设:
u火灾发生在第二层的15号教室;
u发生火灾是每个教室都为满人,这样这层楼共有600人;
u教学楼内安装有集中火灾报警系统,但没有应急广播系统;
u从起火时刻起,在10分钟内还没有撤离起火楼层为逃生失败;
对于这种场景下的火灾发展与烟气蔓延过程可用一些模拟程序进行计算,并据此确定楼内危险状况到来的时间.但是为了突出重点,这里不详细讨论计算细节.
人员的整个疏散时间可分为疏散前的滞后时间,疏散中通过某距离的时间及在某些重要出口的等待时间三部分,根据建筑物的结构特点,可将人们的疏散通道分成若干个小段。
在某些小段的出口处,人群通过时可能需要一定的排队时间。
于是第i个人的疏散时间ti可表示为:
式中,ti,delay为疏散前的滞后时间,包括觉察火灾和确认火灾所用的时间;di,n为第n段的长度;vi,n为该人在第n段的平均行走速度;Δtm,queue为第n段出口处的排队等候时间。
最后一个离开教学楼的人员所有用的时间就是教学楼人员疏散所需的疏散时间。
假设二层的15号教室是起火房间,其中的人员直接获得火灾迹象进而马上疏散,设其反应的滞后时间为60s;教学内的人员大部分是学生,火灾信息将传播的很快,因而同楼层的其他教室的人员会得到15号教室人员的警告,开始决定疏散行动.设这种信息传播的时间为120s,即这批人的总的滞后时间为120+60=180秒;因为左右两侧为对称状态,所以在这里我们就计算一面的.一、三、四、五层的人员将通过火灾报警系统的警告而开始进行疏散,他们得到火灾信息的时间又比二层内的其他教室的人员晚了60秒.因此其总反应延迟为240秒.由于火灾发生在二楼,其对一层人员构成的危险相对较小,故下面重点讨论二,三,四,五楼的人员疏散.
为了实际了解教学楼内人员行走的状况,本组专门进行了几次现场观察,具体记录了学生通过一些典型路段的时间。
参考一些其它资料[1、2、3],提出人员疏散的主要参数可用图6表示。
在开始疏散时算起,某人在教室内的逗留时间视为其排队时间。
人的行走速度应根据不同的人流密度选取。
当人流密度大于1人/m2时,采用0.6m/s的疏散速度,通过走廊所需时间为60s,通过大厅所需时间为12s;当人流密度小于1人/m2时,疏散速度取为1.2m/s,通过走廊所需时间为30s,通过大厅所需时间为6s。
Pauls[4]提出,下楼梯的人员流量f与楼梯的有效宽度w和使用楼梯的人数p有关,其计算公式为:
式中,流量f的单位为人/s,w的单位为mm。
此公式的应用范围为0.1
这样便可以通过流量和室内人数来计算出疏散所用时间。
出口的有效宽度是从通道的实际宽度里减去其两侧边界层而得到的净宽度,通常通道一侧的边界层被设定为150mm。
3结果与讨论
在整个疏散过程中会出现如下几种情况:
（1）起火教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。
现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;
（2）起火楼层中其它教室的人员可较快获得火灾信息,并决定进行疏散,他们的整个疏散过程可能会分成两个阶段来进行计算:
当f进入2层楼梯口流出2层楼梯口时,这时的疏散就属于距离控制疏散过程;当f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口时,二楼楼梯间的宽度便成为疏散过程中控制因素。
现将这种过程定义为瓶颈控制疏散过程;
（3）三、四层人员开始疏散以后,可能会使三楼楼梯间和二楼楼梯间成为瓶颈控制疏散过程;
（4）一楼教室人员开始疏散时,可能引起一楼大厅出口的瓶颈控制疏散过程;
（5）在疏散后期,等待疏散的人员相对于疏散通道来说,将会满足距离控制疏散过程的条件,即又会出现距离控制疏散过程。
起火教室内的人员密度为100/125=0.8人/m2。
然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考表1给出的数据,将室内人员的行走速度为1.1m/s。
设教室的门宽为1.80m。
而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度,等于此宽度上减去0.30m。
则从教室中出来的人员流量f0为:
f0=v0×s0×w0=1.1×0.8×4.7=4.1（人/s）（3）
式中,v0和s0分别为人员在教室中行走速度和人员密度,w0为教室出口的有效宽度。
按此速度计算,起火教室里的人员要在24.3s内才能完全疏散完毕。
设人员按照4.1人/s的流量进入走廊。
由于走廊里的人流密度不到1人/m2,因此采用1.2m/s的速度进行计算。
可得人员到达二楼楼梯口的时间为9.2s。
在此阶段,将要使用二楼楼梯的人数为100人。
此时p/w=100/1700=0.059<0.1,因而不能使用公式2来计算楼梯的流量。
采用Fruin[5]提出的人均占用楼梯面积来计算通过楼梯的流量。
根据进入楼梯间的人数,取楼梯中单位宽度的人流量为0.5人/（m.s）,人的平均速度为0.6m/s,则下一层楼的楼梯的时间为13s。
这样从着火时刻算起,在第106.5s（60+24.3+9.2+13）时,着火的15号教室人员疏散成功。
以上这些数据都是在距离控制疏散过程范围之内得出的。
起火后120s,起火楼层其它两个教室（即11和13号教室）里的人员开始疏散。
在进入该层楼梯间之前,疏散的主要参数和起火教室中的人员的情况基本一致。
在129.2s他们中有人到达二层楼梯口,起火教室里的人员已经全部撤离二楼大厅。
因此,即将使用二楼楼梯间的人数p1为:
p1=100×2=200（人）（4）
此时f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口,从该时刻起,疏散过程由距离控制疏散过渡到由二楼楼梯间瓶颈控制疏散阶段。
由于p/w=200/1700=0.12,可以使用公式2计算二楼楼梯口的疏散流量f1,即:
?
/P>
0.27
0.73
f1=（3400/8040）×200=2.2人/s）（5）
式中的3400为两个楼梯口的总有效宽度,单位是mm。
而三、四层的人员在起火后180s时才开始疏散。
三层人员在286.5s（180+106.5）时到达二层楼梯口,与此同时四层人员到达三层楼梯口,第五层到达第四层楼梯口。
此时刻二层楼梯前尚等待疏散人员数p′1:
p′1=200-（286.5–129.2）×2.2=-146.1（人）<0（6）
所以，二层楼的人员已经全部到达一层
此后,需要使用二层楼梯间的人数p2:
p2=100×3=300（人）（7）
相应此阶段通过二楼楼梯间的流量f2:
0.27
0.73
f2=（3400/8040）×200=2.5（人/s）（8）
这┤送ü楼楼梯的疏散时间t1:
t1=300÷2.5=120（s）（9）
因为教学楼三、四、五层的结构相同，所以五层到四层，四层到三层和三层到二层所用的时间相等，因此人员的疏散在楼梯口不会出现瓶颈现象
所以,通过二楼楼梯的总体疏散时间T:
T=286.5+120×3=646.5（s）（10）
最终根据安全系数得出实际疏散时间为T实际:
T实际=646.5×（1.5～2）=969.75～1293（s）（11）
关于几点补充说明：
升级会员 