人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试题含答案.docx

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人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试题含答案

《第二十一章一元二次方程》单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　）

A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞1

2．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（　　）

A．4B．﹣4C．1D．5

3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．0

4．方程（x+1）2＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根

5．方程x2+2x+1＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根

6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）

A．x＝1﹣

B．x＝

C．x＝﹣1+

D．x＝

7．方程x2＝4x的根是（　　）

A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4

8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（　　）

A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3

9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（　　）

A．k＞﹣

B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4

10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．50（1+x）2＝182

B．50+50（1+x）2＝182

C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182

D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182

二．填空题（共8小题）

11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是　　．

12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是　　．

13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　　．

14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为　　．

15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　　．

16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为　　．

17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则

＝　　．

18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是　　．

三．解答题（共7小题）

19．解方程：

（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）

（2）2x2﹣x﹣3＝0．

20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？

如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．

22．已知：

关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．

23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．

（1）求平均年增长率？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？

24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．

（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；

（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？

25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九

（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：

（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；

（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：

共有多少名同学参加了研学游活动？

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　）

A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞1

【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m﹣1≠0，即可求得m的值．

【解答】解：

根据一元二次方程的定义得：

m﹣1≠0，即m≠1，

故选：

B．

【点评】此题考查一元二次方程，一元二次方程必须满足三个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．

（3）整式方程．

要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．

当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．

2．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（　　）

A．4B．﹣4C．1D．5

【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．

【解答】解：

方程整理得：

x2+4x+5＝0，

则一次项系数为4．

故选：

A．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．0

【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．

【解答】解：

把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，

而a+1≠0，

所以a＝1．

故选：

A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4．方程（x+1）2＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根

【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．

【解答】解：

由于（x+1）2＝0，

∴x+1＝0，

∴x1＝x2＝﹣1

故选：

B．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

5．方程x2+2x+1＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根

【分析】由原方程得出（x+1）2＝0，开方即可得．

【解答】解：

∵x2+2x+1＝0，

∴（x+1）2＝0，

则x+1＝0，

解得：

x1＝x2＝﹣1，

故选：

B．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程．

6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）

A．x＝1﹣

B．x＝

C．x＝﹣1+

D．x＝

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．

【解答】解：

∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，

∴方程有两个不相等的两个实数根，

即x＝

．

故选：

D．

【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：

①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

7．方程x2＝4x的根是（　　）

A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4

【分析】原式利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：

方程整理得：

x（x﹣4）＝0，

可得x＝0或x﹣4＝0，

解得：

x1＝0，x2＝4，

故选：

C．

【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（　　）

A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3

【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．

【解答】解：

设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．

【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．

9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（　　）

A．k＞﹣

B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，

∴k＞﹣

．

故选：

A．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．50（1+x）2＝182

B．50+50（1+x）2＝182

C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182

D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182

【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：

设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，

根据题意得：

50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．

故选：

D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是　2　．

【分析】把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得到关于a的一元一次方程，解之即可．

【解答】解：

把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得：

1﹣a+3﹣a＝0，

解得：

a＝2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．

12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是　

　．

【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．

【解答】解：

由题意得：

，

∴m＝1，

原方程变为：

﹣x2+2＝0，

x＝

，

故答案为：

．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．

13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤

且m≠0　．

【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，

则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．

解得m≤

且m≠0．

故答案为：

m≤

且m≠0．

【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．

14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为　﹣1　．

【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝﹣1，从而得到b的值．

【解答】解：

x2﹣6x+10＝0，

x2﹣6x＝﹣10，

x2﹣6x+9＝﹣1，

（x﹣3）2＝﹣1，

所以b的值为﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　x（x﹣1）＝110　．

【分析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x﹣1张贺卡，所以全组共送x（x﹣1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．

【解答】解：

设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：

x（x﹣1）＝110，

故答案为：

x（x﹣1）＝110．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键在于找出等量关系，列出方程．

16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为　20%　．

【分析】设每年投资的增长率为x，根据2015年及2017年市政府投资的钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：

设每年投资的增长率为x，

根据题意得：

5（1+x）2＝7.2，

解得：

x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

故答案为：

20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则

＝　3　．

【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1x2＝1，然后将

变形，再将x1+x2＝3，x1x2＝1代入即可．

【解答】解：

∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，

根据根与系数的关系有：

x1+x2＝3，x1x2＝1，

所以

＝

＝3．

故答案为：

3．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．

18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是　x＝3　．

【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方程的另一根．

【解答】解：

设方程的另一根为a，

∵x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，

∴2a＝6，解得a＝3，

即方程的另一个根是x＝3，

故答案为：

x＝3．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣

、两根之积等于

是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

19．解方程：

（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）

（2）2x2﹣x﹣3＝0．

【分析】

（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

【解答】解：

（1）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（2﹣3x）＝0，

x﹣3＝0或2﹣3x＝0，

所以x1＝3，x2＝

；

（2）（2x﹣3）（x+1）＝0，

2x﹣3＝0或x+1＝0，

所以x1＝

，x2＝﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？

如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

【分析】设两方程的公共根为a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值．

【解答】解：

假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则

①﹣②，得

a（m﹣2）+（2﹣m）＝0

（m﹣2）（a﹣1）＝0

∴m＝2或a＝1．

当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；

当a＝1时，代入②得m＝﹣3，

把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1．

故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．

【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数．

21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．

【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0，据此即可求解．

【解答】解：

根据题意得，|m﹣1|＝2，且m+1≠0，

解得：

m＝3，

答：

m的值为3．

【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．

22．已知：

关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解答】

（1）证明：

∵△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：

∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0，

∴x1＝2，x2＝k+1．

∵方程有一个根小于0，

∴k+1＜0，

∴k＜﹣1．

【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：

（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；

（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．

23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．

（1）求平均年增长率？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？

【分析】

（1）设平均年增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）由求出的年增长率确定出所求即可．

【解答】解：

（1）设平均年增长率为x，

根据题意得：

1500（1+x）2＝2160，

整理得：

（1+x）2＝1.44，

开方得：

1+x＝±1.2，

解得：

x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），

则平均年增长率为20%；

（2）根据题意得：

2160×（1+20%）＝2592（万元），

则2018年盈利2592万元．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．

24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．

（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；

（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？

【分析】

（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据2019年投入资金金额＝2018年投入资金金额×（1+增长率），即可求出结论．

【解答】解：

（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，

根据题意得：

1000（1+x）2＝1210，

解得：

x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．

答：

该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．

（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．

答：

该镇2019年预计投入资金1331万元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；

（2）根据数量关系，列式计算．

25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九

（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：

（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；

（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：

共有多少名同学参加了研学游活动？

【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：

（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．

【解答】解：

∵100×30＝3000＜3150，

∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．

设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：

x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，

解得x1＝35，x2＝45，

当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；

当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．

答：

共有35名同学参加了研学游活动．

【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．