现代控制理论习题解答(前五章)Word文件下载.doc

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（4）

在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。

此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。

（1）传递函数为：

状态空间表达式为：

（2）传递函数为：

（3）传递函数为：

（4）传递函数为：

3-1-5已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。

（1）

（2）

（3）（4）

此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。

结构图如图题3-1-5图1所示

题3-1-5图1

结构图如图题3-1-5图2（a）所示

题3-1-5图2（a）

或有

结构图如图题3-1-5图2（b）所示

题3-1-5图2（b）

（3）

结构图如图题3-1-5图3所示

题3-1-5图3

（4）

结构图如图题3-1-5图4所示

题3-1-5图4

3-1-6将下列状态方程化成对角标准型。

特征方程为：

。

特征值为：

系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为范德蒙矩阵。

变换阵：

线性变换后的状态方程为：

特征方程为:

设变换阵：

P=

由得

当时，取

系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为：

线性变换后的状态空间表达式为：

3-1-7将下列状态方程化成约旦标准型。

由得：

，

当时，由得：

，取

系统矩阵为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵为：

，，

3-1-8已知状态空间表达式，

（1）试用进行线性变换，变换矩阵求变换后的状态空间表达式。

（2）试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。

（2）证明：

变换后的系统矩阵为，输入矩阵为

特征值的不变性：

传递函数矩阵的不变性：

验证：

变换前的特征方程为：

变换后的特征方程为：

所以变换前后系统的特征值是不变的。

3-1-9已知两个子系统的传递函数矩阵分别为

，，试求两子系统串联后和并联后的传递函数矩阵。

（1）串联

在前，在后时

（2）并联

3-1-10已知离散系统的差分方程为

，求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。

根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为

其结构图如图题3-1-10图所示：

题3-1-10图

3-1-11已知离散系统的状态空间表达式为，，求系统的脉冲传递函数。

也可以直接写出。

3-1-12已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。

第二章状态空间表达式的解

3-2-1试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

由习题3-1-7（3）得将A阵化成约当标准型的变换阵P为

线性变换后的系统矩阵为：

（5）

为结构四重根的约旦标准型。

（6）

虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

或

3-2-2已知系统的状态方程和初始条件

（1）用laplace法求状态转移矩阵；

（2）用化标准型法求状态转移矩阵；

（3）用化有限项法求状态转移矩阵；

（4）求齐次状态方程的解。

（2）

由于，所以对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足的解，得：

再根据，且保证、线性无关，解得：

对于当的特征向量，由容易求得：

所以变换阵为：

即

3-2-3试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。

∴不满足状态转移矩阵的条件。

∴满足状态转移矩阵的条件。

由，得。

∴

3-2-4已知线性时变系统为，试求系统的状态转移矩阵。

取

3-2-5已知线性定常系统的状态方程为，初始条件为试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。

3-2-6已知线性定常系统的状态空间表达式为，已知状态的初始条件为，输入量为，试求系统的输出响应。

3-2-7线性定常系统的齐次方程为，已知当时，状态方程的解为

；

而当时，状态方程的解为，试求：

（1）系统的状态转移矩阵；

（2）系统的系数矩阵A。

3-2-8已知线性时变系统为，试求系统状态方程的解。

对任意时间t1和t2有

得：

所以有

第三章线性控制系统的能控性和能观性

3-3-1判断下列系统的状态能控性。

，所以系统完全能控。

前三列已经可使，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。

A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。

A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。

同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。

可以求一下能控判别阵。

，所以系统不完全能控。

3-3-2判断下列系统的输出能控性。

（1）

（2）

已知，，

前两列已经使，所以系统输出能控。

系统为能控标准型，所以状态完全能控。

又因输出矩阵C满秩，且输出维数m小于状态维数n，所以状态能控则输出必然能控。

2-3-3判断下列系统的能观性。

（1）；

（2）；

（3）；

已知

前三行已使，

所以系统完全能观（后续元素不必计算）。

所以系统完全能观。

状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。

状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。

同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。

也可求

所以系统不完全能观。

3-3-4设系统状态方程为，若、是系统的能控状态，试证状态也是能控的（其中α、β为任意常数）。

设：

因为，状态和能控，所以至少有

而由系统输出能控的判别阵得：

，（C阵又满秩）。

所以一定是能控的。

3-3-5设系统∑1和∑2的状态空间表达式为

（1）试分析系统∑1和∑2的能控性和能观性，并写出传递函数；

（2）试分析由∑1和∑2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；

（3）试分析由∑1和∑2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。

两个子系统既能控又能观。

（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）：

系统有下关系成立：

串联后的系统不能控但能观。

传递函数为：

（3）并联后的系统数学模型为：

并联后的状态空间表达式为：

并联后系统既能控又能观。

3-3-6已知系统的传递函数为

（1）试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；

（2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；

（3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。

系统的传递函数可以写成：

当1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。

在上述的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；

能控标准型为：

在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。

能观标准型为：

3-3-7已知系统的状态空间表达式为

试问能否选择常数、b、c使系统具有能控性和能观性。

在上述行列式中，无论、b、c如何取值，都有两行元素线性相关，则，。

在上述行列式中，无论、b、c如何取值，都有两列元素线性相关，则，。

所以，无论常数、b、c取何值，系统都不能控和不能观。

3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示，图中、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时、b、c、d应满足的条件。

题3-3-8图

系统状态空间表达式为：

系统能控的条件为：

系统能观的条件为：

3-3-9设系统的系数矩阵为

其中为实数。

试问系统能观的充要条件是什么？

要求用A、C中的参数具体表示。

3-3-10已知系统的状态空间表达式为

欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数应满足的关系。

A为友矩阵，且特征值互异，所以

显然，当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是：

当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是：

3-3-11设n阶系统的状态空间表达式为，试证：

（1）若Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-1b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。

（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-2b=0，CAn-1b≠0则系统总是又能控又能观的。

（1）以三阶系统为例：

所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。

（2）以三阶系统为例：

所以该系统既能控又能观。

3-3-12已知系统的微分方程为，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

因为

又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。

系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。

3-3-13已知系统的状态方程为，试求出它的能控标准型。

所以系统不能控，不存在能控标准型。

3-3-14已知系统的状态空间表达式为试求出它的能观标准型。

判系统的能观性：

所以系统能观。

方法之一：

①求变换阵

②设对原状态空间表达式做线性变换得：

方法之二：

依据特征多项式直接可以写出能观标准型的A，C阵。

，。

3-3-15已知系统传递函数为，试求能控标准型和能观标准型。

传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。

3-3-16已知完全能控系统的状态方程为，试问与它相应的离散化方程是否一定能控。

已知，

离散系统完全能控的条件为矩阵满秩。

而，所以系统是否能控，取决于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。

当时，离散化方程也是能控的。

3-3-17试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。

①按能控性进行结构分解

所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵。

按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

②按能观性进行结构分解

所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵。

按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

3-3-18试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。

（1）；

（2）。

系统的特征方程为：

化为对角标准型，其变换阵为：

化成对角标准型为：

可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。

其中为能控能观的状态变量；

为能控不能观的状态变量；

为不能控能观的状态变量；

为不能控不能观的状态变量

将上述方程按，，，的顺序排列，则有：

或写成

系统既能控又能观，无需分解。

3-3-19已知系统的微分方程为，试分别求出满足下列要求的状态空间表达式：

（1）系统为能控能观的对角标准型；

（2）系统为能控不能观的；

（3）系统为能观不能控；

（4）系统为不能控也不能观的。

传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。

设：

人为增加一对偶极子，得：

系统能控不能观的状态空间表达式为：

系统能观不能控的状态空间表达式为：

系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：

3-3-20已知系统的状态空间表达式为，利用线性变换，其中，对系统进行结构分解。

试回答以下问题：

（1）不能控但能观的状态变量以，，的线性组合表示；

（2）能控且能观的状态变量以，，的线性组合表示；

（3）试求这个系统的传递函数。

线性变换后系统的状态空间表达式为：

系统的特征方程为：

将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：

约当标准型为：

为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态不能控。

因为：

所以不能控但能观的状态变量

能控且能观的状态变量

线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传递函数：

3-3-21已知系统的传递函数矩阵为，

（1）求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；

（2）求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；

（3）用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。

系统状态图如题3-3-21图1所示。

题3-3-21图1

系统状态图如图题3-3-21图2所示。

题3-3-21图2

对角标准型为：

系统状态图如题3-3-21图3所示。

题3-3-21图3

3-3-22已知系统的微分方程为，试求该系统的最小实现。

由

（1）式-

（2）式和2×

（2）式-

（1）式得：

在零初始条件下，拉氏变换得：

系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。

3-3-23从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题3-3-23图中闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。

题3-3-23图

设开环系统的传递函数为，则开环系统能控且能观的条件是无零极点对消，即和无公因子。

而闭环系统的传递函数为。

①开环系统传递函数有零极点对消时，和有公因子，设为。

则闭环系统传递函数也有零极点对消，所以闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。

②开环系统传递函数没有零极点对消时，和没有公因子，则闭环系统传递函数也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性也是一致的。

第四章控制系统的稳定性

3-4-1试确定下列二次型是否正定。

二次型函数不定。

二次型函数为负定。

二次型函数正定。

3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

满足正定的条件为：

3-4-3试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

设

为半负定。

又因为时，有,

则，代入状态方程得：

.

所以系统在时，不恒为零。

则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。

所以系统不稳定。

3-4-4试确定下列系统平衡状态的稳定性。

方法一：

采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。

方法二：

采用第二方法，

因为1>

0，，，所以正定。

正定。

因为8>

为正定，所以系统在原点不稳定。

3-4-5设离散系统状态方程为，求平衡点渐近稳定时值范围。

时平衡点渐近稳定。

令

，设

所以

为正定，则时系统渐近稳定。

3-4-6设系统的状态方程为，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线边界上的一点到封闭曲线内一点的响应时间上限。

求矩阵，即

所以李氏函数为：

则

3-4-7试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。

（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：

系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。

（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：

系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。

3-4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数、的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。

结论：

系统在原点渐近稳定的充要条件是大于0,任意（同时还需满足题目要求）。

3-4-9试证明系统在时是全局渐近稳定的。

求平衡点:

结论，正定；

，负定，系统渐近稳定。

因为时，，所以系统又是大范围渐近稳定。

3-4-10试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点处为大范围渐近稳定时，参数和的取值范围。

系统在处渐近稳定的条件是负定。

而负定的条件为：

大范围渐近稳定的条件是：

时

而时，

所以系统大范围渐近稳定的条件是：

3-4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。

设

若选

满足旋度方程条件

当时，负定

而为正定。

当时，系统在平衡点渐近稳定。

3-4-12设非线性系统方程为

式中

试求系统原点稳定的充分条件。

由第一法，

稳定条件为：

由克拉索夫斯基法

为正定。

当时渐近稳定。

当时稳定。

3-4-13试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点处的稳定性。

结构如题3-4-13图所示。

题3-4-13图

当输入为零时，非线性系统方程可以写成

若取状态变量：

，那么系统的状态方程为：

（1）在处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似，取

则线性化状态方程为：

（2）取二次型函数作为系统的李氏函数，则有