数学与应用数学专业必修课程教学大纲西北师范大学数学与统计学院.docx

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数学与应用数学专业必修课程教学大纲西北师范大学数学与统计学院

数学与应用数学专业必修课程教学大纲

常微分方程

一、说明

（一）课程性质

分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。

在大量的实际问题中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式，即微分方程。

从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。

微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属性），它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程的重要基础。

微分方程是数学与应用数学专业的专业课之一，在第4学期开设。

（二）教学目的

掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的基础知识。

（三）教学内容

分5部分。

（1）微分方程的基本概念和初等积分法；

（2）微分方程的基本理论的建立；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换；（4）一阶线性方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5）定性理论和稳定性理论的初步知识；

（四）教学时数

54学时

（五）教学方式

讲授法，同时注重常微分方程基本理论和数学物理问题的密切结合。

二、本文

第一章初等积分法

教学要点

准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一阶方程的初等积分法：

变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。

教学时数

13学时

教学内容

第一节微分方程与解（2学时）

基本概念：

微分方程、阶、解与积分（通解与通积分，特解与积分）、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。

第二节变量可分离方程（1学时）

变量分离法。

第三节齐次方程（2学时）

齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。

第四节一阶线性方程（2学时）

一阶线性方程的解法—常数变易法与Bernoulli方程的解法；通过解的一般表达式讨论解的性质。

第五节全微分方程及积分因子（2学时）

全微分方程的解法和积分因子法、分项组合法。

第六节一阶隐式微分方程（2学时）

一阶隐式微分方程的微分消参法，特别是Clairaut方程的解法。

第八节几种可降阶的高阶方程（1学时）

几种可降阶的高阶微分方程的解法。

第九节一阶微分方程应用举例（1学时）

简介

考核要求

掌握微分方程的基本概念--微分方程、阶、解与积分（通解与通积分，特解与积分）等；掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方程的解法；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法；能够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程求解一些应用问题。

第二章基本定理

教学要点

解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。

教学时数

9学时

教学内容

第一节常微分方程的几何解释（1学时）

线素场、欧拉折线以及初值问题解的存在性。

第二节解的存在性与唯一性定理（3学时）

引进并详细证明解的存在唯一性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。

第三节解的延展（2学时）

介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的条件；介绍第一比较定理。

第四节奇解和包络（2学时）

奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线的定义以及奇解的求法

第五节解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（1学时）

介绍并证明解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。

考核要求

重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯一性定理的证明思想；熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。

第三章一阶线性微分方程组

教学要点

准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握Liouville公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。

教学时数

10学时

教学内容

第一节一阶微分方程组

一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

第二节一阶线性微分方程组的一般概念

一阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

注：

第一节与第二节共2学时

第三节一阶线性齐次方程组的一般理论（2学时）

建立线性齐次微分方程组的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville公式。

第四节一阶线性非齐次方程组的一般理论（1学时）

线性非齐次微分方程组的一般理论和常数变易法。

第五节常系数线性微分方程组的解法（5学时）

特征根法—理论证明与方法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。

考核要求

准确理解线性微分方程组的一般理论；熟练掌握Liouville公式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。

第四章n阶线性微分方程

教学要点

准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville公式、常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace变换；理解振动现象。

教学时数

14学时

教学内容

第一节n阶线性齐次微分方程的一般理论（3学时）

线性微分方程的解的存在唯一性定理及线性微分算子的性质；建立n阶齐次线性微分方程的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville公式并应用到2阶微分方程；n阶线性非齐次方程的通解结构定理与常数变易法。

第二节n阶常系数线性齐次微分方程解法（3学时）

用特征根法解常系数线性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。

第三节n阶常系数线性非齐次微分方程解法（3学时）

比较系数法的建立、理论证明、典型示例。

第四节二阶常系数线性方程与振动现象（2学时）

依据线性微分方程的解的表示解释振动现象。

第五节Laplace变换（2学时）

介绍Laplace变换以及如何应用Laplace变换求解一些常系数线性非齐次微分方程的Cauchy问题。

第六节幂级数解法大意（简介）（1学时）

考核要求

准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville公式、常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace变换；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。

第五章定性与稳定性理论简介

教学要点

二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；极限环的定义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。

教学时数

8学时

教学内容

第一节稳定性概念（1学时）

稳定性、渐近稳定性的概念以及相关例题。

第二节李雅普诺夫第二方法（2学时）

运用李雅普诺夫第二方法对零解的稳定性以及渐近稳定性的判定。

第三节平面自治系统的基本概念（1学时）

相平面、相轨线以及相图；平面自治系统的基本性质；常点、奇点与闭轨

第四节平面定性理论简介（4学时）

线性系统初等奇点附近的轨线分布—结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布；平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布；极限环的概念与举例。

考核要求

重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。

三、参考书目

1、东北师范大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年。

2、叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版）。

3、中山大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983年（第二版）。

4、国家教育委员会师范教育司，《普通高度师范学校数学教育专业（本科）教育教学基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994。

复变函数

一说明

（一）课程性质

复变函数论是现代数学的一个重要分支，主要研究解析函数的微分理论、积分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论；它的思想和方法已经渗透到数学的许多分支；它的结果已应用到科技的不少方面。

这门课是数学与应用数学专业基础数学和计算数学方向的基本必修课。

（二）教学目的

通过复变函数论的学习，培养学生能运用复分析的理论和方法去解决现代分析数学中基本问题的能力；学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的分析问题，深刻领会这些分析问题的本质特征及它们之间的联系；由此来统帅中学数数教材中的相关部分。

（三）教学内容

复变函数论主要讲述解析函数的微分理论、积分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论、以及相关的应用。

（四）教学时数

54学时。

（五）教学方式

课堂讲授。

二本文

第一章复数与复变函数

教学要点：

复平面、复数、模、辐角、共轭、区域、约当曲线、复函数、极限、连续的定义；复极限与实极限的关系；实函数与复函数的关系；复球面与无穷远点的意义。

教学时数：

4学时。

教学内容：

第一节复数（1学时）

主要讲授复数域，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，复数的共轭，几何应用等。

第二节复平面上的点集（1学时）

主要介绍平面点集的基本概念，区域与约当曲线。

第三节复变函数（1学时）

主要介绍复变函数的概念，复变函数的极限与连续。

第三节复球面与无穷远点（1学时）

主要介绍复球面，扩充复平面的几个概念。

考核要求：

要让学生识记复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、复数的共轭、区域与约当曲线；领会复变函数的概念、扩充复平面的几个概念；理解复变函数的极限与连续。

第二章解析函数

教学要点：

解析函数的基本概念；Cauchy-Riemann条件；解析函数的微分特征；初等解析函数；初等多值函数。

教学时数：

10学时。

教学内容：

第一节解析函数的基本概念与Cauchy-Riemann条件（2学时）

介绍复变函数的导数与微分，用Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征。

第二节初等解析函数（2学时）

介绍指数函数，三角函数，双曲函数。

第三节初等多值函数（6学时）

介绍根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，反三角函数与反双曲函数。

考核要求：

学生必须识记解析函数基本概念、Cauchy-Riemann条件；领会用Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征，指数函数、三角函数、双曲函数的基本性质；理解根式函数、对数函数产生多值性的原因，具有有限多个支点的初等多值函数的单值化计算。

第三章复变函数的积分

教学要点：

复积分的基本概念与计算；Cauchy积分定理；Cauchy积分公式；解析函数的无穷可微性；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理；解析函数与调和函数的关系。

教学时数：

10学时。

教学内容：

第一节定义与基本性质（2学时）

介绍复积分的基本概念；复积分的计算；复积分的基本性质。

第二节Cauchy积分定理（4学时）

介绍Cauchy积分定理；Cauchy积分定理的Gourat证明；不定积分；Cauchy积分定理的推广；复围线情形的Cauchy积分定理。

第三节Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性（4学时）

介绍Cauchy积分公式；解析函数的无穷可微性；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理。

考核要求：

学生必须识记并领会复积分的基本概念与计算；理解Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy不等式与Liouville定理、Morera定理、解析函数与调和函数的关系；可以综合应用所学的知识去解决简单复分析问题。

第四章解析函数的幂级数表示法

教学要点：

复级数的基本性质；幂级数；解析函数的Taylor展式；解析函数零点的孤立性；唯一性定理。

教学时数：

10学时。

教学内容：

第一节复级数的基本性质（2学时）

介绍复级数的定义；一致收敛的复数项级数；Weierstrass定理。

第二节幂级数（2学时）

介绍幂级数的敛散性；收敛半径的计算；幂级数和的解析性。

第三节解析函数的Taylor展式（2学时）

介绍Taylor定理；基本初等函数的Taylor展式。

第四节解析函数零点的孤立性与唯一性定理。

（4学时）

介绍解析函数零点的孤立性；唯一性定理；最大模原理。

考核要求：

学生必须识记并领会复级数的定义、一致收敛的复数项级数、解析函数的Taylor展式；理解Weierstrass定理、基本初等函数的Taylor展式、解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理；可以综合应用解析函数的Taylor展式、唯一性定理、最大模原理去解决一些简单的的复分析问题。

第五章解析函数的Laurent展式与孤立奇点

教学要点：

解析函数的Laurent展式；解析函数的孤立奇点；解析函数在无穷远点的性质；整函数与亚纯函数的概念。

教学时数：

10学时。

教学内容：

第一节解析函数的Laurent展式（3学时）

介绍解析函数的Laurent展式；解析函数在孤立奇点的Laurent展式。

第二节解析函数的孤立奇点（3学时）

介绍可去奇点；极点；本性奇点；Weierstrass定理与Picard定理；Schwarz引理。

第三节解析函数在无穷远点的性质（2学时）

介绍解析函数在无穷远点的Laurent展式；无穷远点为可去奇点、极点、本性奇点的判定。

第四节整函数与亚纯函数的概念。

（2学时）

介绍整函数与亚纯函数的概念。

考核要求：

学生必须识记并领会解析函数的Laurent展式、整函数与亚纯函数的概念；理解可去奇点、极点、本性奇点的判定（包括无穷远点）；理解Weierstrass定理、Picard定理、Schwarz引理；可以综合应用解析函数的Laurent展式、Weierstrass定理、Picard定理、Schwarz引理去解决一些简单的的复分析问题。

考核要求：

学生必须识记并领会复积分的基本概念与计算；理解Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy不等式与Liouville定理、Morera定理、解析函数与调和函数的关系；可以综合应用所学的知识去解决简单复分析问题。

第六章残数理论及其应用

教学要点：

残数定理；用残数定理计算实积分；辐角原理及其应用。

教学时数：

10学时。

教学内容：

第一节残数（3学时）

介绍残数的概念；残数定理；残数的求法。

第二节用残数定理计算实积分（5学时）

介绍用残数定理可以计算三种类型的实积分的计算；积分路径上有奇点的实积分的计算。

第三节辐角原理及其应用（2学时）

介绍对数残数；辐角原理；Rouche定理。

考核要求：

学生必须识记残数、整函数、亚纯函数的概念；领会解析函数在可去奇点、极点、本性奇点处残数的计算（包括无穷远点）；理解残数定理并熟练运用残数定理计算三种类型的实积分以及积分路径上有奇点的实积分的计；理解辐角原理、Rouche定理并熟练运用其判断简单的解析函数在围线内的零点问题；可以综合应用残数理论和辐角原理去解决一些简单的的复分析问题。

三参考书目

1钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，1988年5月第2版。

2庄圻泰，张南岳，复变函数，北京大学出版社，1984年4月第1版。

3余家荣，复变函数，人民教育出版社，1979年2月第1版。

4JohnB.Conway,FunctionsofOneComplexVariable,Springer-Verlag,NewYork,1978.

概率论与数理统计

一、说明

（一）课程性质

随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会科学与人们的日常生活中。

概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的一门学科，它有别于数学的其他分支，是一门应用性很强的学科。

该课程为数学与应用数学专业的专业核心课之一。

（二）教学目的

正确理解基本概念，准确掌握基本方法和基本结论。

注重培养学生对随机现象的理解和

概率直觉，从直观分析入手讲清楚概率统计中一些主要概念和方法产生的背景和思路，使学生对于实际事物中的随机性产生敏感、培养学生的概率统计直觉能力。

能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题。

（三）教学内容

第一章介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章引进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，并介绍多维随机向量极其概率分布；第三章介绍随机变量的数字特征；第四章是概率论与数理统计的连接界面，介绍抽样和抽样分布以及大数定律和中心极限定理；第五章讨论如何利用随机样本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准；第六章介绍利用样本对总体的特征进行检验的方法（假设检验）；第七章介绍回归分析、相关分析及方差分析。

（四）教学时数

72学时

（五）教学方式

讲授法，同时注意理论与实践相结合。

二、本文

第一章随机事件与概率

教学要点

有关基本概念的准确理解，有关古典概型和贝努里概型概率的计算，概率论中几个最基本的公式及其应用。

教学时数

14学时

教学内容

第一节随机试验和样本空间（2学时）

介绍试验、事件及样本空间等基本概念，讨论事件之间的各种关系及运算。

第二节概率的统计定义（1学时）

阐述频率与概率之间的关系，给出概率的统计定义

第三节古典概型和几何概型（3学时）

帮助学生理解古典概型和几何概型两种重要的概率模型，并给出应用实例。

第四节概率的公理化定义和概率的性质（2学时）

介绍概率的公理化定义，讨论概率的基本性质及其应用。

第五节条件概率全概率公式贝叶斯公式（3学时）

介绍条件概率及与条件概率有关的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式及应用。

第六节事件的独立性及其应用（2学时）

介绍独立性的概念和有关结论，并利用独立性来讨论系统的可靠性。

第七节贝努里概型（1学时）

讨论贝努里概型所应满足的条件，并介绍n重贝努里概型的应用。

考核要求

重点掌握随机事件、事件的概率、不相容、对立和独立性等基本概念，掌握概率的基本性质、两个概率模型及乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，熟练掌握事件与概率的有关运算。

第二章随机变量及其概率分布

教学要点

随机变量的分布列和分布函数的概念，常见离散型和连续型分布，二维随机变量的联合分布及独立性。

教学时数

14学时

教学内容

第一节随机变量（1学时）

介绍随机变量的概念和分类。

第二节一维离散型随机变量（4学时）

讨论一维离散型随机变量的分布列及其性质，介绍常见离散型分布。

第三节随机变量的分布函数（2学时）

介绍分布函数的概念和性质，并利用离散型随机变量的分布列确定分布函数。

第四节一维连续型随机变量（4学时）

连续型随机变量的概念，常见连续型分布——均匀分布、正态分布和指数分布。

第五节随机变量的函数及其分布（1学时）

介绍简单的随机变量函数的分布。

第六节二维随机变量及其联合分布（2学时）

重点介绍二维随机变量的联合分布、边际分布，联合密度函数和边际密度函数，并讨论随机变量的独立性。

考核要求

重点掌握一维随机变量的分布列和分布函数，掌握二维随机变量的联合分布和边际分布，熟练掌握分布列、分布函数的有关运算，熟练应用常见分布的分布列或分布函数解决一些实际问题，理解随机变量函数的分布。

第三章随机变量的数字特征

教学要点

期望、方差、相关系数等概念的准确理解，有关数字特征的计算。

教学时数

10学时

教学内容

第一节数学期望（2学时）

数学期望的概念、性质及计算公式，常见分布的数学期望。

第二节方差（2学时）

方差的概念、性质及计算公式，常见分布的方差。

第三节协方差和相关系数（4学时）

协方差和相关系数的概念、计算公式、性质和相互关系。

第四节其他数字特征切比雪夫不等式（2学时）

介绍矩、协方差矩阵的概念，引入并证明切比雪夫不等式。

考核要求

熟练掌握数学期望、方差的概念和运算，掌握协方差和相关系数的概念和运算。

准确理解切比雪夫不等式的概率意义，并能应用有关内容解决一些简单的实际问题。

第四章抽样分布和极限定理

教学要点

抽样分布定理和几种常用统计量，中心极限定理。

教学时数

6学时

教学内容

第一节总体与样本（1学时）

介绍总体、个体和简单随机样本的概念。

第二节统计量和抽样分布（2学时）

统计量的概念，常用统计量，正态总体场合的抽样分布定理。

第三节大数定律和中心极限定理（3学时）

介绍贝努里大数定律、切比雪夫大数定律和辛钦大数定律，讨论林德伯格——列维中心极限定理和得莫佛——拉普拉斯中心极限定理及其应用。

考核要求

重点掌握统计量和抽样分布定理，准确理解大数定律和中心极限定理，会使用中心极限定理解决一些具体问题。

第五章参数估计

教学要点

极大似然估计法的原理和应用，区间估计的基本方法，估计量优良性的标准。

教学时数

10学时

教学内容

第一节参数的点估计（3学时）

介绍点估计的定义，矩法估计和极大似然估计的原理和方法。

第二节估计量优良性的标准（2学时）

介绍估计量优良性的判断标准——无偏性、有效性和一致性。

第三节参数的区间估计（3学时）

置信区间的概念，正态总体场合对总体均值和方差的估计。

第四节单侧置信区间（2学时）

结合实际问题讨论一些单侧置信区间的计算方法。

考核要求

重点掌握极大似然估计的方法和几种常见情形的区间估计，掌握评价估计量优良性的标准，了解单侧置信区间的概念和计算。

第六章假设检验

教学要点

假设检验的基本原理和步骤。

教学时数

12学时

教学内容

第一节假设检验的基本概念（1学时）

假设检验的基本原理，统计假设，假设检验的两类错误。

第二节假设检验的基本程序（1学时）

给出假设检验的基本程序与步骤。

第三节单个正态总体参数的假设检验（4学时）

结合实际问题讨论三种常见场合总体参数的假设检验问题。

第四节两个正态总体均值差和方差比的假设检验（4学时）

讨论双正态总体场合均值差和方差比的假设检验问题。

第五节分布拟合检验（2学时）

介绍分布拟合优度检验的概念和方法。

考核要求

重点掌握假设检验的基本概念