六年级数学下册抽屉原理.docx

六年级数学下册抽屉原理.docx

《六年级数学下册抽屉原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级数学下册抽屉原理.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

六年级数学下册抽屉原理

抽屉原理

小学教师：

宁德富

　　【教学目标】

　　1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

　　2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

　　3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

　　【教学重、难点】经历“抽屉原理”的探究过程，理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

　　【教学过程】

　　一、问题引入。

　　师：

同学们，你们玩过抢椅子的游戏吗？

现在，老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿来？

　　1．游戏要求：

开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下。

　　2．讨论：

“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”这句话说得对吗？

　　游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。

　　引入：

不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学？

你知道这是什么道理吗？

这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。

　　二、探究新知

（一）教学例1

　　1．出示题目：

有4枝铅笔，3个盒子，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？

有几种不同的放法？

　　师：

请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？

（指名摆）根据学生摆的情况，师出示各种情况。

　　板书：

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），

　　问题：

4个人坐在3把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。

4支笔放进3个盒子里呢？

　　引导学生得出：

不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。

　　问题：

（1）“总有”是什么意思？

（一定有）

（2）“至少”有2枝什么意思？

（不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？

）

　　教师引导学生总结规律：

我们把4枝笔放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

这是我们通过实际操作现了这个结论。

那么，你们能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢？

　　学生思考并进行组内交流，教师选代表进行总结：

如果每个盒子里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

首先通过平均分，余下1枝，不管放在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。

　　问题：

把6枝笔放进5个盒子里呢？

还用摆吗？

把7枝笔放进6个盒子里呢？

把8枝笔放进7个盒子里呢？

把9枝笔放进8个盒子里呢？

……你发现什么？

（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

）

　　总结：

只要放的铅笔数盒数多1，总有一个盒里至少放进2支。

　　2．完成课下“做一做”，学习解决问题。

　　问题：

6只鸽子飞回5个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？

（1）学生活动—独立思考自主探究

（2）交流、说理活动。

　　引导学生分析：

如果一个鸽笼里飞进一只鸽子，最多飞进4只鸽子，还剩一只，要飞进其中的一个鸽笼里。

不管怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。

所以，“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。

　　总结：

用平均分的方法，就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。

（二）教学例2

　　1．出示题目：

把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

　　（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）

　　2．学生汇报，教师给予表扬后并总结：

　　总结1：

把5本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。

　　总结2：

“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到。

　　问题：

如果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

用“商+2”可以吗？

（学生讨论）

　　引导学生思考：

到底是“商+1”还是“商+余数”呢？

谁的结论对呢？

（学生小组里进行研究、讨论。

）

　　总结：

用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

　　师：

同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，“抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。

这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。

“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

下面我们应用这一原理解决问题。

　　（三）学生自学例题3并进行自主交流，试着用手中的用具模拟演示场景。

　　三、解决问题

　　四、全课小结

典型例题

　　【例题1】木箱里装有红色球2个、黄色球3个、蓝色球5个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

　　分析：

这是一道典型的“抽屉原理”的题目，在解决问题时，关键是要注意球的颜色种类以及要取出几个相同颜色的球，也就是“抽屉”的数量是“3”个（颜色），以及至少一个“抽屉”有“2”个（同色的球），至于球的整体个数这里是不需要考虑的。

因此，答案就是3＋1＝4，最少要取出4个球才能保证取出的球中有两个球的颜色是相同的。

　　教学建议：

教师在讲解该题时，可以用相关问题加深学生对原理的理解：

　　1．各种颜色的球数量增加对题目有影响吗？

　　2．如果要求“保证取出的球中有三个球的颜色相同或者四个球的颜色相同”，则最少要取出几个球？

　　3．如果要求“保证取出的球中有三个黄色球”，则最少要取出几个球？

　　【例题2】一幅扑克牌有54张，去掉大小王牌之后最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的花色？

　　分析：

这是一道典型的“抽屉原理”的题目，在解决问题时，关键是要注意牌的花色种类以及要取出几个相同花色的牌，也就是“抽屉”的数量是“4”个（颜色），以及至少一个“抽屉”有“3”个（同花色的牌），因此，答案就是4×（3－1）＋1＝9（张）或者4＋4＋1＝9（张），最少要取出9张牌才能保证取出的牌中有三张花色是相同的。

习题精选

　　1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

　　2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？

　　3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。

试证明：

必有两个学生所借的书的类型相同

　　4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。

试证明：

一定有两个运动员积分相同。

　　5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

　　6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？

　　7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

　　8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？

　　9．从1，3，5，……，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。

　　10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。

如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。

　　11．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？

　　12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。

规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?

　　13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？

　　答案：

　　1．为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。

　　2．最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。

　　3．证明：

A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是：

　　因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况，因此必有两个学生所借的书的类型相同。

　　4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。

即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同，因为没有全胜，则运动员的积分就有48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运动员需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾，所以假设“没有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同。

　　5．至少有9名同学所拿的球种类是一致的。

　　6．则参赛男生46人。

　　7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

　　8．至少把这些水果分成了5堆。

　　分四种情况：

　　9．至少选出51个数，其中必有两个数的和是100。

　　10．46乘客带苹果。

　　11．提示：

分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷（0＋1＋2＋……＋100）＝2……1，则至少有3人得分相同。

　　12．至少有335个人游览的地方完全相同。

　　13．则至少有5人植树的株数相同。

单元测试

　　1．一天，颐和园知春亭中有6位游客.请证明：

他们之中必有三名互相认识或者互相不认识。

　　2．用红、黑两种颜色将一个2×9的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：

至少有3列小方格中染的颜色完全相同。

　　3．用红、白、黑三种颜色给一个3×n的长方形中的每一个小方格随意染上一种颜色.n至少为多少时，才能保证至少有两列染色方式完全一样？

　　4．口袋中放有足够多的红、白、蓝色的球，现有31个人轮流从中取球，每人取三个。

证明：

至少有4个人取出的球的颜色完全相同。

　　5．六个小朋友每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：

至少有2个同学有相同数量的书。

　　答案：

　　1．分析：

这是一个典型的抽屉原理的问题，因为两个人只有“认识”和“不认识”两种情况，也就是说，6个人（A、B、C、D、E、F），每一个人和其他5个人出现的情况分别属于“认识”和“不认识”两类（用两种颜色的线表示），因此，就会有一个人（A）与3个人（B、C、E）都不认识或都认识，假设有A这个人与B、C、E这3个人都不认识，我们再看这3个人（B、C、E）的关系，其中任何两个人不认识都使证题成立，如B、E两个人不认识，那么A、B、E这三个人的关系使得证题成立，如果没有任何两个人认识，则B、C、E这三个人的关系也使得证题成立。

　　2．证明：

用红色和黑色给2×9的小方格染色，我们以列为单位，每列出现的染色情况有：

　　（红黑）、（红红）、（黑红）、（黑黑）4种情况，因为是9列小方格，根据9÷4＝2……1，由“商＋1＝3”，可以知道至少有3列小方格中染的颜色完全相同。

　　3．分析：

用红、白、黑色给3×n的小方格染色，我们以列为单位，每列出现的染色情况有27种，因此至少应该有27＋1＝28列时，可以保证至少有两列染色方式完全一样。

即n＝28。

　　4．证明：

由于口袋中有足够多的红、白、蓝球，因此取出三个球的情况可能有下面10种：

　　（红红红）、（白白白）、（蓝蓝蓝）、（红红白）、（红红蓝）、（白白红）、（白白蓝）（蓝蓝红）、（蓝蓝白）、（红白蓝）。

一共31个人。

由31÷10＝3……1，根据“商＋1＝4”可以知道，至少有4个人取出的球的颜色完全相同。

　　5．这道题目可以采用反证法进行证明。

　　证明：

假设六个小朋友手中书的数量不相同，因为每人至少有1本书，则至少需要书的数量就是：

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（本）

　　而实际只有20本书，也就是说假设不成立，因此至少有2个同学有相同数量的书。

狄利克雷

狄利克雷（1805～1859）

Dirichlet，PeterGustavLejeune

　　德国数学家。

对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。

1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。

中学时曾受教于物理学家G.S欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。

回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。

1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

　　在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。

1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。

　　在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。

1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。

1837年，他构造了狄利克雷级数。

1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。

1846年，使用抽屉原理。

阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。

　　在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。

1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。