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概率学案
第三章概率
3.1随机事件的概率
3.1.1随机事件的概率
知识梳理
1.事件的概念及分类
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________，称事件A出现的比例fｎ（A）=_________为事件A出现的_________。
3．概率
（1）含义：
概率是度量随机事件发生的_________的量。
（2）与频率联系：
对于给定的随机事件A，事件A发生的_________随着试验次数的增加稳定于_________，因此可以用频率_________来估计_________。
（3）范围：
从定义中，可以看出随机事件A的概率P（A）满足_________，这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足0《m《n，所以0《
《1。
当A是必然事件时，P（A）=________，当A是不可能事件时，P（A）=________。
思考探究：
1、如何判断一个事件中哪类事件？
2、“频率”与“概率”之间有何区别与联系。
自主测评：
1、下面的事件：
①掷一枚硬币，出现反面；②异性电荷相互吸引；③3+5>10。
是随机事件的有（）
A.②B.③C.①D.②③
2、下列事件：
①明天阴天；②若x+2=i2，则x=2;③奥巴马当选美国下届总统；④若x∈R，则x2+2r+2≥l.其中随机事件的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
3、下列说法正确的是（）
A、任何事件的概率总在（0，1）内
B、频率是客观存在的，与试验次数无关
C、概率是随机的，在试验前不能确定
D、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
4、数学测试后，成绩统计显示全班50名同学中，有10名同学的分数在90分以上。
若设"分数在90分以上"为事件A，则事件A发生的频率为_________。
典例探究突破
类型一：
事件类型的判断
例1：
在下列事件中，哪些是必然事件？
哪些是不可能事件？
哪些是随机事件？
①如果a，b都是实数，那么a+b=b+a；
②从分别标有1，2，3，4，5，6的6张号签中任取一张，得到4号签；
③没有水分，种子发芽；
④某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；
⑥同性电荷，相互排斥。
变式训练：
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件。
（1）中国北方立春以后，不下雪.
（2）"神枪手"射击一次，中靶.
（3）掷10枚硬币，正面皆朝上.
（4）没有水分,种子发芽.
（5）在地球上，向上抛一块砖头，砖头落地.
（6）信奉道教的人长生不老.
（7）若|a|>2，则a>2.
类型二试验结果分析
例2：
指出下列试验的结果：
（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个袋子中任以2个小球；
（2）从1，3，6，10四个球中任取两个数（不重复）作差。
类型二：
频率与概率的理解及应用
例3：
李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分〜89分
182
70分〜79分
260
60分〜69分
90
50分〜59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）：
（1）90分以上；
（2）60分〜69分；（3）60分以下。
变式训练：
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：
每批粒数n
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数m
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
（1）计算表中每批油菜籽发芽的频率（结果保留到小数点后三位）；
（2）任取一粒油菜秄，在相同条件下发芽的概率是多少？
课时作业：
1、选择题（每小题5分，共20分）
1、从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）
A.3个都是正品B.至少有1个是次品
C.3个都是次品D.至少有1个是正品
2、下列说法：
1频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
2做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率
就是事件的概率；
3百分率是频率，但不是概率；
4频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
5频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
其中正确的是（）
A.①②③④B.①④⑤C.①②③④⑤D.②③
3、下列事件中，随机事件是（）
A、向区间（0,1）内投点，点落在（0,1）区间
B、向区间（0,1）内投点，点落在（1,2）区间
C、向区间（0.2）内投点，点落在（0,1）区间
D、向区间（0,2）内投点，点落在（-1,0）区间
4.某人将一枚硬币连掷了10次，正面向上出现了6次，若用A表示正面向上这一事件，则A的（）
A.概率是
B.频率是
C.频率为6D.概率接近0.6
2、填空题（每小题5分，共10分）
5、①某地3月6日下雨；
2函数:
在定义域上是减函数；
3实数的绝对值小于0;|
4
5某人射击8次恰有4次中靶。
其中必然事件是________，不可能事件是________,随机事件是________•
6.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了
________次试验.
3、解答题（每小题10分，共30分）
7.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）计算表中击中耙心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中耙心的概率约是多少？
8.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分。
然后作了统计，下表是统计结果。
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率。
3.1.2概率的意义
知识梳理
1、对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有________，认识了这种随机性中的________，就能比较准确地预测随机事件发生的________.
2、游戏的公平性
（1）裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为________，所以这个规则是________的.
（2）在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是________的这一重要原则。
3、决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么"________"可以作为决策的准则。
这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
4、天气预报的概率解释
天气预报的"降水"是一个________，"概率为90%"指明了"降水"这个随机事件发生的________为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也________，因此，"昨天没有下雨"并不能说明"咋天的降水概率为90%"的天气预报是________的.
5、孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种________规律。
思考探究
同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？
自主测评
1、下列说法正确的是（）
A、某事件发生的频率为
B、小概率事件就是不可能事件.大概率事件就是必然事件
C、某事件发生的概率随试验次数的变化而变化
D、连掷3次硬币，可能3次正面均朝上
2、设某厂产品的次品率为2%.则该厂8000件产品中合格品可能为（）
A.160件B.78W件C.7998件D.7800件
3、每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题，某人说：
"每个选择支正确的概率是
，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确"这句话（）
A.正确B.错误C.不一定D.无法解释
4、某射击教练评价一名运动员时说：
"你射中的概率是90%."你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为_________。
1该射击运动员射击了100次.恰有90次击中目标；
2该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%。
典例探究突破
类型一：
概率意义的理解
例1（12分）如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于
，这种理解正确吗？
类型二：
等概率事件与游戏公平性的判断
例2：
如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1.2.3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4.5.6四个数字。
有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：
自由转动转盘A与B。
转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加.如果和是6,那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？
如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
变式训练：
有一个转盘游戏.转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，游戏规则如下：
两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，猜数方案从以下三种方案中选一种：
A.猜"是奇数"或"是偶数"
B.猜"是4的整数倍数"或"不是4的整数倍数"
C.猜"是大于4的数"或"不是大于4的数"。
请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？
为什么？
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案，为什么？
类型三：
概率的实际应用
例3：
一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球，从箱中抽到白球的概率是99%，抽到黑球的概率是1%，现在随机取出一球.你估计这个球是白球还是黑球？
变式训练：
某校共有学生12000人，学校为增强交通安全意识，准备随机抽查12名学生参加测试，其中有部分学生认为他被抽查到的概率是
，不可能抽査到他，所以不想准备交通安全知识参加应试，你认为他的做法对吗？
课时作业：
一、选择题（每小题5分，共20分）
1、"某彩票中奖概率为
意味着（）
A、买1000张彩票就一定能中奖
B、买1000张彩票中一次奖
C、买1000张彩票一次奖也不中
D、买彩票中奖的可能性为^
2、已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是
A、合格产品少于9件B、合格产品多于9件
C、合格产品正好是9件D、合格产品可能是9件
3、根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：
0型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选一人，
那么能为病人输血的概率为（）
A、50%B、15%C、45%D、65%
4、从16个同类产品（其中有14个正品，2个次品）中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是（）
A、三个都是正品
B、三个都是次品
C、三个中至少有一个是正品
D、三个中至少有一个是次品
5、掷一颗骰子，骰子落地时向上的数是偶数但不是3的倍数的概率是________.
6、玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说:
"拿一个飞镖射向如图所示的耙中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步".你认为这个游戏规则公平吗？
答：
_________.
7、掷一枚骰子，出现"6点"的概率是
，是指一枚骰子掷6次，恰出现一次6点吗？
如果不是，应如何理解？
8、某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
（1）这种鱼卵的孵化概率（孵化率）是多少？
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需备多少个鱼（精确到百位）
3.1.3概率的基本性质
知识梳理
1、事件的关系与运算
定义
事件的关系
包含
关系
一般地，对地事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B_______，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
_______（或_______）
事件
互斥
若
为_______（
），那么称事件A与事件B互斥
若______，则A与B互斥
事件
对立
若
为______，
为_______，那么称事件A与事件B互为对立事件。
若
=
，且
则A与B对立
并事件
若某事件发生当且仅当______，则称此事为事件A与事件B的并事件（或和事件）
______（或______）
交事件
若某事件发生当且仅当______，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
______（或______）
2、概率的向个基本性质
（1）概率的取值范围为_______。
（2）_______的概率为1，_______的概率为0。
（3）概率加法公式为：
如果事件A与B为互斥事件，则P（
）=_______。
特例：
若A与B为对立事件，则P（A）=_______，P（
）=_______，P（
）=_______
思考探究：
1、如何判定互斥事件与对立事件？
2、如何应用互斥事件的概率加法公式解题的步骤是什么？
自主测评：
1、事件A与B是对立事件，且P（A）=0.6,则P（B）等于（）
A.0.4B.0.5C.0.6D.1
2、把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1
张，事件"甲分得红牌"与事件"乙分得红牌"是（）
A.对立事件B.不可能事件
C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对
3、给出以下结论：
（1）互斥事件一定对立；
（2）对立事件一定互斥；
（3）互斥事件不一定对立；
（4）事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
（5）事件A与B互斥，则有P（A）=1—P（B）.
其中正确命题的个数为（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.在掷骰子的游戏中，向上的数字是3或4的概率为___________
类型一：
事件的关系的判定
例1：
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。
（1）恰有一名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生.
变式训练：
判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10）中任取一张。
（1）"抽出红桃"与"抽出黑桃"；
（2）"抽出红色牌"与"抽出黑色牌"；
（3）"抽出的牌的点数为5的倍数"与"抽出的牌的点数大于9"。
类型二：
事件的运算
例2：
（12分）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A={3个球中有1个红球,2个白球}，事件B={3个球中有2个红球，1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}。
问
（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
例3：
在数学考试中，小明的成绩在90分及以上概率是0.18，在80-90分的概率是0.51,在70-79分的概率是0.15,在60-69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07。
计算：
（1）小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率；
（2）小时考试及格的概率。
变式训练：
甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢。
（1）若以A表示和为6的事件，求P（A）
（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？
为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？
说明理由。
课时作业：
1、下列说法正确的是（）
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比/\、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A.至少有1个白球和都是白球
B.至少有1个A球和至少有1个红球
C.恰有1个白球和恰有2个白球
D.至少有1个白球和都是红球
3、—个人打耙时连续射击两次，事件"至少有一次中靶"的互斥事件是（）
A.两次都中靶B.两次都不中耙
C.只有一次中耙D.至多一次中耙
4、在一次随机试验中.彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3.则下列说法正确的是（）
A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件
5、在10件产品中有8件一级品和2件二级品，从中任取3件.记"3件全是一级品"为事件A,则事件A的对立事件为___________。
6、由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.30
0.10
0.04
则至多有2人排队的概率是____________.
7、从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球.判断下列每对事件是否为互斥事件.是否为对立事件。
（1）"取出2只红球和1只白球"与"取出1只红球和2只白球"'
（2）"取出2只红球和]只白球"与"取出3只红球"：
（3）"取出3只红球"与"取出3只球中至少有1只白球"；
（4）"取出3只红球"与"取出3只球中至少有1只红球".
8、一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个A球、1个绿球。
从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率：
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率。
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