全等三角形中的热点问题.docx
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全等三角形中的热点问题
全等三角形中的热点问题
一：
条件开放与探索
给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是惟一的，这样的问题是条件开放性问题。
它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追求，多途寻求，这类题常以基础知识为背景加以设计而成，主要考查解题者对基础知识的掌握程度和归纳能力。
例1、（2005年玉溪）．如图8，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）。
解：
∠B＝∠D或∠C＝∠E或AC＝AE
例2、（2005年长沙）．如图，AB＝AC，要使
，
应添加的条件是____________（添加一个条件即可）
解：
AD=AE或∠B=∠C或∠ADC=∠AEB
例3、（2005年金华）
如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。
（1）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。
你添加的条件是：
___________
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：
______________（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
提示：
（1）∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD，证明略；
（2）△ADC≌△AEC
例4（2005年福州课改卷）
已知：
如图7，点C、D在线段AB上，PC＝PD。
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。
提示：
所添条件为：
∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）
全等三角形为：
△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）
证明：
（略）
二：
结论开放与探索
给定问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断，甚至要求解题者探索条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性的问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力
例5（2005年安徽）.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?
并任选其中一对给予证明.
解：
图中有3对全等三角形，分别：
△ABF≌△DEC。
△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC。
证明：
∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，
又∵AB=DE,AF=DC，
∴△ABF≌△DEC。
例6（2005年宁波）.如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.
E
A
G
D
F
H
C
B
提示：
△AGC≌△AFB。
△AGF≌△DFD。
△HBF≌△HDC。
△AFC≌△ADB。
证明略
例7．（2005年常州）
如图，已知
为等边三角形，
、
、
分别在边
、
、
上，且
也是等边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，
并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？
写出变化过程．
提示：
（1）AE=BF=CD；AF=BD=CE；证明：
（略）
（2）绕E、D、F进行旋转，然后对折。
例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？
并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在
（1）中得到的结论还成立吗？
简要说明理由.
解：
（1）BE=CF.
证明：
在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.
∴BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF
例9．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：
△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．
证明：
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，
在△AFC和△DEB中，
∵AC＝DB，∠A＝∠D，AF＝DE，
∴△AFC≌△DEB．
例11．如图
（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：
AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图
（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？
请说明理由．
提示：
可证△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，
∵∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CE．
图
（2）（3）（4）（5）四种情况，结论AC1⊥C2E仍然成立，证明同上．
例12．已知如图
（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：
（1）BD＝DE＋CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到
（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?
请予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时，（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?
请直接写出结果，不须证明．（4）归纳
（1）、
（2）、（3），请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．
证明：
（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE（已知），∴∠BDA＝∠AEC＝90°（垂直定义）
∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD（同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE（全等三角形的对应边相等）
∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE，
∴BD＝CE＋DE．
（2）BD＝DE－CE，证明方法与
（1）相同．
（3）BD＝DE－CE．
（4）归纳
（1）
（2）（3）可知结论表述为：
当B、C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE；
说明：
本题考查动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律，再运用几何知识予以证明．
22．（本题6分）如图，在10×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1．将△ABC向右平移4个单位，得到△A'B'C'，再把△A'B'C'绕点A'逆时针旋转90°，得到△A'B"C"．请你画出△A'B'C'和△A'B"C"（不要求写画法）．
22．如图所示，正确画出AA'B'c'
正确画出△'B"C"
（说明：
若画出的AA'B'C'，的位置不正确，但在△'B'C'的基础上画出正确的△A’B"C"得3分）
三：
策略开放与探索
策略开放性问题，一般指解题者发不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不因循守旧，不墨守成规，善于标新立异，追求一题多解，同时给解题者以广阔的思维空间，通过积极思考，创新求索、探索解题策略和思路，活用解题思路和方法，优化解题方案和过程。
例13（2005年十堰课改卷）如图，已知△ABC，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。
增加的条件为：
已知：
求证：
证明：
增加条件为BD=CE。
结论为∠B=∠C。
证明：
在Rt△BEC和Rt△CDB中
∵BD=CEBC=BC；
∴Rt△BEC≌Rt△CDB。
∴∠B=∠C
例14．（2005年扬州）如图，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明。
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
已知：
求证：
证明：
提示：
答案不唯一，如已知：
①②④；求证：
③或已知：
①③④；求证：
②。
24（2005年漳州）．如图，给出五个等量关系：
①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。
请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以证明。
27．（本题9分）
如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE．给出下列五个关系式：
①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．
（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：
如果×××，那么××），并给出证明：
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；
（3）加分题：
真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写出一个真命题就给你加1分，最多加2分．
27．解：
（1）如果①②③，那么④⑤
证明：
如图，延长AE交BC的延长线于F
∵AD∥BC∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF，DE=EC∴△ADE≌△FCE
∴AD=CF，AE=EF
∵∠l=∠F，∠1=∠2．∠2=∠F
∴AB=BF∴∠3=∠4
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB
（说明：
其它真命题的证明可参照上述过程相应给分）
（2）如果①②④，那么③⑤
如果①③④，那么②⑤
如果①③⑤，那么②④
（3）若
（1）
（2）中四个命题含假命题（“如果②③④，那么①⑤’’），则不加分；若（3）中含假命题，也不加分．
21-（本题满分8分）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．
21．证明：
条件①AE=ADAB=AC②AB=AC∠B=∠C③AE=AD∠B=∠C
例15如图，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，试探究：
BE与DF是否相等？
．
剖析：
欲证BE＝DF，需证△ABE≌△CDF，要证这两个三角形全等．已经具备了两组条件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再证∠A＝∠C即可．那么再观察∠A、∠C还是哪两个全等三角形的对应角．
由条件AD＝CB，AB＝CD，很明显看出，若连结BD，那么△ABD与△CDB全等的条件已经具备，结论即可得证．
解：
相等。
理由：
连结BD在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
∵AD＝CB、DE＝BF（已知），∴AD＋DE＝CB＋BF，即AE＝CF．
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．
说明：
（1）在解决有关问题时，经常遇到已知条件与结论无法沟通的状况，这时，便需添加辅助线，创造条件，为推出结论服务．
（2）利用全等三角形证明线段相等或角相等，常需添辅助线构造三角形，构造时有下面两种情况：
①待证的线段或角，在图形上不在两个可能全等的三角形中，需添辅助线构造三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角；②有些条件具备的全等三角形，图形中没能直接显示出来，需添辅助线才能发现，如本题中的△ABD和△CDB．
例16．已知：
如图，AB＝AC，DB＝DC，
（1）若E、F、G、H分别是各边中点，求证：
EH＝FG．
（2）若连结AD、BC交于点P，问AD、BC有何关系？
证明你的结论．
解：
（1）证明：
连结AD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD．
在△BEH和△CFG中，
∴△BEH≌△CFG
∴EH＝FG．
（2）AD垂直于BC，且平分BC，
设AD、BC交于P．
由
（1）得∠BAP＝∠CAP，
易证△BAP≌△CAP，∴PB＝PC，∠APB＝∠APC，
又∠APB＋∠APC＝180°，
∴∠APB＝90°，故AD⊥BC且AD平分BC
说明：
（1）全等三角形除可得到等角、等边，还可根据等角、等边进一步推出图形还具有的一些性质，如两线平行，两线垂直，此例中第一次全等为第三次全等提供了条件．由此可以看出全等三角形这一知识所起的工具性作用．
（2）通过前面的学习我们可以看到，在有关全等三角形证明的问题中，常常涉及到以下两类基本图形：
第一类是有关角的，如图，这三个图形的共同特征是两个三角形的一组对应角有“公共部分”．
第二类是关于边的，如图．
这三个图形的共同特征是两个三角形的一组对应边有“公共部分”．
熟练掌握这些基本图形的特征，并能从比较复杂的图形中分离出这些基本图形，充分利用公共边或公共角的关系，能帮助我们很快找到证明思路．
例18．某温室有一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图的阴影部分，你对图中作哪些数据度量后，就可到建材门市部裁剪符合规格的三角玻璃，并说明其中的道理。
提示：
度量∠ABC，∠DCB和线段BC，两角和夹边确定了三角形的形状和大小
例19．如图，已知：
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：
过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？
请给出证明。
19．
（1）证△BAE≌△CAF；
（2）EF=BE－CF。
例19已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，动手制作一个简单工具，利用三角形全等，求出AB．
点拨：
对于AB，是内孔的直径，无法直接测得，而作垂直也不容易，则可利用SAS的取中点的方法，这样就让人联想到剪子、钳子一类的东西，可用此方法测AB如图所示．
解：
可设计如图5－70所示的类似钳子的工具，则CD的长就是A、B间的距离．
AB＝a－2x．
四：
情景开放与探索
给出问题的实际情景，要求解题者建立数学模型，寻求切合实际的多种途径，解决实际问题，或运用数学设计各种方案提供决策依据。
这类问题我们称之为情景开放性问题，它常常以实际情景或现实生活为背景，涉及社会生产、科技、经济以及数学本身等各个方面，解答这类问题的本身就是创新，让同学在创造中养成应用数学意识。
例20如图，A，B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长．你能帮她设计测量方案吗?
如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理．
点悟：
找到一根足够长的绳子就可以直接测量，如果没有足够长的绳子，我们在湖岸上构造出全等三角形，把AB“搬”到陆地测量，短绳子多量几次也就可以了．
解法一：
能．
测量方案：
（1）先在陆地取一点可以直接到A点和B点的点C；
（2）连结AC并延长到点D，使CD＝CA；
（3）连结BC并延长到点E，使CE＝CB；
（4）连结DE，并测出它的长度．
∴如图5—105中，DE的长度就是A、B间距离．
理由：
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴AB＝DE．
解法二：
能．
测量方案：
（1）在AB的垂线AF上取两点C、D，使CD＝AC；
（2）过点D作AF的垂线DG，并在DG上取一点E，使点B，C，E在同一条直线上；
（3）这时测得DE的长，就是A、B间的距离．如图所示．
理由：
连结B、C、E，
∵点B、C、E在同一条直线上，
∴∠1＝∠2，
∵AB⊥AF，DG⊥AF，
∴∠BAC＝90°＝∠GDC．
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
∴AB＝DE．
解法三：
能．
测量方案：
（1）派一名同学戴一顶太阳帽，在A点立正站好；
（2）让该同学自己调整帽子，使视线通过“帽檐”正好落在湖对面的B点；
（3）该同学转过一个角度，保持刚才的姿态，“帽檐”不动，这时再望出去，仍让视线通过“帽檐”，视线所落的位置为C点；
（4）连结AC，测出AC的长，就是A、B间的距离．如图所示是侧面示意图．
理由：
根据测量知：
∠BDA＝∠CDA
∵DA⊥BC，
∴∠DAB＝∠DAC＝90°．
在△ADB和△ADC中
∴△ADB≌△ADC（ASA）．
∴AB＝AC．
点拨：
生活中的实际问题的解决办法往往不止于一种，具体选用方法时，应考虑具体情况，同样是利用三角形全等测距离，解法三较简易，但是要重复2～3次后求平均数，以避免较大的误差．
例21某铁路施工队在建设
铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？
说明道理．
点拨：
A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB的长．
解：
方法：
可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。
连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：
∴△AOB≌△DOE（SAS）
∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．
例22（2005年河南课改卷）、如图是一条河，点A为对岸一棵大树，点B是该岸一根标杆，且AB与河岸大致垂直，现有如下器材：
一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A、B两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。
点拨：
直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：
得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．
解：
方法：
在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．
理由：
∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°
∴△ABC≌△FDC（ASA）
∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．
注意：
要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．
例23如图所示，河里有一条小船A，在岸边定一线段BC，再定出两条射线BA′和CA′，使∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，于是量A′B的长，就知道船跟岸边B点的距离AB的长，为什么?
提示：
证△BCA′≌△BCA，得A′B＝AB．
例24．（2005年淮安市金湖实验区）
已知：
如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE=900，试以图中标有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．
解：
第一种：
连结CD、BE，得：
CD=BE。
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，AC=AE
∠CAB=∠EAD；
∴∠CAD=∠EAB；
∴△ABE≌△ADC。
∴CD=BE。
第二种：
连结DB、CE得：
DB∥CE，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE，
∴∠ADB=∠ABD，∴∠BDF=∠FBD
同理：
∠FCE=∠FEC，
∴
∠FCE=∠DBF，
∴DB∥CE。
第三种：
连结DB、AF；得AF⊥BD，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE=90°。
又AF=AF，∴△ADF≌△ABF，
∴∠DAF=∠BAF。
∴AF⊥BD。
第四种：
连结CE、AF；得AF⊥CE，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，AC=AE
∠ABC=∠ADE=90°。
又AF=AF，∴△ADF≌△ABF，
∴∠DAF=∠BAF，∴∠CAF=∠EAF。
∴AF⊥BD。
例25．（2005年南京）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。
此时，M是线段PQ的中点。
如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。
点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，
点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5
与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。
对称
中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循
环。
已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。
提示：
P2（1,-1）P7（1,1）P100=（1,-3）
例26（2005年沈阳）．
如图6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
如图6，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标；
⑶图7是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！
注：
方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度.
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