立体几何83高考数学江苏专用讲义.docx

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立体几何83高考数学江苏专用讲义

§8.3　直线、平面垂直的判定与性质

考情考向分析

　直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．

1．直线与平面垂直

（1）定义

如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面

⇒l⊥α

性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

（1）定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

（2）范围：

.

3．平面与平面垂直

（1）二面角的有关概念

①二面角：

一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（2）平面和平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．

（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

概念方法微思考

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

提示　垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

提示　垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　×　）

（2）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.（　√　）

（3）若α⊥β，a⊥β，则a∥α.（　×　）

（4）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（　√　）

（5）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　×　）

题组二　教材改编

2．[P43练习T2]下列命题中正确的是________．（填序号）

①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；

④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

答案　①②③

解析　对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他命题均是正确的．

3．[P45T11]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案　

（1）外　

（2）垂

解析　

（1）如图1，连结OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

（2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，

∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，

∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，

即O为△ABC的垂心．

题组三　易错自纠

4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

答案　充分不必要

解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；

若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，

因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件．

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是________．

答案　垂直

解析　因为DD1⊥平面ABCD，

所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，

则OM＝＝，MN＝＝，

ON＝＝，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.

6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为________．

答案　4

解析　因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形．故直角三角形的个数为4.

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：

B1F⊥平面ADF.

证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

所以AD⊥B1B.

因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，

所以AD⊥平面B1BCC1.

因为B1F⊂平面B1BCC1，

所以AD⊥B1F.

方法一　在矩形B1BCC1中，

因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，

所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，

所以∠CFD＝∠C1B1F，

所以∠B1FD＝90°，

所以B1F⊥FD.

因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF.

方法二　在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，

所以B1D＝＝.

在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，

所以B1F＝＝.

在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，

所以DF＝＝.

显然DF2＋B1F2＝B1D2，

所以∠B1FD＝90°.

所以B1F⊥FD.

因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

（1）证明线面垂直的常用方法：

①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

跟踪训练1如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

证明　

（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

则AB∥EF.

又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，

BC⊂平面ABC，

所以AD⊥平面ABC.

又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．

（1）求证：

平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求证：

EF∥平面PAD.

证明　

（1）因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD.

又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，

又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.

又因为CD⊂平面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD.

（2）连结AC，BD交于点O，连结OE，OF.

因为四边形ABCD为矩形，

所以O为AC的中点．

因为E为PC的中点，所以OE∥PA.

因为OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以OE∥平面PAD.

同理可证OF∥平面PAD.

因为OE∩OF＝O，OB，OF⊂平面OEF，

所以平面OEF∥平面PAD.

因为EF⊂平面OEF，所以EF∥平面PAD.

思维升华

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

跟踪训练2（2018·南京、盐城模拟）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．

（1）求证：

B1C1∥平面A1DE；

（2）求证：

平面A1DE⊥平面ACC1A1.

证明　

（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，

所以DE∥BC.

又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，

所以B1C1∥DE.

又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，

所以B1C1∥平面A1DE.

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，

又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.

又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC.

又CC1，AC⊂平面ACC1A1，

且CC1∩AC＝C，

所以DE⊥平面ACC1A1，

又因为DE⊂平面A1DE，

所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.

题型三　垂直关系中的探索性问题

例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.

（1）求证：

C1E∥平面ADF；

（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.

（1）证明　连结CE交AD于O，连结OF.

因为CE，AD为△ABC的中线，

则O为△ABC的重心，故＝＝，故OF∥C1E，

因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，

所以C1E∥平面ADF.

（2）解　当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.

证明如下：

因为AB＝AC，AD⊂平面ABC，

故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，

故平面B1BCC1⊥平面ABC.

又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，

所以AD⊥平面B1BCC1，

又CM⊂平面B1BCC1，

故AD⊥CM.

又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，

故Rt△CBM≌Rt△FCD.

易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF，

故CM⊥平面ADF.

又CM⊂平面CAM，

故平面CAM⊥平面ADF.

思维升华对命题条件的探索的三种途径

途径一：

先猜后证．

途径二：

先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

途径三：

将几何问题转化为代数问题．

跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.

（1）求证：

平面CFG⊥平面ACE；

（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？

若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．

（1）证明　连结BD交AC于点O，则BD⊥AC.

设AB，AD的中点分别为M，N，连结MN，则MN∥BD，

连结FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，

所以四边形FMNG为平行四边形，

所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.

由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.

所以FG⊥AE，

又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，

所以FG⊥平面ACE.

又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.

（2）解　存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，

连结EQ，CQ，取CO的中点H，连结EH，

由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，

又平面ACE∩平面EFG＝EQ，

平面ACE∩平面ABCD＝AC，

所以CH∥EQ，

又CH＝EQ＝，

所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，

又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG，

所以EH∥平面CFG，

所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，

且CH＝.

1．已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是________．（填序号）

①平行；②垂直；③斜交；④不能确定．

答案　②

解析　设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.

过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.

同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′.

∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.

2．设l，m表示直线，m是平面α内的一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

答案　必要不充分

解析　由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线，则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．

3．已知平面α，β，直线m，n.给出下列命题：

①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；

②若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

其中，真命题是________．（填序号）

答案　②③④

解析　对于①，当m⊂α时，才能保证m⊥β，不对；对于②，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，对；③④都对．

4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：

①若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；

④若m∥n，n⊂α，则m∥α.

其中正确的命题是________．（填序号）

答案　①③

解析　易知①正确；②可能有m⊂β，m∥β，m与β相交等情况，故不正确；③正确；④可以有m∥α或m⊂α，故不正确．

5．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________.（用序号表示）

答案　①③④⇒②（或②③④⇒①）

解析　逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；

①③④⇒②与②③④⇒①均正确．

6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

答案　4

解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．

答案　AB

解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，

∴AC⊥平面ABC1.

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.

∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连结AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

9．如图所示的五个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是________．（填序号）

答案　①④

解析　图②中，只有MP⊥l；图③中，l与MN，PN，MP均不垂直；图⑤中l与NP，MP不垂直．

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．

答案　

解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.

11．（2018·江苏南京师大附中考前模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.

（1）求证：

AB∥EF；

（2）若AF⊥EF，求证：

平面PAD⊥平面ABCD.

证明　

（1）因为四边形ABCD是矩形，

所以AB∥CD.

又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，

所以AB∥平面PDC，

又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，

所以AB∥EF.

（2）因为四边形ABCD是矩形，

所以AB⊥AD.

因为AF⊥EF，

（1）中已证AB∥EF，

所以AB⊥AF.

又AB⊥AD，

由点E在棱PC上（异于点C），所以点F异于点D，

所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.

（1）证明：

MN∥平面PDC；

（2）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．

（1）证明　因为AB＝BC，AD＝CD，

所以BD垂直平分线段AC.

又∠ADC＝120°，

所以MD＝AD＝，AM＝.

所以AC＝.

又AB＝BC＝，

所以△ABC是等边三角形，

所以BM＝，所以＝3，

又因为PN＝PB，

所以＝＝3，

所以MN∥PD.

又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，

所以MN∥平面PDC.

（2）解　因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥PA，

又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC.

由

（1）知MN∥PD，

所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，

故∠DPM即为所求的角．

在Rt△PAD中，PD＝2，

所以sin∠DPM＝＝＝，

所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.

13．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论：

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面PAE；

③平面PDF⊥平面ABC.

其中不成立的结论是________．（填序号）

答案　③

解析　如图，由题意知BC∥DF，

又BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，

∴BC∥平面PDF.

∵P－ABC为正四面体，

∴BC⊥PE，AE⊥BC，

又AE∩PE＝E，

∴BC⊥平面PAE，

∴DF⊥平面PAE，

∴平面PAE⊥平面ABC，

∴①②成立．

易知∠PMA为二面角P－DF－A的平面角．

设此正四面体的棱长为1，则PA＝1，AM＝，

PM2＝PD2－DM2＝2－2＝，

∴PA2≠AM2＋PM2，

即∠PMA不为90°，平面PDF与平面ABC不垂直，

故③不成立．

14.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案　①②③

解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

AE，AF⊂平面AEF，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.

故①②③正确．

15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，中心为O.设PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA＝4，则CE＝________时，PO⊥平面BDE.

答案　2

解析　要使PO⊥平面BDE，

因为易证PO⊥BO，

所以只要使PO⊥OE，即∠POE＝90°，

只要使Rt△PAO∽Rt△OCE，即＝，

即只要＝，只要CE＝2.

故当CE＝2时，可使PO⊥平面BDE.

16.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_____．（写出所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD.

答案　①②

解析　由已知，在未折叠的原梯形中，

易知四边形ABCE为矩形，

所以AB＝EC，所以AB＝DE，

又AB∥DE，

所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE＝AD，折叠后如图所示．

①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连结NP.

因为M，N分别是AD，