概率论与数理统计修订版复旦大学出版习题三答案.docx
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概率论与数理统计修订版复旦大学出版习题三答案
概率论与数理统计（修订版）复旦大学出版习题三答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：
YX00123131113C1?
?
?
?
3222801811021C3?
?
?
?
3/822211110?
?
?
2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：
YX0010222C3?
C23?
4C7352C3?
C1C1122?
2?
4C73522C3?
C23?
4C73530C3C123?
2?
4C735C3C123?
2?
4C735010C1C1C263?
2?
2?
4C7351352P（0黑,2红,2白）=4C2C22?
2/C7?
C1C2C163?
2?
2?
4C735 3.设二维随机变量的联合分布函数为 ππ?
?
sinxsiny,0?
x?
0?
y?
F=?
22 ?
其他.?
0,求二维随机变量在长方形域?
0?
x?
【解】如图P{0?
X?
?
?
πππ?
?
y?
?
内的概率.463?
πππ,?
Y?
}公式（）463ππππππF（,）?
F（,）?
F（0,）?
F（0,）434636 1 ?
sinπ4?
sinπ3?
sinπ4?
sinπ6?
sin0?
sinπ3?
sin0?
sinπ6?
2 4（3?
1）. 题3图 说明：
也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量的分布密度 ?
Ae?
（3x?
4y）f=?
x?
0,y?
0,?
0,其他. 求：
常数A； 随机变量的分布函数；P{0≤X ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f（x,y）dxdy?
?
?
?
-（3x?
4y）0?
?
?
0Aedxdy?
A12?
1得 A=12定义，有 F（x,y）?
?
y?
?
?
x?
?
f（u,v）dudv ?
yy?
（3u?
4v） ?
?
?
?
0?
012edudv?
?
?
（1?
e?
3x）（1?
e?
4y）y?
0,x?
0,?
?
0,?
0,其他（3）P{0?
X?
1,0?
Y?
2} ?
P{0?
X?
1,0?
Y?
2} ?
?
120?
012e?
（3x?
4y）dxdy?
（1?
e?
3）（1?
e?
8）?
5.设随机变量的概率密度为 f=?
?
k（6?
x?
y）,0?
x?
2,2?
y?
4,?
0,其他. 确定常数k； 求P{X＜1，Y＜3}；求P{X 2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f（x,y）dxdy?
?
20?
42k（6?
x?
y）dydx?
8k?
1, 故 R?
18 P{X?
1,Y?
3}?
?
（3）P{X?
}?
?
?
1313?
?
?
?
f（x,y）dydx x?
?
?
?
13k（6?
x?
y）dydx?
?
0?
288f（x,y）dxdy如图a?
?
f（x,y）dxdy D1 ?
?
（4）P{X?
Y?
4}?
X?
Y?
42?
?
127（6?
x?
y）dy?
.2832f（x,y）dxdy如图b?
?
f（x,y）dxdy 4D24?
x2 ?
?
dx?
012（6?
x?
y）dy?
.83 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在上服从均匀分布，Y的密度函数为 ?
5e?
5y,y?
0,fY=?
其他.?
0,求：
X与Y的联合分布密度；P{Y≤X}. 题6图 【解】因X在上服从均匀分布，所以X的密度函数为 ?
1?
0?
x?
fX（x）?
?
?
其他.?
0,而 3 ?
5e?
5y,y?
0,fY（y）?
?
其他.?
0,所以 f（x,y）XY,独立fXx（?
f）Yy（）?
1?
5y ?
?
?
?
5e?
25e?
5y,0?
x?
且y?
0,?
?
?
?
0,?
0,其他.
（2）P（Y?
X）?
f（x,y）dxdy如图y?
?
?
x?
?
25e?
5ydxdy ?
?
0dx?
25edy?
?
（?
5e?
5x00?
5）dx =e-1?
设二维随机变量的联合分布函数为 F=?
?
（1?
e?
4x）（1?
e?
2y）,x?
0,y?
0,?
0,其他.求的联合分布密度. 【解】f（x,y）?
?
2F（x,y）?
x?
y?
?
?
8e?
（4x?
2y）,x?
0,y?
0,?
0,其他.8.设二维随机变量的概率密度为 f=?
?
（2?
x）,0?
x?
1,0?
y?
x,?
0,其他.求边缘概率密度.【解】fX（x）?
?
?
?
?
?
f（x,y）dy ?
=?
?
?
x（2?
x）dy?
?
?
?
x（2?
x）,0?
x?
1,?
0,?
0,其他. fY（y）?
?
?
?
?
?
f（x,y）dx?
1 =?
?
?
（2?
x）dx?
?
（3?
4y?
y2）,0?
y?
?
?
1,?
0,?
0,其他. 4 题8图 题9图 9.设二维随机变量的概率密度为 =?
?
e?
yf,0?
x?
y,?
0,其他. 求边缘概率密度.【解】fX（x）?
?
?
?
?
?
f（x,y）dy ?
?
?
?
y?
x =?
?
?
xedy?
?
e,x?
0,?
?
?
0,?
0,其他.fY（y）?
?
?
?
?
?
f（x,y）dx ?
y?
y?
x =?
?
?
0edx?
?
ye,y?
0,?
?
?
0,?
0,其他. 题10图 10.设二维随机变量的概率密度为 f=?
?
cx2y,x2?
y?
1,?
0,其他. 试确定常数c； 求边缘概率密度.【解】 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f（x,y）dxdy如图?
?
f（x,y）dxdy D =?
1-1dx?
124x2cxydy?
21c?
1.得c?
214.
（2）fX（x）?
?
?
?
?
?
f（x,y）dy 5
?
?
P（X?
i）?
P{Y?
k?
i}i?
0kk?
n?
?
n?
k?
in?
k?
i?
?
?
?
piqn?
i?
?
pqi?
0?
i?
?
k?
i?
knn?
?
?
?
k2n?
k?
?
?
?
?
?
pqik?
ii?
0?
?
?
?
?
2n?
k2n?
k?
?
?
pq?
k?
方法二：
设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布，则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服从参数为的分布律为Y0123X0 1 2 3 4 50
（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；求V=max的分布律；求U=min的分布律；求W=X+Y的分布律.【解】P{X?
2|Y?
2}?
P{X?
2,Y?
2} P{Y?
2}P{X?
2,Y?
2}?
?
?
?
P{X?
i,Y?
2}i?
05P{Y?
3|X?
0}?
P{Y?
3,X?
0} P{X?
0}P{X?
0,Y?
3}?
?
; ?
?
P{X?
0,Y?
j}j?
03P{V?
i}?
P{max（X,Y）?
i}P{X?
i,Y?
i}?
P{X?
i,Y?
i} ?
?
P{X?
i,Y?
k}?
?
P{X?
k,Y?
i},i?
0,1,2,3,4,k?
0k?
0i?
1i11 所以V的分布律为V=max（X,Y）0P （3）P{U?
i}?
P{min（X,Y）?
i} 012345?
P{X?
i,Y?
i}?
P{X?
i,Y?
i} ?
?
P{X?
i,Y?
k}?
k?
i3k?
i?
1?
5P{X?
k,Y?
i}i?
0,1,2,3于是U=min（X,Y）PW=X+Y0P00（4）类似上述过程，有1234567812320.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点在屏幕上服从均匀分布.求P{Y＞0｜Y＞X}； 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}. 题20图 【解】因的联合概率密度为 ?
1222?
2,x?
y?
R,f（x,y）?
?
πR?
其他.?
0,P{Y?
0|Y?
X}?
P{Y?
0,Y?
X} P{Y?
X} ?
y?
0y?
x?
?
?
?
πf（x,y）d?
f（x,y）d?
y?
x1?
π/40πR2rdr ?
5 πR1?
π4/4d?
?
0πR2rdrd?
?
R12 ?
3/83?
;1/24
（2）P{M?
0}?
P{max（X,Y）?
0}?
1?
P{max（X,Y）?
0} ?
1?
P{X?
0,Y?
0}?
1?
x?
0y?
0?
?
f（x,y）d?
?
1?
13?
.4421.设平面区域D曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图 【解】区域D的面积为S0?
e2?
11dx?
lnxxe21?
2.的联合密度函数为 1?
12?
1?
x?
e,0?
y?
f（x,y）?
?
2x ?
?
0,其他.关于X的边缘密度函数为 1?
1/x1dy?
1?
x?
e2,?
?
0fX（x）?
?
22x?
其他.?
0,所以fX
（2）?
1.422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和 Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. Xx1x2P{Y=yj}=pj 【解】因P{Y?
yj}?
Pj?
Yy1 y2 y31/81/81/62P{X=xi}=pi1?
P{X?
x,Y?
y}, iji?
1故P{Y?
y1}?
P{X?
x1,Y?
y1}?
P{X?
x2,Y?
y1},从而P{X?
x1,Y?
y1}?
111?
?
.682413 而X与Y独立，故P{X?
xi}?
P{Y?
yj}?
P{X?
xi,Y?
yi}, 11?
P{X?
x1,Y?
y1}?
.624111/?
.即：
P{X?
x1}?
2464从而P{X?
x1}?
又P{X?
x1}?
P{X?
x1,Y?
y1}?
P{X?
x1,Y?
y2}?
P{X?
x1,Y?
y3}, 111?
?
?
P{X?
x1,Y?
y3},42481.从而P{X?
x1,Y?
y3}?
1213同理P{Y?
y2}?
P{X?
x2,Y?
y2}?
28即又 111P{Y?
y}?
1?
?
?
.,故P{Y?
y}?
13?
j623j?
13同理P{X?
x2}?
从而 3.4111P{X?
x2,Y?
y3}?
P{Y?
y3}?
P{X?
x1,Y?
y3}?
?
?
. 3124故 XYy11241816y2183812y31121413P{X?
xi}?
Pi14341x1x2P{Y?
yj}?
pj23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为p，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量的概率分布. mn?
m【解】
（1）P{Y?
m|X?
n}?
Cm,0?
m?
n,n?
0,1,2,?
.np（1?
p）
（2）P{X?
n,Y?
m}?
P{X?
n}?
P{Y?
m|X?
n} 14 ?
Cp（1?
p）mnmn?
me?
?
n?
?
n?
m?
n,n?
0,1,2,?
.n!
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~?
?
2?
?
1?
，而Y的概率密度为f（y），?
?
?
求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）. 【解】设F是Y的分布函数，则全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G（u）?
P{X?
Y?
u}?
{X?
Y?
u|X?
1}?
{X?
Y?
u|X?
2} ?
{Y?
u?
1|X?
1}?
{Y?
u?
2|X?
2} 于X和Y独立，可见 G（u）?
{Y?
u?
1}?
{Y?
u?
2} ?
（u?
1）?
（u?
2）. 此，得U的概率密度为 g（u）?
G?
（u）?
?
（u?
1）?
?
（u?
2） ?
（u?
1）?
（u?
2）. 25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}. 解：
因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 ?
1?
1?
0?
x?
3,?
0?
y?
3, f（y）?
?
3f（x）?
?
3?
?
?
0, x?
0,x?
3;?
0, y?
0,y?
3.因为X，Y相互独立，所以 ?
1?
0?
x?
3,0?
y?
3,f（x,y）?
?
9?
?
0, x?
0,y?
0,x?
3,y?
3.推得 P{max{X,Y}?
1}?
26.设二维随机变量的概率分布为 YX?
?
101?
?
1 0 1a 0 b 0 c1.9其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X）=?
?
P{Y≤0|X≤0}=，记Z=X+Y.求：
15 a,b,c的值；Z的概率分布；P{X=Z}. 解
（1）概率分布的性质知， a+b+c+=1 即a+b+c=E（X）?
?
，可得 ?
a?
c?
?
再 P{Y?
0X?
0}?
P{X?
0,Y?
0}a?
P{X?
0}?
b?
?
b?
?
得 a?
b?
解以上关于a，b，c的三个方程得 a?
b?
c?
（2）Z的可能取值为?
2，?
1，0，1，2， P{Z?
?
2}?
P{X?
?
1,Y?
?
1}?
， P{Z?
?
1}?
P{X?
?
1,Y?
0}?
P{X?
0,Y?
?
1}?
， P{Z?
0}?
P{X?
?
1,Y?
1}?
P{X?
0,Y?
0}?
P{X?
1,Y?
?
1}?
，P{Z?
1}?
P{X?
1,Y?
0}?
P{X?
0,Y?
1}?
， P{Z?
2}?
P{X?
1,Y?
1}?
， 即Z的概率分布为Z?
2 ?
?
1 0 1 2P （3） P{X?
Z}?
P{Y?
0}?
?
b?
?
?
?
?
16
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