计量经济学第十章联立方程模型文档格式.docx
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为此给出三个定义：
1、内生变量（endogenousvariable）：
由模型内变量所决定的变量。
表现为具有一定概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量的影响，是模型求解的结果。
具有以下特点：
1）受其他变量的影响，是模型的求解结果。
2）一般都受随机误差项的影响，具有一定的概率分布。
3）一般都用某一个方程来描述。
2、外生变量（exogenousvariable）：
由模型外变量所决定的变量。
表现为非随机变量，其数值在模型求解前就已经确定，不受模型中任何变量的影响，但影响内生变量。
1）对模型中的内生变量产生影响，但自身变化由模型系统之外其他因素来决定。
2）可视为可控的非随机变量，从而与模型中的随机误差项不相关。
3、前定变量（predeterminedvariable）：
指在模型求解前就确定了取值的变量，包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。
例如：
yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut
yt为内生变量；
xt为外生变量；
yt-1,xt,xt-1为前定变量。
内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；
随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。
10.1.3联立方程模型的分类
依据变量间联系形式，联立方程模型可分为结构模型，简化型模型，递归模型
⑴结构模型（structuralmodel）：
结构式模型是根据经济理论建立的，描述经济变量之间直接关系的计量经济方程系统，其中每一个方程都直接表述某种经济行为或经济关系。
其模型的构成一般是把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。
例：
如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项）
ct=a1yt+ut1消费函数，行为方程（behaviorequation）
It=b1yt+b2yt-1+ut2投资函数，行为方程
yt=ct+It+Gt国民收入等式，定义方程（definitionalequation）
（1）
其中，ct消费；
yt国民收入；
It投资；
Gt政府支出。
a1,b1,b2称为结构参数。
模型中内生变量有三个ct，yt，It。
外生变量有一个Gt。
内生滞后变量有一个yt-1。
Gt,yt-1又称为前定变量。
因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。
联立方程模型必须是完整的。
所谓完整即“方程个数³
内生变量个数”。
否则联立方程模型是无法估计的。
结构式模型描述了经济变量间的直接经济联系，可用于分析各解释变量对因变量的直接影响。
但是结构式模型中各方程的解释变量包含了内生变量，产生联立方程偏误，使模型系数的直接估计发生困难。
其特点是：
1）模型直观地描述了各变量之间的直接影响，经济意义明确。
2）模型只反映了各变量之间的直接影响，却无法直观反映各变量之间的间接影响。
例如政府支出Gt的增加将会引起Yt的变化，进而引起居民消费Ct的变化，但这种间接影响却无法通过结构方程（或结构式参数）反映出来，同样地，上期收入Yt-1通过投资It当期收入Yt等变量对消费Ct的间接影响也没有直观地反映出来国。
3）无法直接进行预测。
结构式方程中的解释变量包含需要预测的内生变量。
⑵简化型模型（reduced-formequations）：
把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。
仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为，
ct=p11yt-1+p12Gt+vt1
It=p21yt-1+p22Gt+vt2
yt=p31yt-1+p32Gt+vt3
（2）
或=+，
其中ct，yt，It为内生变量，yt-1,Gt为前定变量，pij,（i=1,2,3,j=1,2）,为简化型参数。
用如下矩阵符号表示上式
Y=PX+v（3）
显然结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。
把结构模型
（1）中的内生变量全部移到方程等式的左边得
ct-a1yt=ut1
It-b1yt=b2yt-1+ut2
-ct-It+yt=Gt（4）
用矩阵形式表达
=+
用如下矩阵符号表示上式
AY=BX+u（5）
则
Y=A-1BX+A-1u（6）
比较联立方程模型（3）和（6），结构参数和简化型参数有如下关系存在，
P=A-1B
==
其中，A-1=。
|A|==。
adj（A）==。
A的伴随矩阵是A的代数余子式组成的矩阵的转置。
v=A-1u
=
简化式的特点：
1）简化式的解释变量都是与随机误差项不相关的前定变量，这就为OLS法估计方程提供了基础。
2）简化式的参数反映了前定变量对内生变量的总影响（即直接影响与间接影响的总和）。
3）利用简化式模型可以直接进行预测。
4）简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变量之间的内在联系，经济含意不明确。
⑶递归模型（recursivesystem）：
在结构方程体系中每个内生变量只是前定变量和比其序号低的内生变量的函数。
y1=b11x1+…+b1kxk+u1
y2=b21x1+…+b2kxk+a21y1+u2
y3=b31x1+…+b3kxk+a31y1+a32y2+u3
…..
ym=bm1x1+…+bmkxk+am1y1+am2y1+…+amm-1ym-1+um（7）
其中yi和xj分别表示内生变量和外生变量。
其随机误差项应满足
E（u1u2）=E（u1u3）=…=E（u2u3）=…=E（um-1um）=0
递归模型的显著特点是可以直接运用OLS法，依次估计一个方程，逐步得到全部参数估计值，并且不会产生联立偏误。
10.2联立方程模型的识别（identification）
10.2.1识别的概念与类型
关于粮食的需求供给模型如下，
Dt=b0+b1Pt+u1（需求函数）
St=a0+a1Pt+u2（供给函数）
St=Dt（平衡条件）（8）
其中Dt需求量，St供给量，Pt价格，ui,（i=1,2）随机项。
当供给与需求在市场上达到平衡时，Dt=St=Qt（产量），当用收集到的Qt，Pt样本值，而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对b0，b1的估计还是对a0，a1的估计。
从而引出联立方程模型的识别问题。
也许有人认为若样本显示的是负斜率，则为需求函数；
若是正斜率，则为供给函数。
其实样本点所代表的只是不同需求与供给曲线的交点而已。
显然为区别需求与供给曲线应进一步获得其他信息。
例如收入和偏好的变化会影响需求曲线随时间变化产生位移，而对供给曲线不会产生影响。
所以带有收入信息的这些观测点就会描绘出供给曲线的位置。
也就是说供给曲线是可识别的。
同理耕种面积、气候条件等因素只会影响供给曲线，不会对需求曲线产生影响。
需求曲线就是可识别的。
可见一个方程的可识别性取决于它是否排除了联立模型中其他方程所包含的一个或几个变量。
称此为识别反论。
QtQt
需求曲线
需求曲线,收入水平不同供给曲线供给曲线,耕地面积不同
PtPt
在模型（8）的需求函数和供给函数中分别加入收入变量It和天气变量Wt，
Dt=b0+b1Pt+b2It+u1（需求函数）
St=a0+a1Pt+a2Wt+u2（供给函数）
St=Dt（平衡条件）
于是行为方程成为可识别方程。
也可以从代数意义上讨论识别问题。
当结构模型已知时，能否从其对应的简化型模型参数求出结构模型参数就称为识别问题。
从上面的分析已知，当一个结构模型确定下来之后，首先应考虑识别问题。
如果无法从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，称该结构模型是不可识别的。
如果能够从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，就称该结构模型是可识别的。
当结构模型参数与相对应的简化型方程参数有一一对应关系时，结构模型参数是恰好识别的。
举例说明。
上模型写为，
Qt=b0+b1Pt+b2It+u1
Qt=a0+a1Pt+a2Wt+u2
有6个结构参数。
相应简化型模型为
Qt=p10+p11It+p12Wt+vt1
Pt=p20+p21It+p22Wt+vt2
如果对于简化型模型来说，有些结构模型参数取值不惟一，则该结构模型是过度识别的。
由此可见识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题。
只有行为方程才存在识别问题，对于定义方程或恒等式不存在识别问题。
识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提。
不可识别的模型则不可估计。
识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别。
若有一个方程是不可识别的，则整个联立方程模型是不可识别的。
可识别性分为恰好识别和过度识别。
不可识别
模型的识别恰好识别
可识别
过度识别
10.2.2识别的条件
从理论上讲，借助于简化式模型可以确定联立方程模型中某一结构式方程的识别状态，但这样做是非常费时费力的。
识别方法：
①阶条件（ordercondition）
不包含在待识别方程中的变量（被斥变量）个数³
（联立方程模型中的方程个数或内生变量个数–1）
阶条件是必要条件但不充分，即不满足阶条件是不可识别的，但满足了阶条件也不一定是可识别的。
引入以下记号：
m为内生变量个数，mi第i个方程中内生变量的个数，k为前定变量的个数，ki第i个方程中前定变量的个数。
（m+k）-（mi+ki）³
m-1即
k-1³
mi+ki
②秩条件（rankcondition）
待识别方程的被斥变量系数矩阵的秩=（联立方程模型中方程个数–1）
秩条件是充分必要条件。
满足秩条件能保证联立方程模型内每个方程都有别于其他方程。
即：
Ai=m-1
识别的一般过程是：
1）先考查阶条件（k-1³
mi+ki），因为阶条件比秩条件判别起来简单。
若不满足阶条件，识别到此为止。
说明待识别方程不可识别。
若满足阶条件，则进一步检查秩条件。
2）若不满足秩条件，说明待识别方程不可识别。
若满足秩条件（Ai=m-1），说明待识别方程可识别，但不能判别可识别方程是属于恰好识别还是过度识别。
对此还要返回来利用阶条件作判断。
3）若阶条件中的等式（k-1=mi+ki）成立，则方程为恰好识别；
若阶条件中的不等式（k-1>
mi+ki）成立，则方程为过度识别。
某结构模型为，
y1=a12y2+b11x1+b12x2+u1（恰好识别）
y2=a23y3+b23x3+u2（过度识别）
y3=a31y1+a32y2+b33x3+u3（不可识别）（9）
试考查第二个方程的可识性。
由于结构模型有3个方程，3个内生变量，所以是完整的联立方程模型。
对于第2个方程，被斥变量有3个y1,x1,x2，（方程个数–1）=2。
所以满足阶条件。
结构模型的系数矩阵是，
（10）
从系数阵中划掉第2个方程的变量y2,y3,x3的系数所在的相应行和列，得第2个方程被斥变量的系数阵如下，
Þ
（11）
因为
¹
0,¹
0,（12）
被斥变量系数阵的秩=2，已知（方程个数）-1=2，所以第2个方程是可识别的。
下面用阶条件判断第2个方程的恰好识别性或过度识别性。
因为被斥变量个数是3>
2，所以第2个方程是过度识别的。
现考查第3个方程的可识性。
对于第3个方程，被斥变量有2个x1,x2，（方程个数–1）=2。
从系数阵中划掉第3个方程的变量y1,y2,y3,x3的系数所在的相应行和列，得第3个方程的被斥变量系数阵如下
=0
被斥变量系数阵的秩=1，已知（方程个数）-1=2,所以第3个方程是不可识别的。
10.2.3其它判别准则
1）如果一个方程包含了所有的变量，则该方程是不可识别的。
2）如是一个方程包含一个内生变量，和全部前定变量，则该方程是恰好识别的。
3）如果第i个方程排斥的变量没有一个在第j个方程中出现，则第j个方程是不可识别的。
4）如果模型中的两个方程具有相同的变量，或者说两个方程具有相同的统计形式，则这两个方程是不可识别的。
在建立方程组中，可按以下方法：
第一，要使方程中至少含有一个前面各方程都不含有的变量（可以不破坏前面的可识别性）；
第二，使前面每一个方程都至少包含一个该方程所排拆的变量，并且互不相同（可保证方程自身的可识别性）。
10.3联立方程模型的估计方法
10.3.1递归模型的估计方法
递归模型的估计方法是OLS法。
解释如下。
首先看第一个方程。
由于等号右边只含有外生变量和随机项，外生变量和随机项不相关，符合假定条件，所以可用OLS法估计参数。
对于第二个方程，由于等号右边只含有一个内生变量y1，以及外生变量和随机项。
根据假定u1和u2不相关，所以y1和u2不相关。
对于y2来说，y1是一个前定变量。
因此可以用OLS法估计第2个方程。
以此类推可以用OLS法估计递归模型中的每一个方程。
参数估计量具有无偏性和一致性。
10.3.2简化型模型参数估计法
简化型模型可用OLS法估计参数。
由于简化型模型一般是由结构模型对应而来，每个方程只含有一个内生变量且为被解释变量。
它是前定变量和随机项的唯一函数。
方程中解释变量都是前定变量，自然与随机项无关。
所以用OLS法得到的参数估计量为一致估计量。
10.3.3结构模型估计法
对于结构模型有两种估计方法。
一种为单一方程估计法，即有限信息估计法；
另一种为方程组估计法，系统估计法，即完全信息估计法。
前者只考虑被估计方程的参数约束问题，而不过多地考虑方程组中其他方程所施加的参数约束，因此称为有限信息估计方法。
后者在估计模型中的所有方程的同时，要考虑由于略去或缺少某些变量而对每个方程所施加的参数约束。
因此称为完全信息估计法。
显然对于联立方程模型，理想的估计方法应当是完全信息估计法，例如完全信息极大似然法（FIML）。
然而这种方法并不常用。
因为①这种方法计算工作量太大，②将导致在高度非线性的情况下确定问题的解，这常常是很困难的，③若模型中某个方程存在设定误差，这种误差将传播到其他方程中去。
所以对于联立方程模型常用的估计方法是单一方程估计法。
常用的单一方程估计法有①间接最小二乘法（ILS），②工具变量法（IV），③两段最小二乘法（2SLS），④有限信息极大似然法（LIML）。
工具变量法与2SLS法一起介绍。
有限信息极大似然法不介绍。
1、间接最小二乘法（ILS）
ILS法只适用于恰好识别模型。
具体估计步骤是先写出与结构模型相对应的简化型模型，然后利用OLS法估计简化型模型参数。
因为简化型模型参数与结构模型参数存在一一对应关系，利用P=A-1B可得到结构参数的唯一估计值。
ILS估计量是有偏的，但具有一致性和渐近有效性。
2、两段最小二乘法（2SLS）
当结构方程为过度识别时，其相应简化型方程参数的OLS估计量是有偏的，不一致的。
采用ILS法时，简化型模型的随机项必须满足OLS法的假定条件。
vi~N（0,s2）,cov（vi,vj）=0,cov（xi,vj）=0。
当不满足上述条件时，简化型参数的估计误差就会传播到结构参数中去。
对于恰好识别和过度识别的结构模型可采用2SLS法估计参数。
2SLS法即连续两次使用OLS法。
使用2SLS法的前提是结构模型中的随机项和简化型模型中的随机项必须满足通常的假定条件，前定变量之间不存在多重共线性。
以如下模型为例作具体说明。
y1=a1y2+b1x1+u1（13）
y2=a2y1+b2x2+u2（14）
其中ui~N（0,si2）,i=1,2;
plimT-1（xiuj）=0,（i,j=1,2）；
E（u1u2）=0。
第一步，作如下回归，
y2=x1+x2+（15）
因为=x1+x2是x1和x2的线性组合，而x1,x2与u1,u2无关，所以也与u1,u2无关。
是y2的OLS估计量，自然与y2高度相关。
所以可用作为y2的工具变量。
第二步，用代替方程（13）中的y2，得
y1=a1+b1x1+u1
用OLS法估计上式。
定义W=（x1），则
=（W'
W）-1（W'
y1）
为2SLS估计量。
2SLS仍为单方程估计法，所是有偏的、无效的、一致估计量。
可以证明当结构模型为恰好识别时，2SLS估计值与ILS估计值相同。
3、三阶段最小二乘法（3SLS）
三阶段最小二乘法克服了单一方程估计方法的参数不是有效估计的不足。
属于系统估计法。
3SLS的基本思路是当完成TSLS估计之后，再进行第三步广义最小二乘估计，故有的教科书认为3SLS=TSLS+GLS。
我们从一个特例来说明第三步的思想。
设有
显然，若u1t与u2t不相关，我们可以对第个方程使用OLS得到a和b的有效估计量，当u1t与u2t同期相关时，参数估计值
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