李庆扬数值分析第五版第5章习题答案0808.docx
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李庆扬数值分析第五版第5章习题答案0808
第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元？
哪些方程组可以不选主元？
k
答：
使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a0的情况，这时消去法无法进行；即
kk
k
时主元素a0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
kk
误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计
算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选
择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？
用它们解线性方程组Ax=b有何不同？
A要满足什么
条件？
答：
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个
为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？
为什么说平方根法计算稳定？
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的
算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性
齐次性
三角不等式
设x为向量，则三种常用的向量范数为：
（第3章p53,第5章p165）
n
||x|||x|
1i
i1
1
n
22
||x||（x）
2i
i1
||x||max|xi|
1in
7、何谓矩阵范数？
何谓矩阵的算子范数？
给出矩阵A=（aij）的三种范数||A||1，||A||2，||
A||
∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？
为什么？
向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件
三角不等式
相容条件
矩阵的算子范数有
||A||
1
||A||
2
||A||
从定义可知，||A||1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？
如何判断线性方程组是病态的？
答：
设A为非奇异阵，称数
1
cond（A）vAA（v1,2,）为矩阵A的条件数
v
v
当cond（A）1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、
（2）
注：
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答：
错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
答：
正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：
正确。
（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：
正确。
解释：
若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。
若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：
正确。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：
错误，可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||
∞。
答：
根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：
错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很
小。
答：
错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
T||
（11）||A||1=||A
∞。
答：
根据范数的定义，正确。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
cond（
1
A）cond（A）。
答：
正确。
A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
1
cond（A）AA
根据条件数的定义有：
111111
cond（A）A（A）AAAA
习题
1、设A是对称阵且a110，经过高斯消去法一步后，A约化为
T
a
a
11
1
0A
2
，证明
A是对
2
称矩阵。
证明：
aa...a
11121n
设对称矩阵
A
aa...a
1222n2
............
，则经过1次高斯校区法后，有
aa...a
1n2nnn
aa...a
11121n
（1）
A
aa
121n
0aa...aa
2212n212
aa
1111
............
aa
1n1n
0aa...aa
2n12nn12
aa
1111
aa...a
11121n
aa
1212
0aa...aa
2212n21n
aa
1111
............
aa
1n1n
0aa...aa
n212nn1n
aa
1111
T
所以a1[a12...a2]
n
aa
1212
aa...aa
2212n21n
aa
1111
A
2
.........
aa
1n1n
aa...aa
n212nn1n
aa
1111
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A（a），其中A（aij）n，
ijn
（2）
A2（aij）n1；
证明：
（1）A的对角元素0（1,2,,）
ain；
（2）
ii
A是对称正定矩阵；
2
T
（1）依次取xi（0,0,,0,1,0,,0）,i1,2,,n，则因为A是对称正定矩阵，
i
T
所以有axAx0
ii。
（2）
aa
i11j
（ijn
2）
A中的元素满足ij,（,2,3,,），又因为A是对称正定
aa
2ij
a
11
矩阵，满足aija,i,j1,2,,n，所以
ji
aaaa
i11j1ij1
（2）
（2）
aijaaa，
ijjiji
aa
1111
即
A是对称矩阵。
2
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I相同），
即
1
...
L
k
1
m
k1,k
1
......
m
n,k
1
求证当i,jk时，
LILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩
kijkij
阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩
阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd，其中U为三角矩阵。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
（3）设U为非奇异矩阵，试推导求
1
U的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
1
（1）如果A是对称正定矩阵，则
A也是对称正定矩阵
（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成
T
ALL，其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x3x3x15
123
18x3xx15
123
xxx
123
6
并求出系数矩阵A的行列式的值
1233
A1831
111
123315
A|b183115
1116
使用列主元消去法，有
123315
A|b183115
1116
183115
123315
1116
183115
7
015
3
0
71731
6186
183115
0
71731
6186
7
015
3
183115
0
71731
6186
00
6666
217
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
111
xxx
123
456
9
111
xxx
123
345
8
1
2
xx2x8
123
本题考查LU分解。
解：
111
456
A
111
345
1
2
12
100
L
1
3
10
1
2
11
111
456
U0
1113
6090
00
957
540
9、用追赶法解三对角方程组Axb，其中
210001
121000
A01210，b0。
001210
000120
解：
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
（1）计算
i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/（b2a21）1/（2
（1）（0.5））2/3
3c3/（b3a32）1/（2
（1）（2/3））3/4
4c4/（b4a43）1/（2
（1）（3/4））4/5
（2）解Ly=f
y1f1/b11/2
y2（f2a2y1）/（b2a21）（0
（1）（1/2））/（2
（1）（0.5））1/3
y3（f3a3y2）/（b3a32）（0
（1）（1/3））/（2
（1）（2/3））1/4
y4（f4a4y3）/（b4a43）（0
（1）（1/4））/（2
（1）（3/4））1/5
y5（f5a5y4）/（b5a54）（0
（1）（1/5））/（2
（1）（4/5））1/6
（3）解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5（4/5）1/61/3
x3y33x41/4（3/4）1/31/2
x2y22x31/3（2/3）1/22/3
x1y11x22（1/2）2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
211
x
1
4
123
x
2
5
。
131
x
3
6
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
x1,x,x。
23
999
11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？
若能分解，那么
分解是否唯一。
123111126
A241，B221，C2515。
46733161546
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵（或
U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。
同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。
实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
解：
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三
角阵的乘积，但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的
乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的
乘积，并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5
A，
0.10.3
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。
T
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证：
（a）xxnx
1；
（b）
1
n
A
FAA
2
F
。
根据定义求证。
n
xmaxxxxnmaxxinx。
ii
1
1in1in
i1
n
11
22
Aa
ij
F
nn
i,j1
2
T
A2（AA）
max
14、设
nn
PR且非奇异，又设x为
n
R上一向量范数，定义xpPx。
试证明xp是
n
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然xpPx0，cxpPcxcPxcxp、
x1x2（12）121212，从而
pPxxPxPxPxPxxx
pp
x是
p
n
R
上向量的一种范数。
15、设
nn
AR为对称正定，定义
1
x
2
（Ax,x）
A，
试证明
x是
A
n
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
1
显然
T
x（Ax,x）2xAx0
A
，
11
2T
cx（Acx,cx）2c（xAx）c（Ax,x）2cx
AA
1
T
xx（A（xx）,（xx））（xx）A（xx）
2
1212121212
A
TT
xAxxAxxx
112212
AA
16、设A为非奇异矩阵，求证
1
min
10
A
y
Ay
y
。
因为
A
1
max
x0
A
1
x
x
max
x0
A
AA
1
x
1
x
y
y
1
max
1，
AyAy
Ax0
min
y0
y
所以得证
1
min
10
Ay
Ay
y
17、矩阵第一行乘以一数，成为
2
A，证明当
11
2
3
时，cond（A）有最小值。
本题考查条件数的计算
1
cond（A）AA
首先计算A的逆阵
1
1
1
A
1
2
A
2|3|2
|3||3|2
，当
2
3，取得最小值为2
A
11
||
2
，当
||
取值越大，则最小值为2
从而
11
cond（A）AA
（2）max3,2，
又当
2
3
时，
13
cond（A）
（2）max3,2
（2）27。
2
当
2
3
时，
11
cond（A）
（2）max3,2
（2）3367。
综上所述，cond（A）7时最小，这时
2
3
，即
2
3
。
18、设
10099
A，计算A的条件数cond（A）v（v2,）
9998
由
10099
A可知，
9998
9899
1
A，从而
99100
（A
989998991940519602
1TA，
1
）（）
99100991001960219801
1940519602
1TA2，
1
由3920610
I（A）（）
1960219801
10099100991980119602
T，AA
999899981960219405
1980119602
T2，
由3920610
IAA
1960219405
1
可得2A19603384277608
A，从而
2
1
cond（A）2AA1960338427760839206。
2
2
11A
A199，A199，从而cond（A）A19919939601。
19、证明：
如果A是正交矩阵，则
cond（A）1
2
若A是正交阵，则
A
1T，从而ATAI，AAAAI
1）T11
A（，故
11
A2A，（）1
1condA2AA。
2
22
20、设A,BRnn，且为Rnn上矩阵的算子范数，证明：
cond（AB）cond（A）cond（B）
11111
cond（AB）（AB）ABBAABBAAB
11
（AA）（BB）cond（A）cond（B）
21、设Axb，其中A为非奇异矩阵，证明：
（1）
T
AA为对称正定矩阵；
（2）
T
cond（AA）（cond（A））
2
2
TT2
x（AA）x（Ax）Axb0，所以
T
AA为对称正定矩阵。
2
（cond（A））
2
T
max（AA）
T
min（AA）
由于
T
AA为对称正定矩阵，所以
TT
AAAA
TTT1
cond（AA）AA（AA）
2
22
TTT
max（（AA）（AA））
TTT
min（（AA）（AA））
TTT
max（（AA）（AA））
TTT
min（（AA）（AA））
则
TT
max（AAAA）
TT
min（AAAA）
T2
max（AA）
T2
min（AA）
T
max（AA）
T
min（AA）
（cond（A））
2
2
升级会员 