江苏镇江市高三年级第一次模拟考试数学.docx

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江苏镇江市高三年级第一次模拟考试数学

2018届高三年级第一次模拟考试（三）

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，则A∩B＝________．

2.已知x，y∈R，则“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”）

3.函数y＝3sin图象两相邻对称轴的距离为________．

4.设复数z满足＝5i，其中i为虚数单位，则|z|＝________．

5.已知双曲线的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．

6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为________．

7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2，S6＝9S3，则a5的值为________．

8.已知锐角θ满足tanθ＝cosθ，则＝________．

9.已知函数f（x）＝x2－kx＋4，对任意x∈[1，3]，不等式f（x）≥0恒成立，则实数k的最大值为________．

10.函数y＝cosx－xtanx的定义域为，则其值域为________．

11.已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A（0，－6），则圆C的标准方程为________．

12.已知点P（1，0），直线l：

y＝x＋t与函数y＝x2的图象交于A，B两点，当·最小时，直线l的方程为________．

13.已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________．

14.已知k为常数，函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.

（1）求角C的大小；

（2）若b＝2a，且△ABC的面积为2，求c的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：

（1）A1C∥平面ADB1；

（2）平面A1BC1⊥平面ADB1.

17.（本小题满分14分）

如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．

（1）求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

（2）问AD段多长时，S最小？

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，左焦点F（－2，0），直线l：

y＝t与椭圆交于A，B两点，M为椭圆E上异于A，B的点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若M（－，－1），以AB为直径的圆P过点M，求圆P的标准方程；

（3）设直线MA，MB与y轴分别相交于点C，D，证明：

OC·OD为定值．

19.（本小题满分16分）

已知b>0，且b≠1，函数f（x）＝ex＋bx，其中e为自然对数的底数．

（1）如果函数f（x）为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f（x）的最小值；

（2）对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：

函数y＝f（x）的图象经过唯一定点；

（3）如果关于x的方程f（x）＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，总存在正数p，q，r，使得an＝pn－1，Sn＝qn－r恒成立；数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意正整数n，2Tn＝nbn恒成立．

（1）求常数p，q，r的值；

（2）证明：

数列{bn}为等差数列；

（3）若b2＝2，记Pn＝＋＋＋…＋＋，是否存在正整数k，使得对任意正整数n，Pn≤k恒成立？

若存在，求正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．

2018届高三年级第一次模拟考试（三）

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC＝BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，延长CA至点F.求证：

AE是∠DAF的平分线．

B.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵M＝，其中a，b均为实数，若点A（3，－1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

C.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a>b>0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，）对应的参数φ＝，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）若曲线C上的A，B两点的极坐标分别为A（ρ1，θ），B，求＋的值．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f（x）>a2－3恒成立，求实数a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

22.（本小题满分10分）

如图，AC⊥BC，O为AB的中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.

（1）求直线AD与CE所成角；

（2）求二面角OCEB的余弦值．

23.（本小题满分10分）

某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：

有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．

（1）求ξ1的数学期望；

（2）求ξ2的分布列．

2018届镇江高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1.{0，1}　2.充要　3.　4.1　5.x＝

6.　7.－32　8.3＋2　9.4　10.[－，1]

11.（x＋3）2＋（y＋3）2＝18　12.y＝x＋

13.　14.∪（－e，－1）

15.解析：

（1）由正弦定理＝＝，

且bcosA＋acosB＝－2ccosC得（2分）

sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC，

所以sin（B＋A）＝－2sinCcosC.（3分）

因为A，B，C为三角形的内角，所以B＋A＝π－C，

所以sinC＝－2sinCcosC.（4分）

因为C∈（0，π），所以sinC>0.（5分）

所以cosC＝－，（6分）

所以C＝.（7分）

（2）因为△ABC的面积为2，

所以absinC＝2.（8分）

由

（1）知C＝，所以sinC＝，所以ab＝8.（9分）

因为b＝2a，所以a＝2，b＝4，（11分）

所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×＝28，（13分）

所以c＝2.（14分）

16.解析：

（1）设A1B∩AB1＝E.

因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，

所以AA1B1B为矩形，所以E为A1B的中点．（1分）

因为D为BC的中点，所以DE为△BA1C的中位线，（2分）

所以DE∥A1C，且DE＝A1C.（3分）

因为A1C⊄平面ADB1，DE⊂平面ADB1，（5分）

所以A1C∥平面ADB1.（7分）

（2）因为AB＝AC，D为BC的中点，

所以AD⊥BC.（8分）

因为ABCA1B1C为直三棱柱，

所以BB1⊥平面ABC.

因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.（9分）

因为BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B，BC∩BB1＝B，

所以AD⊥平面BCC1B1.（10分）

因为BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.（11分）

因为BC1⊥B1D，AD⊂平面ADB1，B1D⊂平面ADB1，AD∩B1D＝D，

所以BC1⊥平面ADB1.（13分）

因为BC1⊂平面A1BC1，

所以平面A1BC1⊥平面ADB1.（14分）

17.解析：

（1）在△ABD中，由正弦定理得＝＝，（1分）

所以BD＝，AD＝＋，（3分）

则S＝a＋2a[1－（＋）]＋4a

＝a，（6分）

由题意得α∈.（7分）

（2）令S′＝a·＝0，设cosα0＝.

α

α0

cosα

S′

<0

0

>0

S

单调递减

极小

单调递增

（11分）

所以当cosα＝时，S最小，

此时sinα＝，AD＝＋＝.（12分）

18.解析：

（1）因为e＝＝且c＝2，

所以a＝2，b＝2.（2分）

所以椭圆方程为＋＝1.（4分）

（2）设A（s，t），则B（－s，t），且s2＋2t2＝8.①

因为以AB为直径的圆P过M点，

所以MA⊥MB，所以·＝0，（5分）

因为＝（s＋，t＋1），＝（－s＋，t＋1），

所以6－s2＋（t＋1）2＝0.　　　　②（6分）

由①②解得t＝或t＝－1（舍），所以s2＝.（7分）

因为圆P的圆心为AB的中点（0，t），半径为＝|s|，（8分）

所以圆P的标准方程为x2＋＝.（9分）

（3）设M（x0，y0），则lAM的方程为y－y0＝·（x－x0），若k不存在，显然不符合条件．

令x＝0得yC＝；

同理yD＝，（11分）

所以OC·OD＝|yC·yD|＝＝（13分）

＝＝＝＝4为定值．（16分）

19.解析：

（1）由f

（1）＝f（－1）得e＋b＝＋，

解得b＝－e（舍），或b＝，（1分）

经检验f（x）＝ex＋为偶函数，所以b＝.（2分）

因为f（x）＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时取等号，（3分）

所以f（x）的最小值为2.（4分）

（2）假设y＝f（x）过定点（x0，y0），则y0＝ex0＋bx0对任意满足b>0，且b≠1恒成立．（5分）

令b＝2得y0＝ex0＋2x0；令b＝3得y0＝ex0＋3x0，（6分）

所以2x0＝3x0，即＝1，解得唯一解x0＝0，所以y0＝2，（7分）

经检验当x＝0时，f（0）＝2，所以函数y＝f（x）的图象经过唯一定点（0，2）．（8分）

（3）令g（x）＝f（x）－2＝ex＋bx－2为R上的连续函数，且g（0）＝0，则方程g（x）＝0存在一个解．（9分）

（i）当b>0时，g（x）为增函数，此时g（x）＝0只有一解．（10分）

（ii）当0

因为ex>0，0<<1，lnb<0，令h（x）＝，h（x）为单调增函数，

所以当x∈（－∞，xe）时，h（x）<0，所以g′（x）<0，g（x）为单调减函数；

当x∈（x0，＋∞）时，h（x）>0，所以g′（x）>0，g（x）为单调增函数，

所以g极小（x）＝g（x0）．因为g（x）定义域为R，所以gmin（x）＝g（x0）．（13分）

①若x0>0，g（x）在（－∞，x0）上为单调减函数，g（x0）0，

所以当x∈（x0，ln2）时，g（x）至少存在另外一个零点，矛盾．（14分）

②若x0<0，g（x）在（x0，＋∞）上为单调增函数，g（x0）0，所以g（x）在（logb2，x0）上存在另外一个解，矛盾．（15分）

③当x0＝log（－lnb）＝0，则－lnb＝1，解得b＝，此时方程为g（x）＝ex＋－2＝0，

由

（1）得，只有唯一解x0＝0，满足条件．

综上所述，当b>1或b＝时，方程f（x）＝2有且只有一个解．（16分）

20.解析：

（1）因为Sn＝qn－r，①

所以Sn－1＝qn－1－r，（n≥2）②

①－②得Sn－Sn－1＝qn－qn－1，即an＝qn－qn－1，（n≥2），（1分）

因为an＝pn－1，所以pn－1＝qn－qn－1，（n≥2），

当n＝2时，p＝q2－q；当n＝3时，p2＝q3－q2.

因为p，q为正数，所以p＝q＝2.（3分）

因为a1＝1，S1＝q－r，且a1＝S1，所以r＝1.（4分）

（2）因为2Tn＝nbn，③

当n≥2时，2Tn－1＝（n－1）bn－1，④

③－④得2bn＝nbn－（n－1）bn－1，即（n－2）bn＝（n－1）bn－1，⑤（6分）

方法一：

由（n－1）bn＋1＝nbn，⑥

⑤＋⑥得（2n－2）bn＝（n－1）bn－1＋（n－1）bn＋1，（7分）

即2bn＝bn－1＋bn＋1，所以{bn}为等差数列．（8分）

方法二：

由（n－2）bn＝（n－1）bn－1，

得＝，

当n≥3时，＝＝…＝，

所以bn＝b2（n－1），所以bn－bn－1＝b2.（6分）

因为n＝1时，由2Tn＝nbn得2T1＝b1，

所以b1＝0，则b2－b1＝b2，（7分）

所以bn－bn－1＝b2对n≥2恒成立，所以{bn}为等差数列．（8分）

（3）因为b1＝0，b2＝2，由

（2）知{bn}为等差数列，所以bn＝2n－2.（9分）

又由

（1）知an＝2n－1，

所以Pn＝＋＋…＋＋，

Pn＋1＝＋…＋＋＋＋，　

所以Pn＋1－Pn＝＋－＝，（12分）

令Pn＋1－Pn>0得12n＋2－4n·2n>0，

所以2n<＝3＋<4，解得n＝1，

所以当n＝1时，Pn＋1－Pn>0，即P2>P1，（13分）

当n≥2时，因为2n≥4，3＋<4，

所以2n>3＋＝，

即12n＋2－4n·2n<0，

此时Pn＋1P3>P4>…，（14分）

所以Pn的最大值为Pn＝＋＝，（15分）

若存在正整数k，使得对任意正整数n，Pn≤k恒成立，则k≥Pmax＝，

所以正整数k的最小值为4.（16分）

21.A.解析：

因为四边形ABCD是圆的内接四边形，

所以∠DAE＝∠BCD，∠FAE＝∠BAC＝∠BDC.（4分）

因为BC＝BD，所以∠BCD＝∠BDC，（6分）

所以∠DAE＝∠FAE，（8分）

所以AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．（10分）

B.解析：

由题意得＝，

即（3分）

解得所以M＝.（5分）

令f（λ）＝（λ－2）（λ－1）－6＝0，（7分）

解得λ＝－1或λ＝4，（9分）

所以矩阵M的特征值为－1和4.（10分）

C.解析：

（1）将M（2，）及对应的参数φ＝，代入（a>b>0，φ为参数），

得所以

所以曲线C1的普通方程为＋＝1.（5分）

（2）曲线C1的极坐标方程为＋＝1，将A（ρ1，θ），B代入得＋＝1，＋＝1，

所以＋＝.（10分）

D.解析：

因为对任意x∈R，不等式f（x）>a2－3恒成立，所以fmin（x）>a2－3.（2分）

因为|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－（x＋a）|＝|2a|，

所以|2a|>a2－3，　　　①（4分）

方法一：

即|a|2－2|a|－3<0，

解得－1<|a|<3，（8分）

所以－3

方法二：

①式等价于2a>a2－3，　②

或2a<－a2＋3，　③（6分）

由②得－1

由③得－3

所以－3

22.解析：

（1）因为AC⊥CB，且DC⊥平面ABC，

则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1分）

因为AC＝BC＝BE＝2，

所以C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2），D（0，0，2），

＝（0，－2，2），＝（2，0，2）．（2分）

所以cos〈，〉＝＝.（4分）

所以AD和CM的夹角为60°.

（2）平面BCE的一个法向量为n＝（0，1，0），设平面OCE的一个法向量为n＝（x0，y0，z0）．（6分）

由＝（1，1，0），＝（2，0，2），n⊥，n⊥，

得则解得（8分）

令x0＝－1，则n＝（－1，1，1）．（9分）

因为二面角OCEB为锐角二面角，记为θ，

则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.（10分）

23.解析：

（1）记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝1，2，3，4.（1分）

ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.（2分）

则P（Ai）＝C，（3分）

即P（A0）＝，P（A1）＝，P（A2）＝，

P（A3）＝，P（A4）＝，

则ξ1的分布列为

ξ1

0

1

2

3

5

P

所以E（ξ1）＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.（5分）

（2）ξ2的可能取值为0，2，4，则

P（ξ2＝0）＝P（A2）＝；（7分）

P（ξ2＝2）＝P（A1）＋P（A3）＝＋＝；（8分）

P（ξ2＝4）＝P（A0）＋P（A5）＝＋＝，（9分）

则ξ2的分布列为

ξ2

0

2

4

P