g，静压头高度见图1-26。
在1-1面和4-4面间列柏努利方程有：
（3）
可见，4点处有弯头的细管中的液柱高度也与槽中液面等高。
又z3=z4，u4>u3，对比式3、式2可见：
例1-6轴功的计算
如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中经喷嘴喷出，喷淋下来后流入废水池。
已知管道尺寸为?
114?
4mm，流量为85m3/h，水在管路中流动时的总摩擦损失为10J/kg（不包括出口阻力损失），喷头处压力较塔内压力高20kPa，水从塔中流入下水道的摩擦损失可忽略不计。
求泵的有效轴功率。
解取河面为1-1面，喷嘴上方管截面为2-2面，洗涤塔底部水面为3-3面，废水池水面为4-4截面。
河水经整个输送系统流至废水池的过程中并不是都连续的，在2-2面和3-3面之间是间断的，因此，机械能衡算方程只能在1-2、3-4之间成立。
在1-1面和2-2面间列机械能衡算方程：
取河面为基准面，则z1=0，z2=7m，又u1?
0（河面较管道截面大得多，可近似认为其流速为零），
m/s，p1=0（表），wf=10J/kg。
将以上各值代入上式，得：
式中p2由3-3面与4-4面间的机械能衡算求取。
因流体在3、4面间的流动损失不计，故有：
取4-4面为基准面，则z3=，z4=0，又u3?
u4?
0，p4（表）=0代入上式解之得：
J/kg
而
J/kg
于是
J/kg
故泵的有效轴功率为：
=2137W?
例1-7如图所示，将敞口高位槽中密度870kg/m3、粘度?
10-3Pa?
s的溶液送入某一设备B中。
设B中压力为10kPa（表压），输送管道为?
38?
无缝钢管，其直管段部分总长为10m，管路上有一个90?
标准弯头、一个球心阀（全开）。
为使溶液能以4m3/h的流量流入设备中，问高位槽应高出设备多少米即z为多少米？
解选取高位槽液面为1-1面、管出口内侧截面为2-2面，并取2-2面为位能基准面。
在1-1面与2-2面间列机械能衡算式：
式中：
Pa，?
=870kg/m3，
m/s
，可见属湍流流动，查表1-1并取管壁绝对粗糙度?
=，则?
/d=，查图1-30得?
=（或按式1-117计算得）。
查表1-2得有关的各管件局部阻力系数分别为：
突然缩小：
?
1=；
90?
标准弯头：
?
2=；
球心阀（全开）：
?
3=。
于是
将以上各数据代入机械能衡算式中，得：
m
本题也可将2-2面取在管出口外侧，此时，u2=0，而wf中则要多一项突然扩大局部损失项，其值恰好为u22/2，故管出口截面的两种取法，其计算结果完全相同。
例1-8设计型问题
已知一自来水总管内水压为2?
105Pa（表压），现需从该处引出一支管将自来水以3m3/h的流量送至1000m远的用户（常压），管路上有90?
标准弯头10个，球心阀（半开）2个，试计算该支管的直径。
已知水温20?
C，由于输送距离较长，位差可忽略不计。
解从支管引出处至用户之间列机械能衡算方程，得：
（1）
式中，p1=2?
105Pa，p2=0，?
=1000kg/m3，?
=?
10-3Pa?
s，l=1000m，查表1-2得，90?
标准弯头10个：
?
1=?
10=；球心阀（半开）2个：
?
2=?
2=19
所以?
?
=?
1+?
2=
代入式
（1）得：
（2）
因?
与d有复杂的函数关系，故由式
（2）求d需用试差法。
?
变化较小，试差时可选用?
作为试差变量。
试差过程如下：
首先假设流动处在完全湍流区，取?
=，则：
查图1-30，得?
=，由式
（2）得：
m
属湍流。
再由?
/d=及Re查图1-30或由式1-117计算得：
与?
初值相差不大，试差结束。
最后结果为：
mm。
根据管子标准规格（见附录）圆整，可选用?
48?
的镀锌水管。
此时管内流速为：
m/s
可见，u处在经济流速范围内。
例1-9操作型问题分析
如图所示，通过一高位槽将液体沿等径管输送至某一车间，高位槽内液面保持恒定。
现将阀门开度减小，试定性分析以下各流动参数：
管内流量、阀门前后压力表读数pA、pB如何变化？
解
（1）管内流量变化分析
取管出口截面2-2面为位能基准面，在高位槽液面1-1面和2-2面间列机械能衡算方程：
而
于是
将阀门开度减小后，上式等号左边各项均不变，而右边括号内各项除?
?
增大外其余量均不变（?
一般变化很小，可近似认为是常数），故由此可推断，u2必减小，即管内流量减小。
（2）阀门前后压力表读数pA、pB变化分析
取压力表pA所在管截面为A-A面，由1-1面、A-A面间的机械能衡算可得：
当阀门关小时，上式等号右边各项除uA减小外，其余量均不变，故pA必增大。
pB的变化可由B-B面、2-2面间的机械能衡算分析得到：
当阀门关小时，上式等号右边各项除u2减小外，其余量均不变，故pB必减小。
讨论：
由本题可引出如下结论：
简单管路中局部阻力系数的变大，如阀门关小，将导致管内流量减小，阀门上游压力上升，下游压力下降。
这个规律具有普遍性。
例1-10操作型问题计算
用水塔给水槽供水，如图所示，水塔和水槽均为敞口。
已知水塔水面高出管出口12m，输水管为?
114?
4mm，管路总长100m（包括所有局部损失的当量长度在内），管的绝对粗糙度?
=，水温20?
C。
试求管路的输水量V。
解因管出口局部摩擦损失已计入总损失中，故管出口截面取外侧，为面2-2，此时u2=0。
在水塔水面1-1面与2-2面间列机械能衡算方程，得：
将z1=12m，l+?
le=100m，d=114-2?
4=106mm=代入并化简得：
由此式求u需试差。
假设流动进入阻力平方区，由?
/d=106=查图得?
=，代入上式得：
m/s
从附录查得20?
C水?
=1000kg/m3，?
=1?
10-3Pa?
s，于是
由Re数和?
/d=重新查图得：
?
=，与假设值相同，试差结束。
流量
m3/s=h
例1-11设计型问题
某一贮罐内贮有40?
C、密度为710kg/m3的某液体，液面维持恒定。
现要求用泵将液体分别送到设备一及设备二中，有关部位的高度和压力见图。
送往设备一的最大流量为10800kg/h，送往设备二的最大流量为6400kg/h。
已知1、2间管段长l12=8m，管子尺寸为?
108?
4mm；通向设备一的支管段长l23=50m，管子尺寸为?
76?
3mm；通向设备二的支管段长l24=40m，管子尺寸为?
76?
3mm。
以上管长均包括了局部损失的当量长度在内，且阀门均处在全开状态。
流体流动的摩擦因数?
均可取为。
求所需泵的有效功率Ne。
解这是一个分支管路设计型问题。
将贮罐内液体以不同流量分别送至不同的两设备，所需的外加功率不一定相等，设计时应按所需功率最大的支路进行计算，为此，先不计动能项（长距离输送时动能项常可忽略不计），并以地面作为位能基准面，则3、4点的机械能为：
J/kg
J/kg
可见，Et3>Et4，又通向设备一的支路比通向设备二的支路长，所以有可能设备一所需的外加功率大。
故下面先按支路23进行设计。
在2、3间列机械能衡算方程：
将Et3=kg，?
=，l23=50m，d23=，
m/s代入得：
J/kg
再在2、4间列机械能衡算方程：
将有关数据代入得：
m/s，
kg/s=22514kg/h?
6400kg/h
可见，当通向设备一的支路满足流量要求时，另一支路的流量便比要求的大，这个问题可通过将该支路上的阀门关小来解决。
所以，按支路23进行设计的设想是正确的。
下面求所需外加有效功率。
在1、2间列机械能衡算方程：
将z1=5m，p1=?
104Pa，Et2=kg，?
=，l12=8m，d12=，
m/s代入得：
J/kg
泵的有效功率：
W?
例1-12操作型问题分析
如图1-41所示为配有并联支路的管路输送系统，假设总管直径均相同，现将支路1上的阀门k1关小，则下列流动参数将如何变化？
（1）总管流量V及支管1、2、3的流量V1、V2、V3；
（2）压力表读数pA、pB。
解
（1）总管及各支管流量分析
取管出口外侧截面为2-2面，沿支路1在1-1面与2-2面间列机械能衡算方程（参见式1-133）：
（1）
式中
B1A、B1、BB2分别代表总管段1A、支路1、总管段B2的阻力特性，由其表达式可见，其值与摩擦因数、管长、局部阻力当量长度及管径大小有关，也就是说，与管路状况有关。
于是，式
（1）可改写成：
（2）
同理，分别沿支路2、3在1-1面与2-2面间列机械能衡算方程得：
（3）
（4）
式中，B1A、BB2表达式同上，
再由并联管路的特点可知：
（5）
由式
（2）、（3）、（4）分别导出V1、V2、V3的表达式，然后代入式（5），得：
即
（6）
当阀门k1关小时，1支路的局部阻力系数增大，使B1增大，而式（6）中Et1、Et2、B2、B3、B1A、BB2均不变（?
变化很小，可视为常数），故由式（6）可判断出总管流量V减小。
根据V减小及式（3）、式（4）可推知，支路2、3的流量V2、V3均增大，而由式（5）可知V1减小。
（2）压力表读数pA、pB的变化分析
由1-1面与A之间的机械能衡算Et1=EtA+wf1A可知，当阀门k1关小时，u减小，wf1A减小，故EtA增大，而EtA中位能不变、动能减小，故压力能必增大，即pA增大。
而由B与2-2面间的机械能衡算，得：
（7）
当阀门k1关小时，式中z2、zB、p2、?
、l和d均不变，而u减小，故pB减小。
讨论：
本例表明，并联管路上的任一支管局部阻力系数变大，必然导致该支管和总管内流量减小，该支管上游压力增大，下游压力减小，而其它并联支管流量增大。
这一规律与简单管路在同样变化条件下所遵循的规律一致（见例1-9）。
注意：
以上规律适用于并联支路摩擦损失与总管摩擦损失相当的情形，若总管摩擦损失很小可忽略，则任一支管的局部阻力的变化对其它支管就几乎没有影响。
例1-13操作型问题计算
高位槽中水经总管流入两支管1、2，然后排入大气，测得当阀门k、k1处在全开状态而k2处在1/4开度状态时，支管1内流量为h，求支管2中流量。
若将阀门k2全开，则支管1中是否有水流出？
已知管内径均为30mm，支管1比支管2高10m，MN段直管长为70m，N1段直管长为16m，N2段直管长为5m，当管路上所有阀门均处在全开状态时，总管、支管1、2的局部阻力当量长度分别为?
le=11m，?
le1=12m，?
le2=10m。
管内摩擦因数?
可取为。
解
（1）支管2中流量
在0-0面与1-1面间列机械能衡算方程：
将z0?
z1=20?
10=10m，?
=，l+?
le=70+11=81m，d=，l1+?
le1=16+12=28m，
m/s代入得：
u=s
总管流量
m3/s=h
故
m3/h
（2）阀门k2全开时
支管2上的阀门k2全开后，管路系统总阻力下降，因而总管内流量V将增大。
在0-0截面与N处应用机械能衡算式不难得知N处的压力下降，所以支管1内流量V1将减小，甚至有可能导致V1=0。
假设支管1中无水流出，于是，由0-0与2-2间的机械能衡算可知：
u=s
再由N处与2-2截面间的机械能衡算可知：
J/kg
而
J/kg
可见，EtN若EtN?
Et1，则支管1中有水流出，原假设错误，此时需按分支管路重新进行计算
【例1-1】已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m3与998kg/m3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。
解：
根据式1-4
=（+）10-4=×10-4
ρm=1372kg/m3
【例1-2】已知干空气的组成为：
O221%、N278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为×104Pa及温度为100℃时的密度。
解：
首先将摄氏度换算成开尔文
100℃=273+100=373K
再求干空气的平均摩尔质量
Mm=32×+28×+×
=m3
根据式1-3a气体的平均密度为：
【例1-3】本题附图所示的开口容器内盛有油和水。
油层高度h1=、密度ρ1=800kg/m3，水层高度h2=、密度ρ2=1000kg/m3。
（1）判断下列两关系是否成立，即pA=p'ApB=p'B
（2）计算水在玻璃管内的高度h。
解：
（1）判断题给两关系式是否成立pA=p'A的关系成立。
因A与A'两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。
所以截面A-A'称为等压面。
pB=p'B的关系不能成立。
因B及B'两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B'不是等压面。
（2）计算玻璃管内水的高度h由上面讨论知，pA=p'A，而pA=p'A都可以用流体静力学基本方程式计算，即
pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2
pA'=pa+ρ2gh
于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh
简化上式并将已知值代入，得
800×+1000×=1000h
解得h=
【例1-4】如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U管压差计，压差计读数R=200mm。
试求两截面间的压强差。
解：
因为倒置U管，所以其指示液应为水。
设空气和水的密度分别为ρg与ρ，根据流体静力学基本原理，截面a-a'为等压面，则
pa=pa'
又由流体静力学基本方程式可得
pa=p1－ρgM
pa'=p2－ρg（M－R）－ρggR
联立上三式，并整理得
p1－p2=（ρ－ρg）gR
由于ρg《ρ，上式可简化为
p1－p2≈ρgR
所以p1－p2≈1000××=1962Pa
【例1-5】如本题附图所示，蒸汽锅炉上装置一复式U形水银测压计，截面2、4间充满水。
已知对某基准面而言各点的标高为z0=，z2=，z4=，z6=，z7=。
试求锅炉内水面上的蒸汽压强。
解：
按静力学原理，同一种静止流体的连通器内、同一水平面上的压强相等，故有
p1=p2，p3=p4，p5=p6
对水平面1-2而言，p2=p1，即
p2=pa+ρig（z0－z1）
对水平面3-4而言，
p3=p4=p2－ρg（z4－z2）
对水平面5-6有
p6=p4+ρig（z4－z5）
锅炉蒸汽压强p=p6－ρg（z7－z6）
p=pa+ρig（z0－z1）+ρig（z4－z5）－ρg（z4－z2）－ρg（z7－z6）
则蒸汽的表压为
p－pa=ρig（z0－z1+z4－z5）－ρg（z4－z2+z7－z6）
=13600××－+－－1000××
－+－
=×105Pa=305kPa
【例1-6】某厂要求安装一根输水量为30m3/h的管路，试选择合适的管径。
解：
根据式1-20计算管径
d=
式中Vs=
m3/s
参考表1-1选取水的流速u=s
查附录二十二中管子规格，确定选用φ89×4（外径89mm，壁厚4mm）的管子，其内径为：
d=89－（4×2）=81mm=
因此，水在输送管内的实际流速为：
【例1-7】在稳定流动系统中，水连续从粗管流入细管。
粗管内径d1=10cm，细管内径d2=5cm，当流量为4×10－3m3/s时，求粗管内和细管内水的流速？
解：
根据式1-20
根据不可压缩流体的连续性方程
u1A1=u2A2
由此
u2=4u1=4×=s
【例1-8】将高位槽内料液向塔内加料。
高位槽和塔内的压力均为大气压。
要求料液在管内以s的速度流动。
设料液在管内压头损失为（不包括出口压头损失），试求高位槽的液面应该比塔入口处高出多少米？
解：
取管出口高度的0－0为基准面，高位槽的液面为1－1截面，因要求计算高位槽的液面比塔入口处高出多少米，所以把1－1截面选在此就可以直接算出所求的高度x，同时在此液面处的u1及p1均为已知值。
2－2截面选在管出口处。
在1－1及2－2截面间列柏努利方程：
式中p1=0（表压）高位槽截面与管截面相差很大，故高位槽截面的流速与管内流速相比，其值很小，即u1≈0，Z1=x，p2=0（表压），u2=s，Z2=0，
/g=
将上述各项数值代入，则
=
+×
x=
计算结果表明，动能项数值很小，流体位能的降低主要用于克服管路阻力。
【例1-9】20℃的空气在直径为80mm的水平管流过。
现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示。
文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉颈处接一细管，其下部插入水槽中。
空气流过文丘里管的能量损失可忽略不计。
当U管压差计读数R=25mm、h=时，试求此时空气的流量为若干m3/h。
当地大气压强为×103Pa。
解：
文丘里管上游测压口处的压强为
p1=ρHggR=13600××
=3335Pa（表压）
喉颈处的压强为
p2=－ρgh=－1000××=－4905Pa（表压）
空气流经截面1-1'与2-2'的压强变化为
故可按不可压缩流体来处理。
两截面间的空气平均密度为
在截面1-1'与2-2'之间列柏努利方程式，以管道中心线作基准水平面。
两截面间无外功加入，即We=0；能量损失可忽略，即
=0。
据此，柏努利方程式可写为
式中Z1=Z2=0
所以
简化得
（a）
据连续性方程u1A1=u2A2
得
u2=16u1（b）
以式（b）代入式（a），即（16u1）2－
=13733
解得u1=s
空气的流量为
【例1-10】水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，试计算管内截面2-2'、3-3'、4-4'和5-5'处的压强。
大气压强为×105Pa。
图中所标注的尺寸均以mm计。
解：
为计算管内各截面的压强，应首先计算管内水的流速。
先在贮槽水面1-1'及管子出口内侧截面6-6'间列柏努利方程式，并以截面6-6'为基准水平面。
由于管路的能量损失忽略不计，
即
=0，故柏努利方程式可写为
式中Z1=1mZ6=0p1=0（表压）p6=0（表压）u1≈0
将上列数值代入上式，并简化得
解得u6=s
由于管路直径无变化，则管路各截面积相等。
根据连续性方程式知Vs=Au=常数，故管内各截面的流速不变，即
u2=u3=u4=u5=u6=s
则
因流动系统的能量损失可忽略不计，故水可视为理想流体，则系统内各截面上流体的总机械能E相等，即
总机械能可以用系统内任何截面去计算，但根据本题条件，以贮槽水面1-1'处的总机械能计算较为简便。
现取截面2-2'为基准水平面，则上式中Z=2m，p=101330Pa，u≈0，所以总机械能为
计算各截面的压强时，亦应以截面2-2'为基准水平面，则Z2=0，Z3=3m，Z4=，Z5=3m。
（1）截面2-2'的压强
（2）截面3-3'的压强
（3）截面4-4'的压强
（4）截面5-5'的压强
从以上结果可以看出，压强不断变化，这是位能与静压强反复转换的结果。
【例1-11】用泵将贮槽中密度为1200kg/m3的溶液送到蒸发器内，贮槽内液面维持恒定，其上方压强为×103Pa，蒸发器上部的蒸发室内操作压强为26670Pa（真空度），蒸发器进料口高于贮槽内液面15m，进料量为20m3/h，溶液流经全部管路的能量损失为120J/kg，求泵的
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