算法设计与分析 全套课件.ppt
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中国计算机学会21世纪大学本科计算机专业系列教材算法设计与分析,王晓东编著,巢湖学院计算机科学与技术系,主要内容介绍,第1章、算法引论第2章、递归与分治策略第3章、动态规划第4章、贪心算法第5章、回溯法第6章、分支限界法第7章、概率算法第8章、NP完全性理论第9章、近似算法第10章、算法优化策略,巢湖学院计算机科学与技术系,第1章算法引论,1.1算法与程序1.2表达算法的抽象机制1.3描述算法1.4算法复杂性分析,本章主要知识点:
巢湖学院计算机科学与技术系,1.1、算法与程序,算法:
是指解决问题的一种方法或一个过程,在计算机领域是指满足下述性质的指令序列。
(1)输入:
有外部提供的量作为算法的输入。
(2)输出:
算法产生至少一个量作为输出。
(3)确定性:
组成算法的每条指令是清晰,无歧义的。
(4)有限性:
算法中每条指令的执行次数是有限的,执行每条指令的时间也是有限的。
巢湖学院计算机科学与技术系,1.1、算法与程序,程序:
是算法用某种程序设计语言的具体实现。
程序可以不满足算法的性质(4)。
例如操作系统,是一个在无限循环中执行的程序,因而不是一个算法。
操作系统的各种任务可看成是单独的问题,每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。
该子程序得到输出结果后便终止。
巢湖学院计算机科学与技术系,问题求解(ProblemSolving),理解问题,精确解或近似解选择数据结构算法设计策略,设计算法,巢湖学院计算机科学与技术系,1.从机器语言到高级语言的抽象,1.2、表达算法的抽象机制,高级程序设计语言的主要好处是:
(4)把繁杂琐碎的事务交给编译程序,所以自动化程度高,开发周期短,程序员可以集中时间和精力从事更重要的创造性劳动,提高程序质量。
(1)高级语言更接近算法语言,易学、易掌握,一般工程技术人员只需要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作;,
(2)高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具,使得设计出来的程序可读性好,可维护性强,可靠性高;,(3)高级语言不依赖于机器语言,与具体的计算机硬件关系不大,因而所写出来的程序可植性好、重用率高;,巢湖学院计算机科学与技术系,2.抽象数据类型,1.2、表达算法的抽象机制,抽象数据类型是算法的一个数据模型连同定义在该模型上,并作为算法构件的一组运算。
抽象数据类型带给算法设计的好处有:
(1)算法顶层设计与底层实现分离;
(2)算法设计与数据结构设计隔开,允许数据结构自由选择;(3)数据模型和该模型上的运算统一在ADT中,便于空间和时间耗费的折衷;(4)用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性;(5)算法自然呈现模块化;(6)为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具;(7)算法结构清晰,层次分明,便于算法正确性的证明和复杂性的分析。
巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量,需要时间资源的量称为时间复杂性T(N),需要的空间资源的量称为空间复杂性S(N)。
这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。
如果分别用N、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身,而且用C表示复杂性,那么,应该有C=F(N,I,A)。
一般把时间复杂性和空间复杂性分开,分别用T和S来表示则有:
T=T(N,I)和S=S(N,I)。
(通常,让A隐含在复杂性函数名当中),巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,最坏情况下的时间复杂性:
最好情况下的时间复杂性:
平均情况下的时间复杂性:
其中DN是规模为N的合法输入的集合;I*是DN中使T(N,I*)达到Tmax(N)的合法输入;是中使T(N,)达到Tmin(N)的合法输入;而P(I)是在算法的应用中出现输入I的概率。
巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,算法复杂性在渐近意义下的阶:
渐近意义下的记号:
O、o设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。
(1)渐近上界O的定义:
如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时上有界,且g(N)是它的一个上界,记为f(N)=O(g(N)。
即f(N)的阶不高于g(N)的阶。
根据O的定义,容易证明它有如下运算规则:
(1)O(f)+O(g)=O(max(f,g);
(2)O(f)+O(g)=O(f+g);(3)O(f)O(g)=O(f*g);(4)如果g(N)=O(f(N),则O(f)+O(g)=O(f);(5)O(Cf(N)=O(f(N),其中C是一个正的常数;(6)f=O(f)。
巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,
(2)渐近下界的定义:
如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时下有界,且g(N)是它的一个下界,记为f(N)=(g(N)。
即f(N)的阶不低于g(N)的阶。
(3)同阶的定义:
定义f(N)=(g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且f(N)=(g(N),即(g(n)=f(n)|存在正常数c1,c2和正整数n0使得对所有nn0有:
c1g(n)f(n)c2g(n),此时称f(N)与g(N)同阶。
定理1:
(g(n)=O(g(n)(g(n),巢湖学院计算机科学与技术系,1.3、算法复杂性分析,(4)低阶o的定义:
对于任意给定的0,都存在正整数N0,使得当NN0时有f(N)/Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时的阶比g(N)低,记为f(N)=o(g(N)。
(有的书称之为非紧上界)例如,4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。
(5)非紧下界记号(g(n)=f(n)|对于任何正常数c0,存在正数和n00使得对所有nn0有:
0cg(n)f(n)。
注意:
f(n)(g(n)g(n)o(f(n),巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析记号在等式和不等式中的意义,f(n)=(g(n)的确切意义是:
f(n)(g(n)。
一般情况下,等式和不等式中的渐近记号(g(n)表示(g(n)中的某个函数。
例如:
2n2+3n+1=2n2+(n)表示2n2+3n+1=2n2+f(n),其中f(n)是(n)中某个函数。
等式和不等式中渐近记号O,o,和的意义是类似的。
巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析中函数比较,f(n)=O(g(n)ab;f(n)=(g(n)ab;f(n)=(g(n)a=b;f(n)=o(g(n)ab;,巢湖学院计算机科学与技术系,渐近分析记号的若干性质,
(1)传递性:
f(n)=(g(n),g(n)=(h(n)f(n)=(h(n);f(n)=O(g(n),g(n)=O(h(n)f(n)=O(h(n);f(n)=(g(n),g(n)=(h(n)f(n)=(h(n);f(n)=o(g(n),g(n)=o(h(n)f(n)=o(h(n);f(n)=(g(n),g(n)=(h(n)f(n)=(h(n);
(2)反身性:
f(n)=(f(n);f(n)=O(f(n);f(n)=(f(n).(3)对称性:
f(n)=(g(n)g(n)=(f(n).(4)互对称性:
f(n)=O(g(n)g(n)=(f(n);f(n)=o(g(n)g(n)=(f(n);,巢湖学院计算机科学与技术系,(5)算术运算:
O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n);O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)+g(n);O(f(n)*O(g(n)=O(f(n)*g(n);O(cf(n)=O(f(n);g(n)=O(f(n)O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)。
渐近分析记号的若干性质,巢湖学院计算机科学与技术系,规则O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n)的证明:
对于任意f1(n)O(f(n),存在正常数c1和自然数n1,使得对所有nn1,有f1(n)c1f(n)。
类似地,对于任意g1(n)O(g(n),存在正常数c2和自然数n2,使得对所有nn2,有g1(n)c2g(n)。
令c3=maxc1,c2,n3=maxn1,n2,h(n)=maxf(n),g(n)。
则对所有的nn3,有f1(n)+g1(n)c1f(n)+c2g(n)c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)c32maxf(n),g(n)=2c3h(n)=O(maxf(n),g(n).,渐近分析记号的若干性质,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,
(1)单调函数单调递增:
mnf(m)f(n);单调递减:
mnf(m)f(n);严格单调递增:
mf(n).
(2)取整函数x:
不大于x的最大整数;x:
不小于x的最小整数;,巢湖学院计算机科学与技术系,取整函数的若干性质,x-1xxxx+1;n/2+n/2=n;对于n0,a,b是大于0的整数,有:
n/a/b=n/ab;n/a/b=n/ab;a/b(a+(b-1)/b;a/b(a-(b-1)/b;f(x)=x,g(x)=x为单调递增函数。
巢湖学院计算机科学与技术系,(3)多项式函数p(n)=a0+a1n+a2n2+adnd;ad0;p(n)=(nd);f(n)=O(nk)f(n)多项式有界;f(n)=O
(1)f(n)c;kdp(n)=O(nk);kdp(n)=(nk);kdp(n)=o(nk);kdp(n)=(nk).,算法渐近复杂性分析中常用函数,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,(4)指数函数对于正整数m,n和实数a0:
a0=1;a1=a;a-1=1/a;(am)n=amn;(am)n=(an)m;aman=am+n;a1an为单调递增函数;a1nb=o(an),巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,(5)对数函数logn=log2n;lgn=log10n;lnn=logen;logkn=(logn)k;loglogn=log(logn);fora0,b0,c0,巢湖学院计算机科学与技术系,|x|1forx-1,foranya0,logbn=o(na),算法渐近复杂性分析中常用函数,(5)对数函数,巢湖学院计算机科学与技术系,算法渐近复杂性分析中常用函数,(6)阶层函数Stirlingsapproximation,巢湖学院计算机科学与技术系,算法分析中常见的复杂性函数,巢湖学院计算机科学与技术系,小规模数据,巢湖学院计算机科学与技术系,中等规模数据,巢湖学院计算机科学与技术系,
(1)选择语句:
(1.1)if语句:
(1.2)?
语句:
if(expression)statement;elsestatement;,exp1?
exp2:
exp3y=x9?
100:
200;等价于:
if(x9)y=100;elsey=200;,用c+描述算法的常用语句,巢湖学院计算机科学与技术系,switch(expression)case1:
statementsequence;break;case2:
statementsequence;break;default:
statementsequence;,(1.3)switch语句:
用c+描述算法的常用语句,巢湖学院计算机科学与技术系,(2.1)for循环:
for(init;condition;inc)statement;(2.2)while循环:
while(condition)statement;(2.3)do-while循环:
dostatement;while(condition);,用c+描述算法的常用语句,
(2)迭代语句,巢湖学院计算机科学与技术系,(3.1)return语句:
returnexpression;(3.2)goto语句:
gotolabel;label:
用c+描述算法的常用语句,(3)跳转语句:
巢湖学院计算机科学与技术系,算法分析方法举例,例:
顺序搜索算法,templateintseqSearch(Type*a,intn,Typek)for(inti=0;in;i+)if(ai=k)returni;return-1;,巢湖学院计算机科学与技术系,
(1)Tmax(n)=maxT(I)|size(I)=n=O(n)
(2)Tmin(n)=minT(I)|size(I)=n=O
(1)(3)在平均情况下,假设:
(a)搜索成功的概率为p(0p1);(b)在数组的每个位置i(0in)搜索成功的概率相同,均为p/n。
算法分析方法举例,巢湖学院计算机科学与技术系,算法分析的基本法则,
(一)非递归算法:
(1)for/while循环循环体内计算时间*循环次数;
(2)嵌套循环循环体内计算时间*所有循环次数;(3)顺序语句各语句计算时间相加;(4)if-else语句if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。
巢湖学院计算机科学与技术系,templatevoidinsertion_sort(Type*a,intn)Typekey;/costtimesfor(inti=1;i=0/c7n-1,巢湖学院计算机科学与技术系,在最好情况下,ti=1,for1in;在最坏情况下,tii+1,for1in;,巢湖学院计算机科学与技术系,对于输入数据ai=n-i,i=0,1,n-1,算法insertion_sort达到其最坏情形。
因此:
由此可见,Tmax(n)=(n2),巢湖学院计算机科学与技术系,
(二)递归算法复杂性分析,intfactorial(intn)if(n=0)return1;returnn*factorial(n-1);,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型1,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型2,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型3,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型4,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型5,巢湖学院计算机科学与技术系,递归算法复杂性分析和递归方程的解,类型6,巢湖学院计算机科学与技术系,递归方程组解的渐进阶的求法套用公式法,这个方法为估计形如:
T(n)=aT(n/b)+f(n)
(1)的递归方程解的渐近阶提供三个可套用的公式。
(1)中的a1和b1是常数,f(n)是一个确定的正函数。
(1)是一类分治法的时间复杂性所满足的递归关系,即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题,递归地求解这a个子问题,然后通过对这a个子间题的解的综合,得到原问题的解。
如果用T(n)表示规模为n的原问题的复杂性,用f(n)表示把原问题分成a个子问题和将a个子问题的解综合为原问题的解所需要的时间,我们便有方程
(1)。
巢湖学院计算机科学与技术系,递归方程组解的渐进阶的求法套用公式法,设a1和b1是常数,f(n)是定义在非负整数上的一个确定的非负函数。
又设T(n)也是定义在非负整数上的一个非负函数,且满足递归方程
(1)。
方程
(1)中的n/b可以是n/b,也可以是n/b。
那么,在f(n)的三类情况下,我们有T(n)的渐近估计式:
若对于某常数0,有则:
巢湖学院计算机科学与技术系,递归方程组解的渐进阶的求法套用公式法,若则,巢湖学院计算机科学与技术系,递归方程组解的渐进阶的求法套用公式法,若:
对于某常数0,有且对于某常数c1和所有充分大的正整数n有af(n/b)cf(n);则T(n)=(f(n),巢湖学院计算机科学与技术系,(三)最优算法,问题的计算时间下界为(f(n),则计算时间复杂性为O(f(n)的算法是最优算法。
例如,排序问题的计算时间下界为(nlogn),计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。
堆排序算法是最优算法。
巢湖学院计算机科学与技术系,第一章:
作业布置,书面作业:
P5:
算法分析题1-1、1-3、1-6(1、3、5、7);,上机练习(多选一):
P6-7:
算法实现题1-1、1-3;,第2章、递归与分治策略,巢湖学院计算机科学与技术系,将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。
算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个子问题分别求解。
如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
巢湖学院计算机科学与技术系,算法总体思想,对这k个子问题分别求解。
如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
n,T(n),=,巢湖学院计算机科学与技术系,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
n,T(n),=,巢湖学院计算机科学与技术系,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是:
将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
凡治众如治寡,分数是也。
-孙子兵法,巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
下面来看几个实例。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例1:
阶乘函数阶乘函数可递归地定义为:
边界条件,递归方程,边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例2:
Fibonacci数列无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,被称为Fibonacci数列。
它可以递归地定义为:
边界条件,递归方程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下:
publicstaticintfibonacci(intn)if(n=1)return1;returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);,巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例3:
Ackerman函数当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数。
Ackerman函数A(n,m)定义如下:
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例3:
Ackerman函数前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义:
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例3:
Ackerman函数A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数:
M=0时,A(n,0)=n+2M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*nM=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)=2n。
M=3时,类似的可以推出M=4时,A(n,4)的增长速度非常快,以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例3Ackerman函数定义单变量的Ackerman函数A(n)为,A(n)=A(n,n).定义其拟逆函数(n)为:
(n)=minkA(k)n.即(n)是使nA(k)成立的最小的k值。
(n)在复杂度分析中常遇到。
对于通常所见到的正整数n,有(n)4。
但在理论上(n)没有上界,随着n的增加,它以难以想象的慢速度趋向正无穷大.,巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例4:
排列问题设计一个递归算法生成n个元素r1,r2,rn的全排列。
设:
R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素,Ri=R-ri。
集合X中元素的全排列记为:
perm(X)。
(ri)perm(X):
表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。
R的全排列可归纳定义如下:
当n=1时:
perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素;当n1时:
perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成;,巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例5:
整数划分问题将正整数n表示成一系列正整数之和:
n=n1+n2+nk;其中n1n2nk1,k1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。
求正整数n的不同划分个数就是整数划分问题。
例如正整数6有如下11种不同的划分:
6;5+1;4+2,4+1+1;3+3,3+2+1,3+1+1+1;2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1。
巢湖学院计算机科学与技术系,
(2)q(n,m)=q(n,n),mn;最大加数n1实际上不能大于n。
因此,q(1,m)=1。
(1)q(n,1)=1,n1;当最大加数n1不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式,即,(4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1n-1的划分组成。
(3)q(n,n)=1+q(n,n-1);正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成。
2.1、递归的概念,例5、整数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。
在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:
将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。
可以建立q(n,m)的如下递归关系。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例5、整数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。
在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:
将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。
可以建立q(n,m)的如下递归关系。
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
巢湖学院计算机科学与技术系,2.1、递归的概念,例6Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座。
开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则:
规则1:
每次只能移动1个圆盘;规则2:
任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上;规则3:
在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
巢湖学院计算机科学与技术系,当n=1时,问题比较简单。
此时,只要将编号为1的圆盘从塔座a直接移至塔座b上即可。
当n1时,需要利用塔座c作为辅助塔座。
此时若能设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c,然后,将剩下的最大圆盘从塔座a移至塔座b,最后,再设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座c移至塔座b。
由此可见,n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题,这又可以递归地用上述方法来做。
由此可以设计出解Hanoi塔问题的递归算法如下。
例6、Hanoi塔问题在问题规模较大时,较难找到一般的方法,因此我们尝试用递归技术来解决这个问题。
publicstaticvoidhanoi(intn,inta,intb,intc)if(n0)hanoi(n-1,a,c,b);move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a);,思考题:
如果塔的个数变为a,b,c,d四个,现要将n个圆盘从a全部移动到d,移动规则不变,求移