第7章正交试验设计的极差分析.docx

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第7章正交试验设计的极差分析

第7章　正交试验设计的极差分析

正交试验设计和分析方法大致分为二种：

一种是极差分析法（又称直观分析法）,另一种是方差分析法（又称统计分析法）。

本章介绍极差分析法,它简单易懂,实用性强，在工农业生产中广泛应用。

７.1单指标正交试验设计及其极差分析

极差分析法简称R法。

它包括计算和判断两个步骤,其内容如图7-1所示。

图7－１R法示意图

图中，Ｋjｍ为第ｊ列因素m水平所对应的试验指标和，

ｊm为Ｋjm的平均值。

由Kjm的大小可以判断ｊ因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。

Rj为第j列因素的极差，即第j列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差：

Rj=max（

）-ｍin（

）

Rj反映了第ｊ列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。

Rj越大,说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。

于是依据Rj的大小,就可以判断因素的主次。

极差分析法的计算与判断,可直接在试验结果分析表上进行，现以例6-2来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。

一、确定因素的优水平和最优水平组合

例６-2为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。

拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。

在例6-2中，不考虑因素间的交互作用（因例6-2是四因素三水平试验，故选用L9（34）正交表），表头设计如表６-５所示,试验方案则示于表６-6中。

试验结果的极差分析过程，如表7-1所示.

表6-4因素水平表

水平因素

加水量（ml/10０g）

A

加酶量（ml/１00g）

B

酶解温度

（︒C）

C

酶解时间

（h）

Ｄ

１

2

3

1０

50

9０

1

4

７

20

3５

５0

１.5

2.5

3．5

表6-6　试验方案及结果

试验号

因　　素

试验结果

液化率（%）

A

B

C

D

1

2

3

4

5

６

7

8

9

1（１0）

１

1

2（50）

2

2

３（90）

３

3

1

（1）

2（4）

３（7）

１

２

3

1

２

３

1（20）

2（３5）

３（50）

2

3

1

３

1

2

1（1.５）

2（2．5）

3（3.５）

３

１

2

2

3

１

０.00

17.０

2４．０

12.0

４7.0

2８.０

1.00

18.0

42．0

试验指标为液化率，用yi表示，列于表6-６和表7-1的最后一列。

表7－1　试验方案及结果分析

试验号

因素

试验结果

液化率（％）

A

Ｂ

Ｃ

D

1

2

3

４

5

6

7

８

9

1（１0）

１

1

2（5０）

2

2

3（9０）

３

3

1

（1）

2（4）

3（7）

1

２

3

1

2

３

１（２0）

2（３5）

3（50）

2

3

1

3

1

2

1（1.5）

2（２.5）

3（3.5）

３

1

２

2

3

１

０.00

17.０

24.0

１2.0

47．０

28.0

1．0０

18.0

42.0

K1

K2

K3

4１.0

87．０

61.0

１3.0

８2．0

94．0

４6．0

71．０

7２．０

89.０

４6.0

５４．0

∑＝189.0

１３．7

29.0

2０.3

4.3

２7.3

31.３

15.3

2３.7

24.０

２9.７

15.3

18．0

优水平

A2

Ｂ３

C3

D1

Rｊ

15.３

27.０

８.7

１４.4

主次顺序

BAＤC

计算示例：

因素A的第１水平Ａ1所对应的试验指标之和及其平均值分别为：

KA１=ｙ１+y２+ｙ3＝0+１７+２4=４1,

KA1=１3．7

同理，对因素Ａ的第2水平Ａ２和第３水平A3，有

ＫA2=ｙ4+ｙ5+y6=１２＋47＋28=87,

KＡ2=2９

KA３＝y７+y8＋y９=１＋18+42＝61，

KＡ3=20.３

由表7－１或表6－６可以看出，考察因素A进行的三组试验中（Ａ1,A2,Ａ3）,B、Ｃ、D各水平都只出现了一次,且由于B、C、Ｄ间无交互作用,所以B、C、D因素的各水平的不同组合对试验指标无影响，因此，对A1、Ａ2和A３来说,三组试验的试验条件是完全一样的。

假如因素A对试验指标无影响，那么

应该相等，但由上面的计标可知，

实际上并不相等,显然,这是由于因素A的水平变化引起的，因此，

的大小反映了Ａ1、A2和A3对试验指标影响的大小。

由于液化率y越大越好，而

所以可判断A2为因素A的优水平。

同理，可判断因素B、C、D的优水平分别为B3、C３、Ｄ1。

所以，优水平组合为A２B3Ｃ3D1,即最优工艺条件为加水量A２=５0ml/10０g、加酶量B３=7ｍl/１00g、酶解温度C３=5０。

C和酶解时间D1=1.5小时。

二、确定因素主次顺序

极差Rj按定义计算，如

同理可求出RC和RD.　计算结果列于表7－１中。

比较Rｊ值可知RB>ＲA＞ＲD>RC，所以试验因素对试验指标的影响的主次顺序为BAＤC。

即加酶量影响最大,其次是加水量和酶解时间,而酶解温度的影响最小。

三、绘制因素与指标趋势图

为了更直观地反映因素对试验指标的影响规律和趋势,用因素的水平作横坐标，试验指标的平均值（

）作纵坐标,画出因素与指标的关系图（即趋势图）,如图7－2所示.（p1３7）

趋势图可为进一步试验时选择因素水平指明方向.如对因素A,由图7-２可见,Ａ2水平时,指标最高,但若能在A2附近再取一些水平（如４0、6０）作进一步试验,则有可能取得更高的指标;对D因素,若能取一些比Ｄ1更小的水平（如1.0和0.５）作进一步试验,也有可能得到更好的结果.

以上三个步骤即为极差分析的基本程序与方法.

四、说明与讨论

1、计算结果的检验:

每一列的Kj之和应等于全部试验结果（即指标值）之和,即

，m为水平数,n为试验总实施次数．

2．因素的最优水平组合,在实际处理中是灵活的,即对于主要因素,一定要选最优水平;而对次要因素,则应权衡利弊,综合考虑其它条件进行水平选取,从而得到最符合实际生产的最优或较优生产工艺条件．

3.例6－2的最优工艺条件A2Ｂ３C３D１并不在实施的9个试验之中.这表明优化结果不仅反映了已做的试验信息,而且反映了全面试验信息.因此,正交试验设计的部分实施方案反映了全面试验信息.

４．例６－2得出的最优工艺条件，只有在试验所考察的范围内才有意义,超出这个范围，情况就可能发生变化。

另外,只能说是“较优工艺条件”，而不能说是“最优工艺条件”.最好能根据趋势图做进一步试验，找出最靠近最优的工艺条件．

5.对已确定的最优工艺条件（如例6-2的A2B3C3Ｄ1）进行重复试验,验证其试验指标是否最优.

7.２多指标正交试验设计及其极差分析

在实际生产和科研试验中,所要考察的指标往往不止一个,这一类的试验设计叫做多指标试验设计.在多指标试验设计中,各指标之间可能存在一定的矛盾,如何兼顾各个指标，找出使每个试验都尽可能好的试验条件呢?

换言之，应如何分析多指标试验设计的结果呢?

常用的有两种方法：

综合平衡法和综合评分法.下面举例说明综合平衡法的分析方法.

　这种方法在试验方案安排和各指标计算分析方法上，与单指标试验完全一样.其步骤是先分别找出各个指标最优或较优的生产条件，然后将这些生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的生产条件.

例7-1在油炸方便面的生产中,主要原料质量和主要工艺参数对产品的质量有影响。

今欲通过正交试验确定最佳生产条件。

一.试验方案设计

1．确定试验指标

评价方便面质量好坏的主要指标是:

脂肪含量（越低越好）,水分含量（越高越好）和复水时间（越短越好）。

2．挑因素，选水平，列出因素水平表

根据专业知识和实际经验,确定试验因素和水平，如表7-２所示。

表７-2　　因素水平表

水平因素

湿面筋值（%）

Ａ

改良剂用量（％）

Ｂ

油炸时间（ｓ）

C

油炸温度（︒C）

Ｄ

1

2

3

28

32

36

0.05

0．075

0.1０

70

75

8０

１５0

15５

1６0

3.选正交表,设计表头,编制试验方案

本试验是四因素三水平试验，不考虑因素间的交互作用，因此,可应选L9（34）安排试验，表头设计和试验方案见表7-3（ｐ1４０）。

按上述方案实施后,将每一项试验指标都记录下来，见表7－3。

注：

对极差分析可以这样选正交表,但对方差分析应留有空列，以便估计试验误差.

表７-3试验方案及结果分析

试验号

因　素

试验结果

A

B

C

Ｄ

脂肪（%）

水分（％）

复水时间（s）

1

2

3

4

５

6

７

8

9

1（28）

1

1

2（3２）

2

2

3（36）

3

3

１（０.0５）

2（0.075）

３（0.10）

1

2

３

1

2

３

3（80）

1（７0）

2（75）

２

３

1

1

2

３

2（155）

1（150）

3（1６0）

1

3

2

3

２

1

24.8

22.5

２3.6

23.8

２2.4

1９.３

18.4

19.0

20.7

２．1

3.8

２．0

2.8

1.7

２.７

2.５

2．0

2.3

3.5

3.７

3．0

３．０

2.２

2.8

3.0

2.7

3.6

脂肪含量

K1

Ｋ2

K3

7０.９

6５.5

58．1

67.0

63.0

63.6

60.2

6６．4

6７.9

67.0

63.１

64.4

∑=194．5

23.6

２1.8

１9.4

22.3

21.3

21.２

２0.1

2２.1

22.6

２2.３

２1.０

21.５

R

４.２

1.1

2.５

1．3

水分含量

Ｋ1

K２

K3

７.9

7.2

６.8

7.4

7.5

6.9

9.0

6.8

６．1

8．9

６.8

6.2

∑＝21．9

2.６3

2．4０

2.2７

２．47

2．５0

2.30

3．０0

2.２７

2.０3

２.9７

2.27

２.0７

R

0.３６

0.20

0．9７

0.90

复水时间

K1

Ｋ２

K3

10.2

8.0

９.3

9.5

8.6

9.4

9．5

8.7

9.３

10.3

9.0

8．2

∑=27.5

3.４０

２.67

3．１0

3.17

２.87

3．13

3.1７

2．90

3.1０

3.4３

３.00

2.７3

Ｒ

０.7３

０.30

０．27

0.70

二．试验结果分析

１.计算每列各水平下每种试验指标的数据和（K1，K2，K3），及其平均值（

），并计算极差R，填入表７-3中。

２.画出因素与各种指标的趋势图,如图7-3所示（p140）。

3.按极差大小列出各指标下各因素主次顺序:

各因素主次顺序表

试　验指　标

主－-→次

脂肪含量（%）

ＡＣD　B

水分含量（%）

CDＡB

复水时间（s）

ＡD　ＢC

4．初选最优工艺条件

根据各指标下的平均数据和

，初步确定各因素的最优水平组合为：

　对脂肪含量（%）：

A３Ｂ3C1Ｄ2　　　　　（脂肪含量越低越好）

　对水分含量（%）:

Ａ1B2Ｃ１D1　　　　　　　　（水分含量越高越好）

对复水时间（s）:

Ａ2B２C2D３　　　（复水时间越短越好）

５．综合平衡确定最优工艺条件（难点）!

　　　由于三个指标单独分析出来的最优条件并不一致，所以必须根据因素对三个指标影响的主次顺序，综合考虑，确定出最优条件。

首先，把水平选取上没有矛盾的因素的水平定下来,即如果对三个指标影响都重要的某一因素,都是取某一水平时最好,则该因素就是选这一水平。

在本试验中无这样的因素，因此我们只能逐个考察每一因素。

对因素A:

从主次顺序来看,对脂肪含量和复水时间的影响都排在第一位为主要因素，而对水分含量的影响则排在第三位,属次要因素，因此,应以主要因素为主选因素的水平。

从初选的最优水平组合中可以看出，对脂肪含量选Ａ３为好，而对复水时间，则选Ａ２为好。

因为二者不一致，所以还须根据试验结果分析确定选A2还是A３。

从表7-3可知,当取A２时,复水时间比取A3时缩短１6.1%（有利），即[（２.６７－3．10）÷2．6７]×1００%=-１6.1%，而脂肪含量只比取A3时增加11.0%（不利）,即　［（21．８－19．4）÷２１.８］×１00%=11.0%，且从水分含量指标来看，取Ａ2也比取A３时更好,因此,应选取A2水平。

注:

当取Ａ3时，脂肪含量比取A２时降低１２．４%（有利）,即（19.４－2１．８）/19.4×1０0%=－１2.4%,复水时间比取Ａ2时增加1３．9%（不利），即（３．10－2.67）/3.１０×100%=13.9%。

综合平衡

A

不　利

有利

Ａ2

11.0%

1６．1%

A３

13.9%

12.4％

∴对“有利”部分,Ａ２>Ａ３;对“不利”部分,A2＜A３,故应选A２!

对因素B:

从主次顺序表中可见,对脂肪含量和水分含量的影响均排在最后,属次要因素;对复水时间的影响排在第三位,所以，应以复水时间这一指标来考虑。

再从初选最优水平组合中可知，对复水时间选Ｂ２为好，故Ｂ应取B2。

　对因素C：

从主次顺序表中和初选最优水平中可知,C对水分含量的影响排在第一位，对脂肪含量的影响排在第二位，且都是取Ｃ１为好;而对复水时间的影响则排在最后一位,属次要因素，故C应取C1。

　对因素D：

对水分含量和复水时间的影响均排在第二位；而对脂肪含量的影响则排在第三位，属次要因素。

对复水时间而言，选Ｄ3较好;而对水分含量而言，则选Ｄ１为好。

所以,D应选Ｄ1或D3。

但取D1时，从表7－3可见，虽然水分含量最高，但复水时间最长,并且脂肪含量最高，而D对这两项指标的影响也是比较主要的（在主次顺序表中排在第二、三位）,综合考虑，D应选D3。

〔此时，复水时间最短，脂肪含量接近（K3与K2很接近）,对这两个指标都有利；但水分含量此时低,不利〕---这是书上的解释方法!

!

!

以上分析方法称为综合平衡法。

所以,本试验的较优工艺条件为

。

由因素水平可知，此时湿面筋值为32%,改良剂用量为0．075％,油炸时间为70s,油炸温度为

．最后,应在该条件下,进行验证试验,看其指标是否在所有试验中为最优．

讨论:

上述对选D1还是选D3的讨论，侧重于定性.下面，从完全定量的角度讨论如何选Ｄ的水平.

选Ｄ1与选D3优缺点的比较.　　　综合平衡

选D1时水分含量:

（有利）

复水时间:

（不利）

　　　脂肪含量:

（不利）

选D3时水分含量:

（不利）

　　　复水时间:

　（有利）

　　　脂肪含量:

（有利）

由此可见,选D1时,“有利”＞“不利”；选Ｄ3时,“不利”＞“有利”.并且Ｄ1　（有利）>Ｄ3（有利之和绝对值），Ｄ1（不利之和）

最后,应该再进行A2B2Ｃ1Ｄ1和Ａ2B2C1D３两次试验,由试验结果决定D1好还是D3好!

实践是检验真理的唯一标准！

7.3混合型正交表的试验设计极差分析

前面讨论的都是水平数

相同的正交试验设计.但在实际工作中,有些试验受到设备、原材料和生产条件等限制.某些因素的水平选择受到制约，或者在有些试验中,要重点考察某个（或某些）因素需要多取几个水平,这时就会遇到水平数不同的正交试验设计.在这种情况下，通常有三种解决方法:

一是直接选用合适的混合型正交表;二是采用拟水平法；三是采用拟因素法.我们现在只讨论第一种方法,即使用混合型正交表

进行正交试验设计.

例7-2　某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关,为确保产品质量，提出工艺要求。

现通过正交试验设计寻求理想的工艺条件。

一.试验方案设计

1.确定试验指标

本试验的指标为油炸膨化食品的体积,体积越大越好.

2.挑因素、选水平、制定因素水平表

根据专业知识,制定因素水平表如7－4所示,因素A取4个水平,因素B和Ｃ各取2个水平,所以属于水平数不相等的正交试验设计．

表7-4　　因素水平表

水平　因素

油炸温度（︒Ｃ）

A

物料含水量（%）

B

油炸时间（s）

C

1

2

3

4

210

220

２30

240

2.０

4.0

3０

4０

3．选正交表、设计表头、编制试验方案

本试验宜选用L8（41×2４）正交表安排试验,表头设计时,把Ａ因素放在第一列,其余两个因素可随意安排在四个二水平列中,比如依次排在第二、三列中,把所安排因素的各列的水平数字后标上相应因素的具体水平值,即得出试验方案,如表7－5所示.

按表7－5试验方案实施后,所得试验结果列于表7－５中的最后一列．

表7－5试验方案及结果分析

试验号

油温Ａ

含水量B

时间C

体积xi

（ｃｍ3/10０ｇ）

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

1（210）

1

2（2２0）

2

3（230）

３

4（240）

4

1（2.0）

２（4.0）

１

2

1

2

1

2

1（30）

２（40）

1

２

2

1

2

1

1

2

２

１

１

2

2

1

1

2

2

1

2

１

1

2

210.0

２０8．0

215.0

230.0

251.0

２47．0

23８.0

230.0

K１

K２

K3

K4

418.0

４45.0

４９8．0

４６８.0

91４.0

９15.０

９02.0

927．0

∑＝１829.0

２09.０

222．５

24９.０

２34．0

22８.５

228.75

225.5

2３１.75

R

40．０

０.25

6.２５

25.46

０.355

8．87５

二.试验结果分析

1.计算各列各水平下的K、

及Ｒ

由于各列的水平数不完全相同,所以K和

的计算略有差异.

第1列:

由于有四个水平数，所以要计算四个Ｋ与

每个Ｋ由二个数据相加得到,因此

＝K/2.

例如：

第2、３列:

由于只有两个水平,所以只要计算两个K与

每个K由四个数据相加得到，因此

=K/４.

例如:

按上述方法计算出各列各水平下的Ｋ、

以及Ｒ值,列于表７-5中.

2.计算R的折算值R’（极差R的折算）

当因素的水平数相同时,因素的主次顺序完全由Ｒ决定.但当因素的水平数不同时，直接比较R是不行的.这是因为,若两个因素对试验指标有影响,一般来说,水平数多的因素极差可能大一些.因此，要用一个系数把极差R折算后才能作比较.极差的折算公式如下:

式中

--折算后的极差;

　R--因素的极差；

r--该因素每个水平试验的重复数,r=

;

d－-折算系数，与因素的水平数有关，其值见表7-６。

表7-６折算系数表

水平数ｍ

2３　４　56　　７　８　9　　10　

折算系数d

0.７10.520．450.400.370.３5　0．340.320．31

本例中,Ｒ的折算如下：

计算结果列于表７-５中．

3.根据R’大小确定因素的主次顺序

主--〉次

AＣB

即油炸温度对实验指标的影响最大,其次是油炸时间，而物料含水量的影响最小。

４．画出因素指标趋势图，如图7-4所示（p1４６）

5.选各因素的最优水平及最优水平组合

　比较各因素各水平下的

值（本例中

越大越好），并参考因素指标趋势图，得出最优水平组合为Ａ3B２C2或A３B1Ｃ2，即油炸温度230摄氏度,油炸时间40秒，物料含水量对试验指标影响很小,故取2％或4%都可以,视具体情况而定。

由表７-5可见，若最优水平组合A3B１C2，则该试验即表中的第5号试验,实验指标值即膨化体积为251.0㎝3/１00ｇ，为表中所列最大值;若最优水平组合为A３B2Ｃ２,则需再实施一次该水平组合下的试验，作为验证。

7.4考察交互作用的正交试验设计及极差分析

一、交互作用的概念　

前面介绍的正交试验设计与试验结果的分析方法,都是指因素间没有（或不考虑）交互作用的情况，实际上，在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生影响。

所以,因素对试验产生的总效果,是由每一个因素对试验的单独作用再加上各个因素之间的搭配作用决定的。

这种因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用,称为交互作用。

例如，我们要考虑化学反应的温度（A）与时间（B）对产品收率的影响,温度和时间都取二个水平，即

和

。

在各AｉＢj组合条件的平均产品收率,可能有如下三种情况:

（1）不论B因素取哪个水平,A2水平下收率总比A1水平高1０;同样，不论Ａ因素取哪个水平，Ｂ2水平下的收率总比Ｂ１水平下高5。

在这种情况下，一个水平的好坏或好坏程度不受另一个因素水平的影响，这种情况称为因素A与B之间无交互作用。

（２）在B1水平下Ａ２比Ａ1的收率高，但在B2水平下，A１比A2的收率高。

这种一个因素水平的好坏或好坏程度受到另一因素水平制约的情况,称为因素A由于因素B存在交互作用,一般用A×B表示。

（３）不论Ｂ因素取哪个水平,A2水平的收率总比A1水平下高,但高的程度不等,这也说明因素A与B存在交互作用。

Ａ1

A2

B1

7５

85

Ｂ2

8０

90

（1）A与B间无交互作用（平行线）

A1

A2

Ｂ1

7５

８5

B2

80

6５

（2）A与B间有交互作用（A×B）

Ａ1

A２

B1

75

85

B2

80

95

（3）A与B间存在交互作用（A×Ｂ）

图７-４A与B间的交互作用情况

事实上，因素之间总是存在着交互作用的，这是客观存在的普遍现象,只不过交互作用的程度不同而已。

一般的，当交互作用很小时，就认为不存在交互作用。

因素间的交互作用对试验指标的影响,可能是正的，也可能是负的。

有人说:

“中国人一个人像一条龙，三个人像一条虫；日本人一个人像一条虫,三个人像一条龙。

”这说明中国人之间的交互作用常常产生负面效应。

（一个和尚挑水喝,二个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。

团结就是力量，集体主义精神）

在试验设计中，表示因素A、Ｂ间的交互作用记作A×Ｂ,称作一级交互作用;表示因素Ａ、B、C之间的交互