用图解法解应用题概要.docx
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用图解法解应用题概要
用图解法解应用题
（一）
例1乐乐比丫丫大5岁，洋洋比乐乐小2岁，那么丫丫和洋洋相差多少岁？
【分析】根据题意，我们可以画一个线段图：
很明显，丫丫和洋洋相差5－2＝3岁。
例2朝阳学校三年级四班开展集邮活动，阿呆有92张邮票，笨笨有54张邮票。
问阿呆给笨笨多少张邮票，才能使两人的邮票数相等？
【分析】从下面的线段图可以清楚地看到：
阿呆给笨笨的邮票数，是阿呆与笨笨邮票的相差数的一半，因此要求本题的解，只要将他们邮票的相差数平均分成两份，每一份就是阿呆给笨笨的邮票数。
（92－54）÷2＝19（张）
即阿呆要给笨笨19张邮票，才能使两人的邮票数相等。
通过例2的分析，可以看出画线段图既能充分一线出题中的已知条件，又能形象地把数量关系展示出来，帮助我们很快地找到解题的捷径。
例3把两块一样长的木板像右图这样钉在一起，成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米。
这两块木板各长多少厘米？
【分析】把长度相等的两木板的一端钉起来，钉在一起的长度部分就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16＝136（厘米），每块木板的长度就是136厘米的一半。
【解】（120＋16）÷2＝68（厘米）
答：
这两块木板各长68厘米。
【诀窍】类似这样的问题，是要把重复的部分再加一次，求出原来没有重复大的总长度。
当你觉得这样的问题不知如何思考的时候，可以先画出图，借助图形进行思考是一种很好的办法。
例4兄弟俩的年龄和是35岁，哥哥比弟弟大5岁，问哥哥和弟弟各多少岁？
【分析】还是用线段图来帮助我们分析：
从图中观察出，如果从35岁中去掉5岁，就可以得到两个弟弟的年龄，而列式得：
（35－5）÷2＝15（岁）（弟弟的岁数）
15＋5＝20（岁）（哥哥的岁数）
验算：
15＋20＝35（岁）20－15＝5（岁）
所以哥哥的年龄是20岁，弟弟的年龄是15岁。
还可以这样分析，如果35岁加上5岁，就可以得到两个哥哥的年龄，则：
（35＋5）÷2＝20（岁）（哥哥的岁数）
20－5＝15（岁）（弟弟的岁数）
例5陈红喜爱集邮，她的中国邮票枚数是外国邮票的3倍，中国邮票比外国邮票多86枚。
陈红有中国邮票多少枚？
外国邮票多少枚？
【分析】将中国邮票的枚数看作1倍数，则中国邮票的枚数是这样的3倍数。
（如图）
从线段图上可以看出，中国邮票的枚数比外国邮票多了3－1＝2（倍），外国邮票的2倍是86枚，所以用86÷2＝43（枚）就可求出外国邮票的枚数，再用43×3＝129（枚）就可得到中国邮票的枚数了。
【解】
外国邮票：
86÷（3－1）＝43（枚）
中国邮票：
43×3＝129（枚）或43＋86＝129（枚）
答：
陈红有中国邮票129枚，外国邮票43枚。
【诀窍】解答差倍问题与和倍问题相类似，常甬道下面的公式：
小数（1倍数）＝差÷（倍数－1）
大数（几倍数）＝小数＋差
或大数＝小数×倍数
例6便民水果店运来的苹果比梨多380千克，当苹果卖出一半时苹果比梨少180千克，问苹果和梨各运来多少千克？
【分析】根据题意先画出示意图。
从示意上可以清楚地看出，苹果数量的一半正好是180千克与380千克的和，乘以2就是苹果的重量，苹果重量减去380千克就是梨的重量。
（180＋380）×2
＝560×2
＝1120（千克）……苹果的重量
1120－380＝740（千克）……梨的重量
答：
运来苹果1120千克，梨740千克。
〖作业题〗
1．甲仓存粮27吨，乙仓存粮23吨，甲仓运往乙仓粮食多少吨，两仓粮食数量相等？
2．小王、小张共买了20本书。
如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本，，书。
问小王、小张各买了多少本书？
3．把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米。
原来两段纸条各长多少厘米？
4．三
（1）班和三
（2）班共有学生124人，如果从三
（2）班调2人到三
（1）班，两班学生同样多，三
（1）班、三
（2）班原来各有学生多少人？
5．有两根木棍放在一起（如下图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
问另一根木棍长多少厘米？
6．伟达水果店运进的苹果比橘子多265千克，当苹果卖出去一半时苹果比橘子少125千克，求运进的苹果和句子各多少千克？
八、用图解法解应用题
（二）
例1学校买来2把椅子和1张桌子，共用180元，桌子的单价比椅子的单价贵30元，每张桌子和每把椅子各是多少元？
【分析】用线段图表示题中的条件与问题。
从图中可以看出如果去掉桌子比椅子贵的30元，就可以得到椅子的价钱。
总钱数依然会相应地减少30元，是180－30＝150元。
这150元就相当于3把椅子的单价，=。
求出椅子的单价，再根据每张桌子比每把椅子队30元可以求出桌子的单价。
【解】
180－30＝150（元）150÷3＝50（元）
50＋30＝80（元）
答：
每张桌子80元，每把椅子50元。
【诀窍】画线段图是分析应用题时常用到的方法。
我们可以根据题意，先画线段图来反映题目的已知条件和所求问题，再根据数量的变化情况，相应地移动或删除线段，从而找到解题的突破口，最终达到顺利解题的目的。
例2李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。
李奶奶原来有多少个鸡蛋？
【分析】根据题意，画出线段图：
从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为65＋10＝75（个），那么上午卖出后共剩下鸡蛋75×2＝150（个），150个鸡蛋再加上10个就是总数的一半，所以总数的一半为150＋10＝160（个），李奶奶原有160×2＝320（个）鸡蛋。
【解】（65＋10）×2＝150（个）（150＋10）×2＝320（个）
答：
李奶奶原来有320个鸡蛋。
【诀窍】解答原问题常用的方法是逆推法。
像这种与“一半”有关的问题，在解答时要准确地找到一半的数量是多少，再通过乘以2的方法求得原来的数量。
有的时候，这种方法在一道题中还要多次运用。
例3把3个边长2厘米的正方形拼成一个大长方形，大长方形的周长比原来3个正方形周长的和少多少厘米？
【分析】把3个边长2厘米的正方形拼成一个大长方形。
可以看出长方形的长是2×3＝6（厘米），这样可以求出长方形的周长：
（2×3＋2）×2＝16（厘米），原来3个正方形的周长之和是2×4×3＝24（厘米）。
题目所求的问题是：
24－16＝8（厘米）。
这种方法虽然解答了这个问题，但是过程稍复杂了一些。
我们可以把拼成的长方形周长和原来3个正方形的周长比较，发现长方形的周长比原来3个正方形的周长之和少了4条边的长度。
因为每条边长度为2厘米，所以共减少了8厘米。
【解】
方法一：
2×4×3－（2×3＋2）×2＝8（厘米）
方法二：
2×4＝8（厘米）
答：
大长方形周长比原来3个正方形周长的和少8厘米。
【诀窍】由于图形拼合时，是将两条相等的边拼在了一起，所以拼成图形的周长要比原来图形周长的和减少。
每拼一次就要减少2条拼合边的长度。
例4有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4倍。
求两袋玉米原来各重多少千克？
【分析】根据题意，画出线段图：
从图上可以看出，小袋玉米吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重4＋56＝60（千克）；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小袋现有的玉米重量看作1倍数，大袋比小袋多的60千克正好相当于现有小袋的4－1＝3倍。
这样就可以按“差倍问题”的公式进行解答了。
【解】（56＋4）÷（4－1）＋4＝24（千克）
24＋56＝80（千克）
答：
大袋原有玉米80千克，小袋原有玉米24千克。
【诀窍】类似这样的差倍问题，不能死套公式，而是要认真分析，找到对应的差与倍数，再利用公式求大数与小数。
例5一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时，问火车实际每小时行驶多少千米？
【分析】由这列火车早上5时出发，计划3时到达，可知，这列火车原计划行驶12＋3－5＝10（小时），用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得到甲地到乙地的距离为120×10＝1200（千米），火车晚点2小时，说明火车实际行驶了10＋2＝12（小时），用1200÷12＝100（千米），就可得到火车实际每小时行的千米数。
【解】12＋3－5＝10（小时）12×10＝1200（千米）
10＋2＝12（小时）1200÷12＝100（千米）
答：
火车实际每小时行驶100千米。
【诀窍】行程问题中有三个重要的关系式：
路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度
这三个关系式是解答行程问题的基本依据。
例6张大伯家养了一些鸡，其中黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡的2倍。
白鸡、黑鸡、黄鸡共有多少只？
【分析】根据题意先画出示意图。
已知黄鸡比白鸡少18只，又知白鸡只数是黄鸡的2倍，可知黄鸡正好是18只，黑鸡有（18－13＝）5只，白鸡有（18×2＝）36只。
18－13＝5（只）……黑鸡
18×2＝36（只）……白鸡
36－18＝18（只）……黄鸡
5＋18＋36＝49（只）
答：
白鸡、黑鸡、黄鸡共有49只。
〖作业题〗
1．小强买了1本大字本和4本练习本，共付给售货员52角，每本大字本比练习本贵7角，每本大字本和每本练习本各是多少角？
2．有一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少5米，还剩下17米。
这捆电线原来有多少米？
3．把3个边长是3厘米的正方形拼成一个大长方形。
大长方形的周长是多少厘米？
4．有两箱玩具，第一箱比第二箱多60只，如果从第二箱中取出3只，这时第一箱的只数是第二箱的8倍，求两箱玩具原来各有多少只？
5．一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4点到达乙地。
但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？
6．李大伯家养了一些鸡，其中黄鸡比黑鸡多20只，白鸡比黄鸡多15只，白鸡的只数是黑鸡只数的2倍，李大伯家一共养了多少只鸡？
九、用例推法解应用题
（一）
例1某数加上6，乘以6，减去6后，再除以6，结果还是6。
这个数是多少？
【分析】我们从最后的结果是6倒推回去。
这个数如果没有除以6时应该是多少？
没有减去6时应该是多少？
没有乘以6时应该是多少？
没有加上6时应该是多少？
这样依次逆推回去，就可以求出某数。
【解】
（1）如果没有除以6时，被除数应该是：
6×6＝36
（2）如果没有减去6时，被减数应该是：
36＋6＝42
（3）如果没有乘以6时，另一个因数应该是：
42÷6＝7
（4）如果没有加上6时，某数是：
7－6＝1
综合算式：
（6×6＋6）÷6－6
＝（36＋6）÷6－6
＝42÷6－6
＝7－6
＝1
答：
某数是1。
【说明】为了保证解题的结果正确，检验时可按原题的叙述顺序进行列式计算，看最后的结果是否“结果还是6“。
若是等于6，则解题正确。
例2一个数加上6后，乘以3，再减5得22。
求这个数。
【分析】从结果22出发，一个数减5后得22，那么如果没有减5时是多少呢？
可以推算出减5的这个数是22＋5＝27；而27是乘以3后得到的结果，因此在没有乘以3之前的数是27÷3＝9；而9是一个数加上6后的结果，因此在未加上6之前的数是:
9－6＝3。
【解】
（1）如果没有减5时是多少？
22＋5＝27
（2）如果没乘以3时是多少？
27÷3＝9
（3）如果没有加上6时是多少？
9－6＝3
综合算式：
（22＋5）÷3－6
＝27÷3－6
＝9－6
＝3
例3小林用压岁钱的一半买了一个语言复读机，又用余下的一半钱没了几本课外书，这时他还剩下150元。
你知道小林一共有多少钱吗？
【分析】
从线段图可以看出，还剩下的150元和余下的一半一样多，所以买了语言复读机后余下的就是150×2＝300（元），这余下的300元也就是压岁钱的一半，所以小林压岁钱一共是300×2＝600（元）。
【解】
（1）小林买课外书前还有多少钱？
150×2＝300（元）
（2）小林一共有多少压岁钱？
300×2＝600（元）
综合算式：
150×2×2
＝300×2
＝600（元）
答：
小林一共有600元压岁钱。
例4王大妈去储蓄所取款，第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多10元，还剩250元，王大妈有多少存款？
【分析】第二次如果取余下的一半，则剩下存款（10＋250＝）260元。
260元是第一次取款后剩下的一半，可求出第一次取款后剩下（260×2＝）520元。
若第一次取款取存款的一半，余下（520＋20＝）540元，王大妈的存款数为（540×2＝）1080元。
【解】 [（250＋10）×2＋20]×2
＝[260×2＋20]×2
＝540×2
＝1080（元）
答：
王大妈有存款1080元。
例5食堂买回一袋大米。
第一天用去的重量比总数的一半少12千克。
第二天用去的比剩下的一半少12千克，结果还剩下43千克。
食堂买回的这袋大米是多少千克？
【分析】结合下图与题目的条件可知，如果第二天再多用去12千克，剩下的一半是（43－12＝）31千克，这样，第一天用去后剩下的大米重31×2＝62（千克）。
那么，这袋大米一半的重量是62－12＝50（千克），所以，这袋大米的重量是50×2＝100（千克）。
【解】
（1）第一天用去后，剩下的一半的重量是：
43－12＝31（千克）
（2）第一天用去后，剩下的重量是：
31×2＝62（千克）
（3）第一天用去后，剩下的一半是：
62－12＝50（千克）
（4）这袋大米的总重量是：
50×2＝100（千克）
综合算式：
[（43－12）×2－12]×2
＝[62－12]×2
＝100（千克）
答：
食堂买回的这袋大米是100千克。
例6小红、小青、小宁都喜欢动画片。
如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。
已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有多少张？
【分析】三人画片进行交换，其总张数是不会改变的，交换后三人张数相等，那每人应有150÷3＝50（张）。
我们可以从每人的50张画片开始思考，把他给别人的要回来，别人给他的还回去，从而知道他原来的画片张数。
以小红为例，她要把给小青的11张要回来，再把小宁给她的5张还给小宁，所以小红原来的张数应是：
50＋11－5＝56（张）。
【解】150÷3＝50（张）
小红：
50＋11－5＝56（张）
小青：
50－11＋20＝59（张）
小宁：
50－20＋5＝35（张）
答：
小红原来有56张，小青原来有59张，小宁原来有35张。
〖作业题〗
1．一个数加上3，乘以5，再减去8，等于12。
求这个数。
2．某数加上3，乘以3，除以3，减3，结果还是3，求这个数。
3．一卷电线，第一次用去全部的一半多4米，第二次用去了余下的一半，这时还剩30米，这捆电线全长多少米？
4．一桶油，第一次取出了一半多2千克，第二次取出余下的一半多2千克，桶中还剩下6千克。
原来桶中共装多少千克？
5．修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米；第二天修了余下的一半多10米，还剩60米。
这条公路全长多少米？
6．三筐苹果共90千克，如果从甲筐中取出15千克放入乙筐，从乙筐中取出20千克放入丙筐，从丙筐中取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。
甲、乙、丙原来各有苹果多少千克？
十、用倒推法解应用题
（二）
例1 将八个数从左到右排列成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和。
如果第七个数和第八个数分别是81、131，那么第一个数是多少？
【分析】用倒推法解答。
131－81＝50……第六个数
81－50＝31……第五个数
50－31＝19……第四个数
31－19＝12……第三个数
19－12＝7……第二个数
12－7＝5……第一个数
答：
第一个数是5。
例2 三棵树上停着24只鸟，如果从第一棵上飞4只到第二棵上去，再从第二棵树上飞5只鸟到第三棵树上去，那么三棵树上小鸟的只数都相等，第一、二、三棵树上原来各有多少只鸟？
【分析】第一棵树上飞到第二棵树上4只，第二棵树上飞到第三棵上5只鸟后，三棵树上的鸟都相等，每棵树上都有（24÷3＝）8只。
第一棵树上的鸟飞走4只后树上还有8只，原来第一棵树上有（8＋4＝）12只鸟。
第一棵树上的鸟飞到第二棵上4只，第二棵上飞5只鸟到第三棵上后，树上有8只鸟，原来第二棵上有（8－4＋5＝）9只鸟。
第三棵树上原有（8－5＝）3只。
【解】24÷3＋4＝12（只）……第一棵树上原有的鸟
24÷3－4＋5＝9（只）……第二棵树上原有的鸟
24÷3－5＝3（只）……第三棵树上原有的鸟
答：
第一棵树上原有12只，第二棵树上原有9只，第三棵树上原有3只。
例3一位老爷爷说：
“把我的年龄加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁”，这位老爷爷现在有多少岁？
【分析】这是一个还原问题，可用倒推法解决，最后一步运算乘以10结果为100，那么倒回去可算出被乘数为100÷10=10，减去15，差为10；倒回去可算出被减数为10+15=25，除以4，商为25；倒回去可算出被除数为25×4=100，加上12，和为100；倒回去可算出原来的数为100-12=88。
【解】（100÷10+15）×4-12=88（岁）
答：
这位老爷爷现在有88岁。
例4小马虎在做一道加法计算题时，由于粗心，将个位上的4看作8，把十位上的9看作4，结果他算的得数是126。
正确的答案应该是多少？
【分析】要求正确答案，就要知道两个正确的加数。
他看错了的加数是48，得到的和是126。
根据加、减法是互为逆运算的关系，可以求出一个没有错的加数是126－48＝78。
题中一个正确的加数是94，所以，正确的和就可以求出来了。
【解】 126－48＋94
＝78＋94
＝172
答：
正确答案是172。
【说明】他由于粗心，将个位上4看作8，相当于把正确的和多算了4；把十位上的9看作4，相当于把正确的和少算了50。
求正确的和是多少？
同学们，你们不妨用另外的方法解答，请你试一试。
例5张、王、李、赵4个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。
这时4个人的本数相等。
他们原来各有多少本？
【分析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本。
后来4人的本数相等时，每个人的本数是200÷4＝50（本），把交换情况列表如下：
现有本数
给出本数
收进本数
原有本数
张
50
13
2
50＋13－2
王
50
18
13
50＋18－13
李
50
16
18
50＋16－18
赵
50
2
16
50＋2－16
用逆推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。
【解】
（1）张原有读物的本数：
50＋13－2＝61（本）
（2）王原有读物的本数：
50＋18－13＝55（本）
（3）李原有读物的本数：
50＋16－18＝48（本）
（4）赵原有读物的本数：
50＋2－16＝36（本）
答：
张、王、李、赵每人原来读物本数分别为61本，55本，48本，36本。
〖作业题〗
1．上、下两层书一共有70本书，从下层借走28本后，再从上层拿出15本放到下层，这时两层的本数同样多。
上、下两层书架原来各有多少本数？
2．甲、乙、丙三人各有连环画若干本。
如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙给甲15本，那么三人各有连环画35本。
他们原来各有多少本？
3．小刚在做一道加法题时，把加数各为上的9看作6，把十位上的3看作8，结果和是115。
正确的答案是多少？
4．小明在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164。
正确的答案应该是多少？
5．三只笼子里共养了18只兔子，如果从第一只笼子里取出4只放到第二只笼子里，再从第二只笼子里取出3只放到第三只笼子里，那么三只笼子里的兔子就一样多。
求三只笼子里原来各养了多少只兔子？
6．图书管理员在整理图书时，从第一书架中抽出12本书放到第二书架，又从第二书架抽出18本书放入第三书架，再从第三书架中抽出27本放回第一书架，这时三个书架的图书都是45本。
三个书架原来各有图书读本？
鸡兔问题
例1鸡、兔同笼，有35个头，100只脚，有鸡、兔各多少只？
【分析】假设全为兔，找出脚的差数，以鸡换兔，消除差数。
假设全为兔，则应有脚（4×35＝）140只，比实际多了（140－100＝）40只脚，以鸡换兔，消除差数。
以一只鸡换出一只兔，可减少（4－2＝）2只脚，要减少40只脚，必须换（40÷2＝）20只鸡，也就是笼中有29只鸡，进而求出兔有多少只。
【解法一】 （4×35－100）÷（4－2）
＝（140－100）÷2
＝40÷2
＝20（只）……鸡的只数
35－20＝15（只）……兔的只数
假设全为鸡，则有脚（2×35＝）70只，少了（100－70＝）30只脚，以兔换鸡，消除差数。
以一只兔换出一只鸡，脚增加（4－2＝）2只，增加30只脚要换（30÷2＝）15只兔，进而求出兔的只数。
【解法二】 （100－2×35）÷（4－2）
＝（100－70）÷2
＝30÷2
＝15（只）……兔的只数
35－15＝20（只）……鸡的只数
把总脚数除以2，求得总脚数的一半，这时每四只脚的动物（兔）只有两只脚，比它的头数多1，每两只脚的鸡只有一只脚，和它的头数相等，所以总脚数的一半减去总头数就是兔的只数。
总头数减去兔的头数就是鸡的只数。
【解法三】 100÷2－35
＝50－35
＝15（只）……兔的只数
35－15＝20（只）……鸡的只数
答：
有兔15只，鸡20只。
例2鸡和兔关在同一个笼子里，从上面看，共有45个头，从下面看共有146只脚，问笼子中鸡和兔各有多少只？
【分析】题目给出了鸡、兔共45只。
如果假设这45只全是兔子，那么就应该有180只脚。
而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。
为什么呢？
因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。
如果用一只鸡来换一只兔，就要减少2只脚。
那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少个鸡当成了兔子。
显然，34÷2＝17（只）。
所以鸡有17只，兔子有28只。
当然，我们也可以把45只都假设成全是鸡，用类似的方法进行思考。
【解法一】假设全是兔子
鸡：
（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）
兔子：
45－17＝28（只）
【解法二】假设全是鸡
兔子：
（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）
鸡：
45－28＝（只）
答：
鸡有17只，兔子有28只。
【诀
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