二次函数解析式的确定教案.docx

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二次函数解析式的确定教案

二次函数解析式的确定教案

　　0.3二次函数解析式的确定

　　一．知识要点

　　若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式求解析式。

　　若已知二次函数图象的顶点坐标，则应用顶点式，其中为顶点坐标。

　　若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标

　　二.重点、难点：

　　重点：

求二次函数的函数关系式

　　难点：

建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

　　三.教学建议：

　　求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。

　　典型例题

　　例1.已知某二次函数的图象经过点A，B，c三点，求其函数关系式。

　　分析：

设，其图象经过点c，可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。

　　解：

设所求二次函数的解析式为

　　因为图象过点c，∴

　　又因为图象经过点A，B，故可得到：

　　∴所求二次函数的解析式为

　　说明：

当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由c可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

　　例2.已知二次函数的图象的顶点为，且经过点

　　求该二次函数的函数关系式。

　　分析：

由已知顶点为，故可设，再由点确定a的值即可

　　解：

，则

　　∵图象过点，

　　∴

　　∴

　　即：

　　说明：

如果题目已知二次函数图象的顶点坐标，一般设，再根据其他条件确定a的值。

本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。

因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。

　　例3.已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是，求这个二次函数的解析式。

　　分析：

依题意，可知顶点坐标为，因此，可设解析式为顶点式

　　解：

设这个二次函数的解析式为

　　∵图象经过，

　　∴

　　∴所求这个二次函数的解析式为

　　即：

　　说明：

在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大，可设顶点式为解析式。

　　例4.已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。

　　图1

　　分析：

可根据题中图中的信息转化为一般式。

　　方法一：

由图象可知：

该二次函数过，，三点

　　设解析式为

　　根据题意得：

　　∴所求二次函数的解析式为

　　方法二：

由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为

　　设解析式为

　　∵图象过，∴，∴

　　∴所求二次函数的解析式为

　　即

　　方法三：

由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点，

　　设解析式为

　　∵图象过

　　∴，∴

　　∴所求二次函数解析式为：

　　即：

　　说明：

依题意后两种方法比较简便。

　　例5.已知：

抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为，求这个函数的关系式

　　分析：

由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为，，则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式

　　解：

∵顶点坐标为

　　∴对称轴是直线x＝2

　　∵抛物线与x轴两交点之间距离为4

　　∴两交点坐标为，

　　设所求函数的解析式为

　　∵图象过点

　　∴，∴

　　∴所求函数的解析式为

　　例6.已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。

　　分析：

依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶点的纵坐标的值为零，则有：

。

以上两个条件都应满足，可求的值。

　　解：

依题意：

　　由①得

　　由②得：

　　所求函数式为

　　即：

　　例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该抛物线经过点A，B，求其函数关系式。

　　分析：

设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而得到的，故a＝2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。

　　解：

设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a＝2，又它经过点A，B

　　故：

解得：

　　∴所求抛物线的函数表达式为：

　　说明：

本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到

　　例8.如图2，已知点A和点B，第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条

　　图2

　　求证：

△PAB是直角三角形。

　　求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。

　　分析：

中须证，由已知条件：

　　应过P作Pc⊥x轴

　　中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式

　　解：

过P作Pc⊥x轴于点c，

　　由已知易知Ac＝2，Bc＝8

　　∴，解得：

Pc＝4

　　∴P点的坐标为

　　由勾股定理可求得：

　　又

　　∴

　　故△APB是直角三角形

　　解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为：

　　则有

　　∴

　　∴顶点坐标

　　解法2：

由抛物线与x轴交于A，B，

　　可设，又抛物线过点P可求a值

　　解法3：

由A，B

　　可知抛物线的对称轴为

　　可设，将A、B点的坐标代入解析式可求a，的值

　　例9.如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BcB1为一段抛物线，最高点c离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米

　　图3

　　求隧道拱抛物线BcB1的函数表达式；

　　现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？

请说明理由。

　　分析：

由已知可得顶点c的坐标为，B点坐标为，从而可求其函数关系式。

　　假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。

　　解：

如图所示，由已知得oA＝oA1＝8，oc＝8，

　　故c点坐标，B点坐标为

　　设隧道拱抛物线BcB1的函数表达式为，

　　则

　　∴隧道拱抛物线BcB1的函数关系式为

　　设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DE⊥x轴于E

　　当x＝2时，

　　∴D点坐标为，∴DE

　　∵＞7

　　∴该运货汽车能安全通过这个隧道。

　　说明：

要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。

　　本题第小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标，再比较这两点间的水平距离是否大于4。

　　例10.有这样一个问题：

　　已知：

二次函数的图象经过A，B，，求证：

这个二次函数图象的对称轴是直线，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。

　　根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？

若能，写出求解过程，若不能，说明理由。

　　请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

　　分析：

仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式

　　解：

能，过程如下

　　由图象经过点A，得c＝a

　　将图象对称轴为直线看成已知条件，则

　　∵抛物线的对称轴是直线

　　∴

　　∴

　　∵抛物线经过点B

　　∴

　　∴所求二次函数的关系式为

　　可补充条件：

　　说明：

二次函数配方后可变形为，故其图象的对称轴是直线，顶点坐标是

　　第题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为即可。

　　例11.已知四点A，B，c，D，试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？

如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

　　分析：

先求出经过A、B、c的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。

　　解：

设图象经过A、B、c的二次函数为

　　则由图象经过点B，可得c＝6

　　又∵图象经过点A，c

　　解得：

　　∴经过A、B、c三点的二次函数为

　　∵当

　　∴点D在函数的图象上

　　即存在二次函数，其图象同时经过四个点。

　　说明：

探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。