7机械振动习题思考题doc.docx
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7机械振动习题思考题
习题7
7-1.原长为0.5ni的弹簧，上端固定，下端挂一质量为
0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m.现将物体上推，使弹簧缩I口I到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出
振动式。
（g取9.8）解：
振动方程：
x
Acos（t）,在木题中，
kxmg,所以k9.8；
取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.Im时为物体
的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：
A=0.Im,
当t=0时，x=-A,那么就可以知道物体的初相位为兀。
798/
所以:
x0.Icos）
x/98i
B|J：
X）o
7-2.有一单摆，摆长
11.Om,小球质量
m10g,t0时，小球正好经过
0.06rad处，并以角速度
（1）角频率、振动方程：
0.2rad/s|nj平衡位置运动。
设小球的运动可看作筒谐振动，试求：
频率、周期；
（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。
皿取9.8）解:
xAcos（t）我们只要
按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频
率
r8a,3d.
率
0.5IIz，
周期：
T22s；
（2
）
振
动
方
程
可
表
示
为
:
Acos（3.13t）,
3.13Asin（3.13t）
根据初始条件，
sin
0（1,象限）2
3.13A
0（3,象限）4
可
解
得
.
.
227013302.32
A8.8102m,
9
所
以
得
到
振
动
方
程
7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，己知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：
（1）振动频率；
（2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。
解：
（1）由题知2A=10cm,所以
A=0.05rn,选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；由
kxOmg
知
k8
mgx95102
196.,二
V196
14,
振动频率:
7
（Hz）；
（2）物体在初始位置下方8.Ocni处，对应着是
x=0.03m的位置，所以：
scosl3x3/
由
cos2sin21,有：
sin
4
而
sin
v,那么速度的大小为：
4
A0.56m/so
7-4.■—质点沿
x轴作简谐振动,振幅为12cm，周
期为2s。
当t0时，位移为6cm,且向x轴正方向运动。
求：
（1）振动表达式;
（2）t0.5s
时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x6cni,且向轴负方
向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：
（1）由题已知A=0.12m,T=2s,:
.
相位为
x2
A/2处，且向右运动,
2
T
又二0时，xO6cm,vO0,由旋转矢量
而质点2在相位为
43
图，可知：
故
振
动
3
方
程
为
.
.
所以它们的相位差为。
7-6.质量为的密度计，放在密度为
H1的液体
x0.12cos（t
（2）将t=0.5s代入得：
3
）m；
中。
匚知密度计圆管的直径为d。
试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。
并计算周期。
解：
平衡位置：
当F浮
可知浸入水中为a处为平衡位置。
x0.12cos（t）0.12cos0.104m以水面作为坐标原点0,以向上为x轴，质心
的位置
36为x,分析受力：
不管它处在什么位置，其浸没水中，
的部分都可以用ax来表示，所以力
F
F
g/（av
0.12sin（t）
0.12cos0.188msx）S36,利用牛顿定律：
a
0.12
2cos（t）0.12
2cos1.03m/s236gS2
9
于d2x2
再令：
x方向指向坐标原点,
即沿x轴负向；ni（3）由题知，某时刻质点位
A
x02x
6cm,dt
2
2且向x轴负方向运动,如图示，质点从P位置回到
周期为：
T。
平衡位置Q处需要走，建立比例
327-7.证明图示系统的振动为简谐振动。
其频率为:
klk21式：
o2T
2（klk2）hi
5
有：
tSo
67-5.两质点作同方向、同频率的筒谐振动，振幅相等。
当质点1在个质点2在
G时，平衡点为C处。
设此时进入水中的深度为a：
gSamg
xlA/2处，且向左运动时，另一x2A/2处，且向右运动。
求这xlA/2处，且向左运动时，
证明：
两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：
两个质点的位相差。
解：
由旋转矢量图可知：
当质点1在
klxlk2x2klxlk2x2,
111可得:
kklk2
代
入
频
率
计
klk2
所以：
k
klk2
算
式
9
可
得。
.
.
12klm2
klk2
（klk2）m
7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？
物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
7-9.两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：
通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且
A1初相：
1
2
1212
A初相：
，解：
由EPkx,Ekniv,有：
22
222
表明两者处于反相状态，
1
EPkA2cos2（t）,（反相21（2k1）,
2
k0,1,,2）
1122222
EkmAsin（t）kAsinV（AtA）,二合成振动的振幅:
1222
AA2Al；
A
（1）当x时，由xAcos（t）,
合成振动的相位：
；22
2
有：
cot
（,）成振动的方程：
22
x（A2Al）c（ts）o
T2sin（t）,
7-10.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的
振幅为20cni,与第一个振动的位相差为。
若
EPlEk36「・，；E4E4第一个振动的振幅为103cm。
则
（1）第二个振
（2）当
1
E时，2
22
cos（t）sin（t）
EPEkcos（t）
x/2
有：
动的振幅为多少？
（2）两筒谐振动的位相差为多少？
解：
如图，可利用余弦定理:
由图知
2A2A12A22AlAcos30
=0.01m
/.A2=0.1m,
再利用正弦定理:
x
A0.707Aosinsin300
有：
AA2
A
sin1,/.
2A22
说明Al与A2间夹角为兀/2,叩两振动的位相差为兀/2。
111可得:
kklk2
入
频
率
计
klk2
，所以：
k
klk2
算
式
可
得。
.
.
12klm2
klk2
（klk2）in
7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？
物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
7-9.两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：
通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且
Al初相：
1
1212
A初相：
，解：
由EPkx,Ekmv,有：
22
222
表明两者处于反相状态，
1
EPkA2cos2（t）,（反相21（2kI）,
2
k0,1,,2）
1122222
EkmAsin（t）kAsinV（AtA）,二合成振动的振幅:
1222
AA2Al；
A
（1）当x时，由xAcos（t）,
合成振动的相位：
；22
1合
有：
COtS
V3
（,）成振动的方程:
22
x（A2Al）c（ts）o
T2sin（t）,
7-10.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的
振幅为20cni，与第一个振动的位相差为。
若
EPlEk36「・，；E4E4第一个振动的振幅为103cm。
则
（1）第二个振
（2）当
1
E时，2
22
cos（t）sin（t）
EPEkcos（t）
72
有：
动的振幅为多少？
（2）两筒谐振动的位相差为多少？
解：
如图，可利用余弦定理:
由图知
2A2A12A22AlAcos30
=0.01m
AA2=0.1m,
再利用正弦定理:
A0.707Aosinsin300
有：
AA2
A
sin1,
2A22
o
说明A1与A2间夹角为k/2,即两振动的位相差为n/2。
111可得:
kklk2
代
入
频
计
klk2
，所以：
k
klk2
算
式
可
得。
.
12klm2
klk2
（klk2）m
7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？
物体在什么位置时其动能利势能各占总能量的一半？
7-9.两个同方向的筒谐振动曲线（如图所示）
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：
通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且
A1初相：
1
1212
A初相：
，解：
由EPkx,Ekmv,有：
22
222
表明两者处于反相状态，
1
EPkA2cos2（t）,（反相21（2k1）,
2
k0,1,,2）
1122222
EkmAsin（t）kAsinV（AtA）,二合成振动的振幅:
1222
AA2Al；
A
（1）当x时，由xAcos（t）,
合成振动的相位：
；22
（,）成振动的方程:
（A2Al）c（ts）
T2sin（t）,
7-10.两个同方向，同频率的筒谐振动，其合振动的
振幅为20cni,与第一个振动的位相差为°若
EPlEk36「・，；E4E4第一个振动的振幅为103cm。
则
（1）第二个振
（2）当
1
E时，2
22
cos（t）sin（t）
EPEkcos（t）
x/2
有：
动的振幅为多少？
（2）两筒谐振动的位相差为多少？
解：
如图，可利用余弦定理:
由图知
2A2A12A22AlAcos30
=0.01m
/.A2=0.1m,
再利用正弦定理：
A0.707Aosinsin300
，有：
AA2
A
sin1,
2A22
说明Al与A2间央角为n/2,即两振动的位相差为h/2。
111可得:
kklk2
代
入
频
率
计
klk2
，所以：
k
klk2
算
式
9
可
得。
.
.
12klm2
klk2
（klk2）m
7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？
物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
7-9.两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：
通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且
AI初相：
1
2
1212
A初相：
，
解：
由EPkx,Ekmv,有：
22
222
表明两者处于反相状态，
1
EPkA2cos2（t）,（反相21（2k1）,
2
k0,1,,2）
1122222
EkmAsin（t）kAsinV（AtA）,二合成振动的振幅:
1222
AA2Al；
A
（1）当x时，由xAcos（t）,
合成振动的相位：
；22
2
1合
有：
COtS
（,）成振动的方程：
22
x（A2Al）c（ts）。
T2sin（t）,
7-10.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的
振幅为20cni,与第一个振动的位相差为。
若
EPlEk36.\,；E4E4第一个振动的振幅为103cm。
则
（1）第二个振
（2）当
1
E时，2
22
cos（t）sin（t）
EPEkcos（t）
有：
动的振幅为多少？
（2）两简谐振动的位相差为多少？
解：
如图，可利用余弦定理:
由图知
2A2A12A22AlAcos30
=0.01m
A2=0.1m,
再利用正弦定理：
X
A0.707Aosinsin300
有：
AA2
sin
1,•
2A22o
说明Al与A2间夹角为兀/2,叩两振动的位相差为兀/2。
x0处，弹簧振子的势
能为零，系统的机械能为50J,所以该振子的总能量为50J,当振子处于xA/2处时;其势能答：
由题意，在平衡位置的瞬时值为：
12112150kxk（A）
12.5J22244。
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