332 函数的极值与导数47.docx
《332 函数的极值与导数47.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《332 函数的极值与导数47.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
332函数的极值与导数47
※高二文科班数学课堂学习单47※
班级姓名小组
3．3.2 函数的极值与导数
一，学习目标:
1、理解极值的概念2、会求简单函数的极值3，能根据极值求参数的值
二，自学导航：
p93-p96
问题1．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图所示，哪些点是极大值点，哪些点是极小值点？
再思考1：
导数为0的点都是极值点吗？
再思考2：
函数的极大值是否一定比极小值大？
问题2：
（2011·重庆高考）设ƒ（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为ƒ′（x），若函数y＝ƒ′（x）的图像关于直线x＝－
对称，且ƒ′
（1）＝0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数ƒ（x）的极值．
问题3：
已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，.求a、b的值．
再思考：
若将“在x＝－1时有极值0”改为“在x＝－1和x＝3处有极值”，如何求解？
解决此类问题通常是用函数在极值点x=x0处的导数ƒ′（x0）=0来建立关于参数的方程，从而求出参数的值，需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
4，我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
1．如图，函数f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在的函数值都小，
f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x），右侧f′（x）.
则把叫做函数y＝f（x）的极小值点，叫做函数y＝f（x）的极小值．
函数f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在的函数值都大，
f′（b）＝0；而且在点x＝b附近左侧f′（x），右侧f′（x），
则把叫做函数y＝f（x）的极大值点，叫做函
数y＝f（x）的极大值．
2．求可导函数y＝f（x）的极值的方法与步骤：
①求函数的导数f′（x）；②令f′（x）＝0，求出全部的根x0；
③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在这个表格内；
④得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
四，课堂检测：
1．求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；
（2）f（x）＝
.
2．已知函数f（x）＝x3＋ax＋2在x＝1时取得极值，
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在x＝2处的切线方程．
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值
C．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值
D．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值
4．下列函数中，能在x＝0处取得极值的是（ ）
①y＝x3②y＝x2＋1③y＝cosx－1④y＝2x
A．①② B．②③C．③④D．①③
5．函数f（x）＝x2＋
＋2的极小值是（ ）
A．1B．2C．5D．不存在
6.已知函数y＝f′（x）的图像如图所示，给出以下说法：
①函数f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数；②函数f（x）在区间（－1,1）上不是单调函数；③函数f（x）在x＝－
处取得极大值；
④函数f（x）在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________（填序号）．
五，作业
1．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，下列说法错误的是（ ）
A．－2是函数y＝f（x）的极小值点
B．1是函数y＝f（x）的极值点
C．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零
D．y＝f（x）在区间（－2,2）上单调递增
2．函数f（x）＝sinx＋
，x∈（0，π）在极大值是（ ）
A.
＋
B．－
＋
C.
＋
D．1＋
3．已知函数y＝3x－x3在x＝b时有极大值c，则bc＝________.
4．函数f（x）＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
6．已知三次函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1和x＝－1时取极值，且f（－2）＝－4.
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．
※高二文科班数学课堂学习单32※
班级姓名小组
3．3.2 函数的极值与导数
一，学习目标:
2、理解极值的概念2、会求简单函数的极值
二，自学导航：
p93-p96
问题1．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图所示，哪些点是极大值点，哪些点是极小值点？
提示：
x＝0不是极值点．因为x＝0两侧的导数都为正数；x＝x2是极值点，且是极小值点．
再思考1：
导数为0的点都是极值点吗？
提示：
不一定．y＝f（x）是否在x＝x0处取得极值，还要看f′（x）在x0两侧的符号是否异号．例如f（x）＝x3，由f′（x）＝3x2知f′（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点．
再思考2：
函数的极大值是否一定比极小值大？
提示：
极值是一个局部概念，极大值与极小值没有必然的大小关系，因此极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
问题2：
（2011·重庆高考）设ƒ（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为ƒ′（x），若函数y＝ƒ′（x）的图像关于直线x＝－
对称，且ƒ′
（1）＝0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数ƒ（x）的极值．
[自主解答]
（1）因ƒ（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故ƒ′（x）＝6x2＋2ax＋b.
从而ƒ′（x）＝6（x＋
）2＋b－
，
即y＝ƒ′（x）关于直线x＝－
对称，从而由题设条件知－
＝－
，解得a＝3.
又由于ƒ′
（1）＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
（2）由
（1）知ƒ（x）＝2x3＋3x2－12x＋1，
ƒ′（x）＝6x2＋6x－12＝6（x－1）（x＋2）．
令ƒ′（x）＝0，即6（x－1）（x＋2）＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
21
单调递减
－6
单调递增
从而函数f（x）在x1＝－2处取得极大值f（－2）＝21，在x2＝1处取得极小值f
（1）＝－6.
问题3：
已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a、b的值．
[自主解答] ∵f（x）在x＝－1时有极值0且f′（x）＝3x2＋6ax＋b.
∴
，即
解得
或
当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．
当x∈（－∞，－3）时，f（x）为增函数；
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数；
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数．
所以f（x）在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
再思考：
若将“在x＝－1时有极值0”改为“在x＝－1和x＝3处有极值”，如何求解？
解：
f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
∵－1,3是f（x）的极值点，
∴－1,3是f′（x）＝0的两个根，
即－1,3是3x2＋6ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
解得a＝－1，b＝－9.
解决此类问题通常是用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值，需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
[通一类]
4，我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
1．极值点与极值
（1）极小值点与极小值
如图，函数f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0.则把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
（2）极大值点与极大值
函数f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
2．求可导函数y＝f（x）的极值的方法
解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值．
（2）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．
求可导函数f（x）极值的步骤为：
①求函数的导数f′（x）；
②令f′（x）＝0，求出全部的根x0；
③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在这个表格内；
④判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
四，课堂检测：
1．求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；
（2）f（x）＝
.
解：
（1）函数f（x）＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′（x）＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
10
单调递减
－22
单调递增
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f（－1）＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f（3）＝－22.
（2）函数f（x）＝
的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝
，
令f′（x）＝0，得x＝e.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
单调递增
单调递减
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f（e）＝
，没有极小值．
2．已知函数f（x）＝x3＋ax＋2在x＝1时取得极值，
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在x＝2处的切线方程．
解：
（1）由已知f′（x）＝3x2＋a，
且f′
（1）＝0，得a＝－3.
（2）由
（1）得f′
（2）＝9，f
（2）＝4，
∴切点坐标为（2,4），切线斜率为9.
∴y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝9x－y－14＝0.
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值
C．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值
D．如果f′（x0）＝0且在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值
解析：
根据极值的概念，左侧f′（x）>0，单调递增；右侧f′（x）<0，单调递减，f（x0）为极大值．
答案：
B
2．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是（ ）
①y＝x3 ②y＝x2＋1 ③y＝cosx－1 ④y＝2x
A．①② B．②③
C．③④D．①③
解析：
①④为单调函数，不存在极值．
答案：
B
3．函数f（x）＝x2＋
＋2的极小值是（ ）
A．1B．2
C．5D．不存在
解析：
f′（x）＝2x－
，令f′（x）＝0，解得x＝1，当x∈（0,1）时函数单调递减，当x∈（1，＋∞）时函数单调递增，因此x＝1是函数的极小值点，极小值为f
（1）＝5.
答案：
C
5.已知函数y＝f′（x）的图像如图所示，给出以下说法：
①函数f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数；
②函数f（x）在区间（－1,1）上不是单调函数；
③函数f（x）在x＝－
处取得极大值；
④函数f（x）在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法有________（填序号）．
解析：
从图像上可以发现，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数，①正确；当x∈（－1，0）时，f′（x）>0；当x∈（0,1）时，f′（x）<0，所以②正确，③错误；由于f（x）在区间（0,1）上是减函数，在区间（1，＋∞）上是增函数，所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，故④正确．
答案：
①②④
五，作业
一、选择题
1．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，下列说法错误的是（ ）
A．－2是函数y＝f（x）的极小值点
B．1是函数y＝f（x）的极值点
C．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零
D．y＝f（x）在区间（－2,2）上单调递增
解析：
由图像可知f′
（1）＝0，但是当－20，且当10.故1不是函数f（x）的极值点．
答案：
B
2．函数f（x）＝sinx＋
，x∈（0，π）在极大值是（ ）
A.
＋
B．－
＋
C.
＋
D．1＋
解析：
f′（x）＝cosx＋
，x∈（0，π），
由f′（x）＝0得cosx＝－
，x＝
.
且x∈（0，
）时f′（x）>0；x∈（
，π）时f′（x）<0，
∴x＝
时f（x）有极大值f（
）＝
＋
.
答案：
C
二、填空题
5．已知函数y＝3x－x3在x＝b时有极大值c，则bc＝________.
解析：
∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－10，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1，
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.
答案：
2
7．函数f（x）＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
解析：
f′（x）＝
＋2bx＋3＝
，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′（x）＝
＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得
答案：
－2 －
8．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：
y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：
－19
三、解答题
9．已知三次函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1和x＝－1时取极值，且f（－2）＝－4.
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）求函数y＝f（x）的单调区间和极值．
解：
（1）f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由题意得，1、－1是3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
∴，a＝0，b＝－3.再由f（－2）＝－4可得c＝－2.
∴f（x）＝x3－3x－2.
（2）f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），
当x<－1时，f′（x）>0；
当－1当x>1时，f′（x）>0.
∴函数f（x）在区间（－∞，－1）上是增函数；
在区间（－1,1）上是减函数；
在区间（1，＋∞）上是增函数．
函数f（x）的极大值是f（－1）＝0，极小值是f
（1）＝－4.
升级会员 