新课标三维人教B版本数学必修事件与概率.docx
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新课标三维人教B版本数学必修事件与概率
3．1.1&3.1.2 随机现象 事件与基本事件空间
预习课本P91～94，思考并完成以下问题
（1）必然现象和随机现象是如何定义的？
（2）事件分为哪三类？
（3）基本事件和基本事件空间是如何定义？
1．随机现象与随机事件
（1）必然现象与随机现象：
现象
条件
特征
必然现象
在一定
条件下
必然发生某种结果的现象
随机现象
多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现
（2）事件：
①不可能事件：
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果．
②必然事件：
在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果．
③随机事件：
在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．
2．基本事件与基本事件空间
（1）基本事件：
试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件．
（2）基本事件空间：
①定义：
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．
②表示：
基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．
1．下列现象是必然现象的是（ ）
A．一天中进入某超市的顾客人数
B．一顾客在超市中购买的商品数
C．一颗麦穗上长着的麦粒数
D．早晨太阳从东方升起
答案：
D
2．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的是（ ）
A．①② B．②③
C．③①D．②
解析：
选B ①为必然事件；②③为随机事件．
3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是（ ）
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：
选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
4．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________．
答案：
（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）
必然现象、随机现象
[典例] 判断下列现象是必然现象还是随机现象．
（1）将三个小球全部放入两个盒子中，其中有一个盒子里有一个以上的球；
（2）一个射击运动员每次射击命中的环数；
（3）三角形的内角和为180°；
（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口方向．
[解]
（1）三个小球全部放入两个盒子，其中有一个盒子里有一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；
（2）射击运动员每次射击命中的环数可能为1环，2环等，因此是随机现象；
（3）三角形的内角和一定是180°，是确定的，故为必然现象；
（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口方向与a的取值有关，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，故在a≠0的条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．
判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果．
[活学活用]
判断下列现象是必然现象还是随机现象．
（1）在一个装有1个白球，9个黄球的不透明袋子中，任意摸出两球，至少有一个黄球；
（2）一个不透明的袋子中装有5个白球，2个黑球，3个红球，大小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球．
解：
（1）袋中装有1个白球、9个黄球，从中任取2个，一定至少有一个黄球，故是必然现象．
（2）袋中有5个白球，2个黑球，3个红球，从中任取一个，可能是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.
事件类型的判断
[典例] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
（2）三角形的两边之和大于第三边；
（3）没有空气和水，人类可以生存下去；
（4）从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
（5）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解]
（1）购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
（2）所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
（4）任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
对事件分类的两个关键点
（1）条件：
在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
（2）结果发生与否：
有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
（1）我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
（2）抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
（3）同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
（4）没有水分，种子发芽．
解：
（1）我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
（2）抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
（3）同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
（4）没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.
基本事件与基本事件空间
[典例] 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．
（1）写出这个试验的基本事件空间；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？
“x<3且y>1”呢？
（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？
“x＝y”呢？
[解]
（1）Ω＝{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）}．
（2）基本事件的总数为16.
（3）“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：
（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）；
“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：
（1,2），（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4）．
（4）“xy＝4”包含以下3个基本事件：
（1,4），（2,2），（4,1）；“x＝y”包括以下4个基本事件：
（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）．
确定基本事件空间的方法
（1）必须明确事件发生的条件；
（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
[活学活用]
甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）．
（1）写出基本事件空间；
（2）写出事件“甲赢”；
（3）写出事件“平局”．
解：
（1）Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤）（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}．
（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}．
（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}．
[层级一 学业水平达标]
1．同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是（ ）
A．3 B．4
C．5D．6
解析：
选D 有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）共6个基本事件．
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
解析：
选C 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．
3．写出下列试验的基本事件空间：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：
（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．
答案：
（1）Ω＝{胜，平，负}
（2）Ω＝{0,1,2,3,4}
4．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对（x，y），x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
（1）写出这个试验的基本事件空间；
（2）求这个试验基本事件的总数；
（3）写出“第1次取出的数字是2”这一事件．
解：
（1）这个试验的基本事件空间Ω＝{（0,1），（0,2），（1,0），（1,2），（2,0），（2,1）}．
（2）易知这个试验的基本事件的总数是6.
（3）记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{（2,0），（2,1）}．
[层级二 应试能力达标]
1．下面事件：
①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
解析：
选D 三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．
2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
解析：
选C 若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．
3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有（ ）
A．7个B．8个
C．9个D．10个
解析：
选C “点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.
4．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：
选C ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
5．下列给出五个事件：
①某地2月3日下雪；
②函数y＝ax（a>0，且a≠1）在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
解析：
由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
答案：
③⑤ ④ ①②
6．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．
解析：
从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）共10种情况，其中（1,2,4），（1,3,5），（2,3,4），（2,4,5）中三个数字之和为奇数．
答案：
4
7．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝1相切为事件M，用（a，b）表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为___________．
解析：
A＝{－2，－1,0,1,2}，
由直线与圆相切知，
＝1，
所以3a＋4b＝±5，依次取a＝－2，－1,0,1,2，验证知，
只有
满足等式．
答案：
（－1,2），（1，－2）
8．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用（x，y）表示一个基本事件．
（1）请写出所有的基本事件．
（2）满足条件“
为整数”这一事件包含哪几个基本事件？
解：
（1）先后抛掷两次正四面体的基本事件：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），
（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），
（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．
共16个基本事件．
（2）用A表示满足条件“
为整数”的事件，
则A包含的基本事件有：
（1,1），（2,1），（2,2），（3,1），（3,3），（4,1），（4,2），（4,4），共8个基本事件．
9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
（1）写出该事件的基本事件空间Ω；
（2）写出事件A、事件B包含的基本事件；
（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：
（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）．
3．1.3 频率与概率
预习课本P95～97，思考并完成以下问题
（1）什么叫事件A的概率？
其范围是什么？
（2）频率和概率有何关系？
1．概率的统计定义
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率
，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率．记作P（A），范围0≤P（A）≤1.
2．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
1．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为
B．概率为
C．频率为12D．概率接近
答案：
A
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为
，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为（ ）
A．1B.
C.
D．0
答案：
B
3．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是________的（填“合理”或“不合理”）．
答案：
不合理
概率的定义
[典例] 解释下列概率的含义．
（1）某厂生产产品的合格率为0.9；
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[解]
（1）“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
（2）“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
三个方面理解概率
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
1．下列说法正确的是（ ）
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：
选D 一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：
选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
利用频率与概率的关系求概率
[典例] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：
小时）进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500,900）
[900,1100）
[1100,1300）
频数
48
121
208
频率
[1300,1500）
[1500,1700）
[1700,1900）
[1900，＋∞）
223
193
165
42
（1）求各组的频率；
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
[解]
（1）频率依次是：
0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
（2）样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是
＝0.6.
即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
随机事件概率的理解及求法
（1）理解：
概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
（2）求法：
通过公式fn（A）＝
＝
计算出频率，再由频率估算概率．
[活学活用]
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1000
2000
优等品数目
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
（1）计算表中优等品的各个频率；
（2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：
（1）如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1000
2000
优等品数目
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
（2）根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
[层级一 学业水平达标]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：
正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为
.
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指（ ）
A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析：
选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元．
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：
P＝
＝0.03.
答案：
0.03
4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
129
121
击中飞碟的频率
（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：
（1）射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是
＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820,0.793,0.806,0.807.
（2）击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
[层级二 应试能力达标]
1．事件A发生的概率接近于0，则（ ）
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生D．事件A发生的可能性很大
解析：
选B 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是
，某家长说：
“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话（ ）
A．正确B．错误
C．不一定D．无法解释
解析：
选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是
说明了对的可能性大小是
.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
3．下列说法正确的是（ ）
A．事件A的概率为P（A），必有0B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：
选C A不正确，因为0≤P（A）≤1；若A是必然事件，则P（A）＝1，故B不正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选C.
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的
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