东南大学数值分析上机报告完整版Word格式.docx
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从大到小的顺序累加得sn=%f\n'
sn1);
从大到小相加的误差ep1=%f\n'
ep1);
从小到大的顺序累加得sn=%f\n'
sn2);
从小到大相加的误差ep2=%f\n'
ep2);
disp('
================================='
1.3matlab运行程序结果
>
chaper1
100
0.740050
从大到小的顺序累加得sn=0.740049
从大到小相加的误差ep1=0.000001
从小到大的顺序累加得sn=0.740050
从小到大相加的误差ep2=0.000000
10000
0.749900
从大到小的顺序累加得sn=0.749852
从大到小相加的误差ep1=0.000048
从小到大的顺序累加得sn=0.749900
1000000
0.749999
从大到小相加的误差ep1=0.000147
从小到大的顺序累加得sn=0.749999
1.4结果分析以及感悟
按照从大到小顺序相加的有效位数为:
5,4,3。
按照从小到大顺序相加的和的有效位数为:
6,6,6。
从程序的输出误差结果可以看出,按照不同的顺序相加造成的误差限是不同的,按照从大到小相加的顺序就是一个病态问题,而按照从小到大顺序相加的误差很小,并且在从大到小顺序相加的误差随着n的增大而增大。
因此,采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.chapter2Newton迭代法
2.1题目
(1)给定初值及容许误差,编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
(2)给定方程,易知其有三个根
由牛顿方法的局部收敛性可知存在当时,Newton迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
试取若干初始值,观察当时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
(3)通过本上机题,你明白了什么?
2.2编写相应的matlab程序
定义f(x)函数
functionF=fu(x)
F=x^3/3-x;
定义f(x)的导函数
functionF=dfu(x)
F=x*x-1;
求根的通用程序
x0=input('
请输入初始值x0:
ep=input('
请输入容许误差:
flag=1;
whileflag==1
x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);
ifabs(x1-x0)<
=ep
flag=0;
end
x0=x1;
方程的一个近似解为:
x0);
求sigma的通用程序
eps=input('
请输入搜索精度:
请输入容许误差:
k=0;
x0=0;
whileflag==1;
sigma=k*eps;
x0=sigma;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&
&
m<
=10^3
x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);
ifabs(x1-x0)<
ep
flag1=0;
end
m=m+1;
x0=x1;
ifflag1==1||abs(x0)>
最大的sigma值为:
sigma);
2.3运行结果
寻找最大的sigma值
主要是在0的基础上,不断的增加步长,带入Newton公式,验证该值是否收敛于0,不断的循环,最后得到最小的不收敛于0的sigma值,此时也为最大满足收敛于0的最大的sigma值。
改变不同的步长,分别得到不同的sigma值,取其中的最小值,即为满足条件的最大的sigma值。
程序相应的运行结果如下:
chapter2_2
10^-6
0.774597
10^-4
0.774600
10^-2
0.780000
运行chapter2_1程序
(1)当初值x0属于(-∞,-1)内时,程序运行结果如下,
chaper2_1
-10000
-1.732051
-100
-10
-1.1
可以得出不论取何值,Newton迭代式收敛,方程的近似解都收敛于-3。
(2)当初值x0属于-1,-δ内时,程序运行结果如下,
-0.9
1.732051
-0.85
-0.774598
可以得出不论取何值,在此区间上Newton迭代式不收敛。
(3)当初值x0属于(-δ,δ)内时,程序运行结果如下,
-0.76
0.000000
-0.5
-0.1
-0.01
-0.000000
0.01
0.1
0.5
0.76
可以得出在此区间内,不论取何值,Newton迭代式收敛,方程的近似解都收敛于0。
(4)当初值x0属于(δ,1)内时,运行程序结果如下,
0.774598
0.8
0.9
0.95
(5)当初值x0属于区间1,+∞内时,运行程序结果如下,
1.1
10
可以得出,不管x0取何值,Newton迭代式都收敛,且收敛于根3。
3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法
3.1题目
对于某电路的分析,归结为求解线性方程组RI=V,其中
(1)编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元高斯消去法的通用程序;
(2)用所编程序解线性方程组RI=V,并打印出解向量,保留5位有效数字;
(3)本题编程之中,你提高了哪些编程能力?
3.2程序编写:
%通用Gauss列主元消去法
n=input('
输入线性方程组阶数:
n='
b=zeros(1,n);
A=input('
输入系数矩阵:
A=\n'
b(1,:
)=input('
输入线性方程组右端向量:
b=\n'
b=b'
;
C=[A,b];
fori=1:
n-1
[maximum,index]=max(abs(C(i:
n,i)));
%求取C矩阵列主元以及其所在列中位置
index=index+i-1;
T=C(index,:
C(index,:
)=C(i,:
C(i,:
)=T;
fork=i+1:
n
ifC(k,i)~=0
C(k,:
)=C(k,:
)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:
%回代求解
x=zeros(n,1);
x(n)=C(n,n+1)/C(n,n);
fori=n-1:
1
x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:
n)*x(i+1:
n,1))/C(i,i);
该方程组的解为:
%.5g\n'
x);
3.3运行结果
n=9
A=
[31-13000-10000;
-1335-90-110000;
0-931-1000000;
00-1079-30000-9;
000-3057-70-50;
0000-747-3000;
00000-304100;
0000-50027-2;
000-9000-229]
b=
[-1527-230-2012-7710]
-0.28923
0.34544
-0.71281
-0.22061
-0.4304
0.15431
-0.057823
0.20105
0.29023
3.4结果分析
从程序运行结果可得,该线性方程组的解向量为:
[-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.29023]。
通过该道题程序的编写,我加深了对Gauss列主元消去法的理解,也增强了MATLAB对矩阵、数组处理的能力。
4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法
4.1题目
(1)编制解n阶线性方程组Ax=b的SOR方法的通用程序(要求);
(2)对于35题中所给的线性方程组,取松弛因子,容许误差,打印松弛因子、迭代次数、最佳松弛因子及解向量。
4.2程序编写
R=zeros(9,9);
R(1,1)=31/2;
R(1,2)=-13;
R(1,6)=-10;
R(2,2)=35/2;
R(2,3)=-9;
R(2,5)=-11;
R(3,3)=31/2;
R(3,4)=-10;
R(4,4)=79/2;
R(4,5)=-30;
R(4,9)=-9;
R(5,5)=57/2;
R(5,6)=-7;
R(5,8)=-5;
R(6,6)=47/2;
R(6,7)=-30;
R(7,7)=41/2;
R(8,8)=27/2;
R(8,9)=-2;
R(9,9)=29/2;
R=R+R'
R(6,1)=0;
R(5,2)=0;
V=[-15;
27;
-23;
0;
-20;
12;
-7;
7;
10];
eps1=0.5e-5;
detaeps=ones(99,1);
k=zeros(99,1);
deta=zeros(9,1);
x=zeros(9,1);
x1=ones(9,99);
x0=ones(9,99);
99
w=i/50;
while(detaeps(i)>
eps1)
forj=1:
9
sum=0;
fort=1:
j-1
sum=sum+R(j,t)*x1(t,i);
end
fort=j+1:
x1(j,i)=(1-w)*x0(j,i)+w*(V(j)-sum)/R(j,j);
k(i)=k(i)+1;
deta(j)=abs(x1(j,i)-x0(j,i));
detaeps(i)=max(deta);
p=min(k);
x(i)=x0(i,p);
disp(p);
disp(x);
4.3运行结果
最少迭代次数p=10;
最佳迭代因子w=0.2;
解析向量x=[-0.28920.3455-0.7128-0.2206-0.43040.1544-0.0570.20110.2902]。
4.4结果分析
通过此次的编程,对比不同的迭代因子,迭代因此不同,收敛速度也不相同,再次加强对于SOR的理解,提高MATLAB的编程能力。
5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近
5.1题目
(1)编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;
(2)已知汽车曲线型值点的数据如下:
3
4
5
6
7
8
2.51
3.30
4.04
4.70
5.22
5.54
5.78
5.40
5.57
5.70
5.80
端点条件为=0.8,=0.2。
用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。
5.2程序编写
clc;
x=[0;
1;
2;
3;
4;
5;
6;
8;
9;
y=[2.51;
3.3;
4.04;
4.7;
5.22;
5.54;
5.78;
5.4;
5.57;
5.7;
5.8];
dy=[0.8;
0.2];
h=zeros(8,1);
u=zeros(9,1);
nameda=zeros(9,1);
d=zeros(11,1);
mm=zeros(11,1);
m=zeros(11,11);
h(i)=x(i+1)-x(i);
u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
nameda(i)=1-u(i);
d
(1)=6*((y
(2)-y
(1))/h
(1)-dy
(1))/h
(1);
d(11)=6*(-(y(11)-y(10))/h(10)+dy
(2))/h(10);
d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));
m(i,i-1)=u(i-1);
m(i,i)=2;
m(i,i+1)=nameda(i-1);
m(1,1)=2;
m(1,2)=1;
m(11,10)=1;
m(11,11)=2;
mm=inv(m)*d;
fx=zeros(1,10);
forj=1:
t=input('
请输入0到10之间的一个整数:
t=t+0.5;
i=fix(t);
fx(j)=y(i+1)+((y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)-h(i+1)*(1/3*mm(i+1)+1/6*mm(i+2)))*(t-x(i+1))+0.5*mm(i+1)*(t-x(i+1))^2+1/(6*h(i+1))*(mm(i+2)-mm(i+1))*(t-x(i+1))^3;
disp(fx);
sx=zeros(901,1);
forj=0:
0.01:
i=fix(j);
sx(k)=y(i+1)+((y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)-h(i+1)*(1/3*mm(i+1)+1/6*mm(i+2)))*(j-x(i+1))+0.5*mm(i+1)*(j-x(i+1))^2+1/(6*h(i+1))*(mm(i+2)-mm(i+1))*(j-x(i+1))^3;
5.3运行结果
(1)i分别取0到9之间的整数时,函数输出结果
i
S(i+0.5)
2.9086
3.6784
4.3815
4.9882
5.3833
5.7237
5.5944
5.4299
5.6598
5.7323
(2)y-x曲线以及拟合曲线
y-x曲线
拟合曲线
5.4结果分析
从以上的两个曲线可以看出,拟合曲线与y-x的曲线基本一致,三次样条函数较好的拟合原函数,通过本次的编程,提高了我对三次样条函数的认识,加深我对三次样条函数的理解。