线性代数教案.doc
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线性代数讲稿
刘东
200年―――200年第一章行列式
§1行列式的定义
一、二阶、三阶行列式
中学学过解二元一次方程组
如果有解，它的解完全可由他们的系数表示出来。
.
若，则
（2）
同理（3）
其中均称为二阶行列式
定义1.二阶行列式（4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组（5）
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式
（6）
行、列称为D的元素。
例1
如果我们把所在的行（第i）和列（第j）划去后，所剩下的二阶行列式记为，那么有
故（6）式可写成：
（7）
称为元素的余子式，若令，则（7）式又可写成
（8）
称为元素的代数余子式（注，这里的是一个二阶的）
二、n阶行列式
以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。
蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。
这种规律可由归纳法表现出来。
定义3.由个数排成或行列的正方形数表，按照以下规律，可以得到一个数：
（9）
称为n阶行列式，其中，表示划去第行第列后所剩下的n-1阶行列式。
行列——元素称为元素的余子式，成为元素的代数余子式。
注：
1.为了方便，定义一阶行列式。
2.按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的（同对角线法）。
例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是未写出的元素都为0）
证：
按定义式（9）
例3.证明下三角行列式
按定义式（9）得
以上，n阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。
我们可以证明。
行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即
（10）
我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有：
定理（Laplace）
（11）
（12）
例4计算行列式
解选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，按第三行展开，得
例5计算行列式
解按第三行展开，得
另外，三阶行列式也有对角线法则。
例6计算三阶行列式
解：
同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示
当（5）的系数行列式时（5）的解为
，其中
例7解线性方程组
解：
先计算系数行列式
因此可用行列式（13）求解
再计算
，，
代入公式（7）得
，，
例8求二次多项式，使得
，，
解设，于是由，，得
求如下：
，，，
所以，，
故为所求。
注：
公式
（2）-（3）（二元）
称为克莱姆法则
公式（13）（三元）
作业：
习题1-1
1
（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3.
1-25
1-41
§2n阶行列式的性质及计算
复习：
定义 D==
定理（Laplace）D==
新授：
一、行列式的性质
记D=D=（）
行列式D称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）
性质1D=D
由此知，行与列具有同等地位。
关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。
如:
D=D=D=D
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如:
D==ad-bc,=bc-ad=-D
以r表第i行，C表第j列。
交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证：
把这两行互换，有D＝-D 故D＝0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式（第i行乘以k，记作r）
推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第i列）
D=
则
D=+
性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数k乘第j列，加到第i列上，可记做）
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
按列：
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
（1）
和
（2）
这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算。
例1
例2
例3
例4证明
证：
左端
§3克莱姆法则
含有n个未知数的n个线性方程的方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即
定理（Cramer法则）如果线性方程组
（1）的系数行列式不等于零，即
，则方程组
（1）有且仅有一组解：
，，…，
（2）
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的n阶行列式
证明思路：
1
（1）如果有解，其解必为
（2）唯一。
2再验证
（2）确为
（1）的解。
证略
例1求解线性方程组
解：
系数行列式
同样可以计算
，，
，
所以，，，
注意1.克莱姆法则的条件：
n个未知数，n个方程，且
2.（3）
称为n元齐次线性方程组。
当
（1）的常数项不全为零时，
（1）称为n元非齐次线性方程组。
显然当是（3）的解。
推论若（3）的系数行列式，则它只有零解。
即若（3）有非零解，则必有。
3.克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。
例2证明范德蒙行列式
（4）
其中，记号“”表示全体同类因子的乘积。
证：
用归纳法，因为
所以，当n=2时，（4）式成立，现设（4）式对n-1时成立，要证对n时也成立。
为此，设法把降阶；从第n行开始，后行减去前行的倍，有
（按第一列展开，并提出因子）
阶范德蒙行列式
=证毕
例3
作业
习题1-31.
（2）、（4）、（5）2.
（1）3
（1）
1-42.3.4.
1-51.
（1）4.
第二章矩阵
基本要求：
理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵并会求逆矩阵，了解分块矩阵。
矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。
§1矩阵的概念
已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：
说明：
这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组
（1），对它的研究可以判断
（1）的解的情况。
定义1.由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素。
根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。
下面给出一些特殊矩阵：
1．行矩阵m=1
2．列矩阵n=1
3．零矩阵
4．方阵，，称为n阶方阵。
5．单位矩阵称为n阶单位矩阵。
应用举例：
例1．某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵
其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。
例2．北京市某户居民第三季度每个月的水（单位：
）、电（单位：
）、天然气（单位：
）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即
§2矩阵的运算
一、矩阵的加法
设称为同型矩阵（行列数均相等）。
1．相等
2．加法
加法律
（1）
（2）
例3．.求矩阵，使，其中
，
解：
。
二、数与矩阵的乘法
运算律：
（1）；
（2）；
（3）
注：
矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
例4．设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位）为：
已知货物每吨的运费为2.40元/.那么，各地区之间每吨货物的运费可记为
三、矩阵的乘法
1．线性变换与线性变换的乘积。
设有两个线性变换
其系数矩阵
其系数矩阵
将代入，可得从到的线性变换：
称为与的乘积。
相应地，称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积，记作：
一般地，我们有
2．矩阵与矩阵的乘法
定义2.设则规定与的乘积是一个矩阵，其中
并记作
注：
（1）.一行与一列相乘
故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。
（2）.只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）
例5．设，求
解
得
注：
是不可行。
例6．设，，求及。
解：
由此发现：
（1），（不满足交换律）
（2），，但却有。
3．矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）
（1）结合律
（2）分配律
（3）
（4），（单位矩阵的意义所在）
4．n阶方阵的幂
设是n阶方阵，则定义
或
规律：
，，其中为正整数。
但一般地，，为n阶方阵。
例7．计算
解：
设，
则，
假设，
则，
于是由归纳法知，对于任意正整数n，有
例8．令，，，
则线性方程组可用矩阵乘积表示出：
。
四、转置矩阵
定义3.把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作（或）。
例如：
，
运算律：
（1）；
（2）；
（3）；（4）
证明：
仅证（4）
设，记，，
于是按矩阵乘法公式
.
而的第行为，的第列为，因此
即，亦即。
例9．已知，，求
解：
（法一）
所以
（法二）
小结：
1．矩阵的概念
2．矩阵的运算：
加法，数乘，乘法，幂，转置
3．相应运算的运算律
思考题：
试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。
若，则称为幂等矩阵。
试证：
若为幂等矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是.
错误证法：
由条件，，知或，或，
当时，，显然成立。
当（或）时，，且成立。
当时，，而，，即也成立。
综上可知，为幂等矩阵的充要条件为。
答案：
从推得，是不对的，得出这样的结果是作出了如下推导：
，，故或，即.
这里的错误在于：
与数的乘法运算相混淆了。
数若满足，则必有或；但对于矩阵来说，，不能推出或.
正确解法：
因为，，于是
故的充分必要条件是，即.
作业
习题2-2
1.2.3.4①.、④5.
§3.矩阵的逆
复习：
一、加法。
二、数乘。
三、矩阵与矩阵相乘。
四、转置矩阵
新授：
五、方阵的行列式
定义由n阶方阵的元素所构成的n阶行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式。
记作或（determinant）.
注意：
方阵与其行列式不同，前者为数表，后者为数值。
运算律：
（1）（行列式性质1）
（2）（）
（3）（证明较繁）
由（3）知，对于n阶方阵A、B，一般，但都有
例1．设，，求.
解：
（法一），。
（法二）
六、几种特殊矩阵
1．对角矩阵
定义，简记为，称为n阶
对角矩阵。
易知
（1）.
（2）.
（3）.
2.数量矩阵
若n阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即
则称为n阶数量矩阵。
当时，就是n阶单位矩阵。
易知
（1）.
特别地可交换
（2）.，
数量矩阵的加减乘法与数的完全相同。
3.上（下）三角矩阵
为上三角矩阵，
为下三角矩阵
易知，设A、B为上三角阵，则，，仍为上三角阵；下三角阵也类似。
§3逆矩阵
一、概念与性质
在§2中，线性方程组
可表示为矩阵方程
其中，，,
由克莱姆法则知，若，则
（1）有唯一解。
如果存在n阶方阵C，使得，则
（1）的解可用矩阵乘积表出：
称为矩阵方程
（2）的解
定义设为n阶方阵，若存在一个n阶方阵C，使得
，
则称方阵可逆，并称方阵C为的逆矩阵，记作，即
若，则
性质1.若存在，则必唯一。
证明：
设B、C都是的逆阵，则有
（唯一）
性质2.若可逆，则也可逆，且。
证明：
可逆，，从而也可逆，
且。
性质3.若可逆，则可逆，且。
证明：
从而，于是
性质4.若同阶方阵、都可逆，则也可逆，
且
证明：
所以AB可逆，且
二、逆阵存在的条件及逆阵的求法
定义由的行列式
中元素的代数余子式构成的n阶方阵，
记作，即，称为的伴随矩阵.
例1.设，求
解:
因为，，，
，，，
，，
所以
定理方阵可逆且
证明：
A可逆，即有存在，使得，
两边取行列式得
故
由行列式的性质7和Laplace定理知
于是
因为，故有
从而
推论设为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得，（或）,则.
证明：
，，故存在。
于是
注：
求时，只需要验算，计算量减半。
例2.判断下列方阵，是否可逆?
若可逆，求其逆阵.
解：
，，所以不可逆，可逆，并且
三、用逆矩阵法解线性方程组
在第一节中，线性方程组可表示为矩阵方阵.若，则，得到的解.
例3．解线性方程组
解：
其矩阵式为
因
所以
所以其解为，，
例4．求解矩阵方程，其中
，，.
解易知，，则
小结：
1．方阵的行列式
2．逆矩阵的概念
3．矩阵可逆的充分必要条件
4．利用伴随矩阵求逆矩阵
5．了解分块矩阵的概念及运算
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知，求
错误解法:
由于,所以存在
故有
错误原因:
1.没有注意代数余子式的符号,从而及均相差一个负号.正确的应为:
.
2．将写成了.
正确答案:
作业：
习题2-31.2.3.4.
习题2-41.2.（4）（5）
习题2-51.3.
第三章矩阵的初等变换
§1.矩阵的秩
矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用。
定义1.在矩阵中任取行列，由
位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为的一个阶子式，记作。
共有个。
例如有4个三阶子式，18个二阶子式。
定义2.若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是，则称
为矩阵的秩，记作。
由此及行列式的性质可得到结论：
1.；
2.对于，有；
3.若，则中至少有一个，而所有的
.
定义3.设，若，则称为满秩方阵；
若，则称为降秩方阵。
推论：
为满秩方阵。
由此可知，可逆为满秩方阵。
例1.求下列矩阵的秩
，
解：
，而的所有三阶子式（4个）
，，，
所以
满秩。
§2.矩阵的初等变换
本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换与初等矩阵
在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”。
定义1.对矩阵的行施以下述三种变换，称为矩阵的行初等
变换：
（1）列初等变换
（2）
（3）
矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义2.由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为
初等矩阵，也有三种：
（1）或，得，
例
（2）或，得，
例
（3）或，得，
例
且都是可逆的，其逆矩阵仍为初等矩阵：
，，
二、利用初等变换求逆矩阵
先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。
定理1.
（1）交换的两行；
交换的两列
（2）以乘的第行；
以乘的第列
（3）把的第行的倍加到第行上去；
把的第列的倍加到第列上去
定理2.n阶可逆方阵可以经过一系列的初等行
变换化为n阶单位矩阵
证明：
可逆，，的第一列至少有一个非0元素，于是经过若干次初等行变换可以化为
其中*表示任意数，表示阶方阵。
显然，而所以
因而的第一列至少有一个非元素，于是再对施以若干次初等行变换，又可以化为
显然，，而，其中，
所以如此继续，经过一系列的初等行变换，最终得到单位矩阵，即
证毕。
由定理1和定理2立即推得：
推论1.可逆存在初等矩阵，使得
用右乘式两端，得
比较、两式可见：
若经过一系列的初等行变换后，化为，则经过同样的初等行变换化为，从而使我们得到一种有效的求逆矩阵的方法：
推论2.
其中、表示的矩阵。
例1.设.用初等变换法求.
解:
所以
例2.设，试用初等变换法求.
解:
所以
例3．判断方阵是否可逆。
若可逆，求
解：
因为，所以，故不可逆，即不存在。
注：
此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断。
例4．解矩阵方程，其中
，.
解：
三、利用初等变换求矩阵的秩
定理3.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证略）。
利用定理3可以简化求秩的计算，其常用的方法有：
1．只用初等行变换，可把变成上阶梯形矩阵。
例5．求其中
解：
（上阶梯形），有此可看出。
2．进一步，在进行列初等变换，可化为标准型。
例5中，
的特点：
左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0。
在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形。
例6．求，其中
解：
至此，易知
所以，不是阶梯矩阵。
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知，求
错误解答:
即
错误原因:
没有注意到利用来求时,
要使用初等行变换才可以。
而在解法中第1、3步却使用了列变换。
正确答案:
作业：
习题2-41.2.（4）（5）
习题2-51.3.
习题2-61.2.3.
（2）（4）（5）4.6.
第四章：
向量的线性关系与线性方程组
§1消元法
在第一、二章中，我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的求解问题。
本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。
所用的工具是克莱姆法则、初等变换、向量等。
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。
下面再作三例，以求其规律。
例1解线性方程组
（1）
解：
交换第一、二两个方程，
得同解组
（2）-2，（3）-4
得同解组
[（）-（2，）]（-2）
得同解组
（2）
至此消元过程完结，接下来是回代过程：
将代入得=-2，再将=-2，=2代入得=-1，
从而
（2）有唯一解：
x1=-1，x2=-2，x3=2，也是
（1）的唯一解
例2求解线性方程组
解：
（2）-2
（1），（3）-3
（1）得同解组
7，5得同解组
得
其解为z=1，y=t（任意），x=4-3t，所以方程组有无穷多解。
例3求解线性方程组
解：
同例2，得同解组：
矛盾，无解
以上三例，求解过程中，对方程组共施行了三种变换：
1）互换两个方程的位置；
2）k某一方程（k≠0）；
3）用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。
——称为方程组的初等变换，与矩阵的初等行变换完全相同。
所以线性方程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。
例4求解线性方程组：
（3）
解：
先写出其增广矩阵并施以行的初等变换，化为上阶梯形
（系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等）
再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组：
自下而上回代，解出用x5表达x1，x2，x3，x4的结果：
（可任意，称为自由未知量）
所以（3）有无穷多解。
一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理：
定理1线性方程组
有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等，即R（A）=R（B）。
其中A=，B==
证：
利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形
B=D==
（不妨设c11,c22…crr不为零）
相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组
（5）
由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（C），R（B）=R（D）。
（ⅰ）必要性若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故dr+1=0，
这时R（D）=R（C），从而R（A）=R（B）。
（ⅱ）充分性若R（A）=R（B），于是R（C）=R（D）因而dr+1=0，所以方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。
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