初中数学竞赛知识点归纳定理.docx
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初中数学竞赛知识点归纳定理
1.中线定理：
（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2（AP2+BP2）
初中竞赛需要，重要
2.托勒密定理：
设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC
初中竞赛需要，重要
3.梅涅劳斯定理：
设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1
初中竞赛需要，重要
4.梅涅劳斯定理的逆定理：
（略）
初中竞赛需要，重要
5.梅涅劳斯定理的应用定理1：
设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
不用掌握
6.梅涅劳斯定理的应用定理2：
过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线
不用掌握
7.、塞瓦定理：
设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB（）=1.
初中竞赛需要，重要
8.塞瓦定理的应用定理：
设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M
不用掌握
9.塞瓦定理的逆定理：
（略）
初中竞赛需要，重要
10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：
三角形的三条中线交于一点
这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮
11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：
设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握
12.西摩松定理：
从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）
初中竞赛的常用定理
13.西摩松定理的逆定理：
（略）
初中竞赛的常用定理
14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
15.圆的外切四边形的两组对边的和相等
16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
17.推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
18.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
19.推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
20.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
21.推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
斯特瓦特定理有三角形ABC，D为角A平分线与BC边的交点，则有以下定理：
AB
（2）·DC＋AC
（2）·BD－AD
（2）·BC=BC·BD·DC
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．已知：
圆内接四边形ABCD，求证：
AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
证明：
如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：
BC=AD：
BP，AC·BP=AD·BC①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：
CD=AB：
DP，AC·DP=AB·CD②。
①＋②得AC（BP＋DP）=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．
梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。
或：
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=1
证明一：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：
（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=（AG/BD）×（BD/DC）×（DC/AG）=1
证明二：
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：
若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯（Menelaus）定理
证明三：
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：
DB=AA'：
BB'，BE：
EC=BB'：
CC'，CF：
FA=CC'：
AA'
所以（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1
证明四：
连接BF。
（AD：
DB）·（BE：
EC）·（CF:
FA）
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BEF：
S△CEF）·（S△BCF：
S△BAF）
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BDF：
S△CDF）·（S△CDF：
S△ADF）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：
若E，F，D三点共线，则
（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBA/sin∠ABE）=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COA/sin∠AOE）=1。
（O不与点A、B、C重合）
记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：
（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴（CB/BD）*（DO/OA）*（AE/EC）=1①
而由△ABD被直线COF所截，∴（BC/CD）*（DO/OA）*（AF/FB）=1②
②÷①:
即得：
（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:
DB）*（BE:
EC）*（CF:
FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（BF*ctgA）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（重心）:
如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1
且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。
（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1
因为（BC/CD）*（DG/GA）*（AF/FB）=1，（塞瓦定理）所以（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=K（K为未知参数）且（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：
（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=1
所以（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1
2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
（sin∠BAD/sin∠DAC）*（sin∠ACF/sin∠FCB）*（sin∠CBE/sin∠EBA）=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
（AB/BC）*（CD/DE）*（EF/FA）=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
西姆松定理
西姆松定理图示
西姆松定理是一个几何定理。
表述为：
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：
若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
西姆松定理说明
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。
西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一：
△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE
②而∠ACP+∠PCE=180°
③∴∠FDP+∠PDE=180°
④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二：
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和
M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN=∠PCM。
因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。
正弦定理
定理概述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）
这一定理对于任意三角形ABC，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R为三角形外接圆半径
证明
步骤1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
扩展
三角形面积公式
1.海伦公式:
设P=（a+b+c）/2
S△=根号下P（P-a）（P-b）（P-c）
解释:
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]
而公式里的p为半周长：
p=（a+b+c）/2
2.S△ABC=（ab/2）·sinC=（bc/2）·sinA=（ac/2）·sinB=abc/（4R）[R为外接圆半径]
3.S△ABC=ah/2
正弦定理的变形公式
（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
（2）sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c;
（条件同上）
在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
（3）相关结论:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=（a+b）/（sinA+sinB）=（a+b+c）/（sinA+sinB+sinC）
c/sinC＝c/sinD=BD=2R
⑷设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质——
（注：
a*b、a*c就是a乘b、a乘c。
a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。
）
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab
CosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac
CosA=（c^2+b^2-a^2）/2bc
余弦定理证明
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=（sinB*c）^2+（a-cosB*c）^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=（sin^2B+cos^2B）*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=（c^2+a^2-b^2）/2ac
余弦定理的作用
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.
例如：
已知△ABC的三边之比为：
2：
1，求最大的内角.
解设三角形的三边为a,b,c且a:
b:
c=:
2:
1.
由三角形中大边对大角可知：
∠A为最大的角.由余弦定理
cosA==-
所以∠A=120°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.
解由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA
=4+9-2×2×3×=7，
所以BC=7.
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.
其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。
即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
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