第七章一维波动方程的解题方法及习题答案.docx
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第七章一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇数学物理方程
物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法
Abstracts：
】、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程：
2、给泄数理方程的附加条件：
初始条件、边界条件、物理条件
（自然条件，连接条件），从而与数理方程一起构成妃解问题：
3、方程齐次化；
4、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）
1、来源
I.质点力学:
牛顿第二定律F=mf
•弦，一
连续体力学
杆振动：
当辺一/砒心/）=0（波动方程）;膜ar
流体力学：
质址守恒律:
?
+S（0；）=O：
Ct
热力学物态方f±：
—+（PV）^=—p+/=0（Eulereq.）.
dtp
II.麦克斯韦方程
並Ddb=[Jjpdr=>VD=p；d/=d5*=>Vx£=
dd=0=>VB=0;d/=+Vx/7=；+£）・
E=-WB=VxAj/,2满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程：
Maxwelleqs.+电导定彳电报方程。
III.
热传导方程:
热力学统计物理
特别：
稳态（竺=0）:
V2p=0（Laplaceequation）.ct
扩散方程:
IV.量子力学的薛立谒方程：
St2/n
2.分类
物理过程
方程
数学分类
振动与波
波动方程⑺“一16勺=0
"dr
双曲线
输运方程
J能处热传导加亡n［质量:
扩散8t
抛物线
稳态方程
LaplaceequationV2w=0
椭圆型
二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤：
（1）变量：
找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确立影响未知函数的自变量。
（2）立假设：
抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”
-一"无理取闹”（物理趙乐）。
（3）取局部：
从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽
略—线性化。
（4）找作用：
根据已知物理规律或泄律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：
根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解
第一节一维波动方程-弦振动方程的建立
7.1.1弦横振动方程的建立
（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）
（1）定变量：
取弦的平衡位豊为X轴。
表征振动的物理屋为各点的横向位移U（XJ），从
而速度为妁,加速度为
（2）立假设：
①弦振动是微小的，|^|«i♦因此，sinaatancQa，cosaa1•又
••色=・岂②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应
・dx…dx
力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T（A；/）始终是沿弦的切向（等价于弦上相互间有小的弹簧相连）；③所有外力都垂直于X轴，外力线密度为F（“；④设弦的线密度（细长）为册曲），重力不计。
（3）取局部：
在点;v处取弦段dx是如此之小，以至可以把它看成质点（微元）。
质
量微元：
心仙；微弧长：
山=松+曲=十+|£|加沁（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度川山）不随时间变化，另外根据Hooke上律=可知，张力TCM）也不随时间变化，我们把它们分别记为加）和
（4）找作用：
找出弦段所受的力。
外力：
垂直于x轴方向；
张力变化：
（T'cosa）l&-（7'cosa儿=7^+“）一70）,兀方向紧绷，
（Tsiim）l^-（rsina）1尸他）I*一⑺丿尸⑺叮心,垂直于x轴方向。
（5）列方程：
根据牛顿第二泄律
T（x+dv）-r（A）=0>因X方向无位移，故7\x+dx）=7Xr）=丁・
p（x）dA7/zr=F（x9t）dx+（77/r\dx=F（x,t）dx+Tuxxdx
即，叫-=其中心）=字!
是单位质量所受外力。
厅
如果弦是均匀的，即。
为常数，则可写2石为弦振动的传播速度，则
%-几"=/（■¥,/）・
自由振动（"0）：
-/心=0（齐次方程）。
小结1:
对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：
utl=a2V2u（齐次方程）
其中8为振动的传播的速度。
当单位质量所受外力为/时，其振动微分方程为:
叫=/歹“+/（非齐次方程）
7.1.2定解问题
第一节从物理问题和相应的物理龙律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内
部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周朗环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确左物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界''传”到内部的：
一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确N它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：
初始条件
1.初始条件
<=俠小即已知初位移©（X）和初速度怜（劝
"rg）Lo=0（X）・
2.边界条件
i.第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：
直接给出了未知函
数在边界上的值。
ii.第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：
给出未知函数在边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）
属于此类，边界条件为比（0』）=0或=0
iii.第三类边界条件-罗宾条件：
给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线
性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：
“1（0』）一加（0,/）=0
Note：
初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1.对弦的横振动问题导出下列情况的左解条件：
弦的两端点x=0和x=/固泄，用
手将弦上的点a=c（0«/）,然后放手。
解:
两端固定,所以边界条件为:
讥0,/）=0,“（/,/）=0
由点J=C的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得:
显然，初速度为零：
乞|（x,0）=0
第二节齐次方程混合问题的傅里叶解
一一分离变量法本征值问题
Abstract：
求解数理方程左解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。
分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心一本征值问题。
求解常微分方程：
一般先求通解，再用初始/边界条件定苴参数：
求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由左解条件来左解（含任意函数）一本征值问题可解决此类问题。
7.2.1利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题
分离变量法：
把二元函数"（xj）表示为两个一元函数相乘u（xj）=X（x）T⑴；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I：
方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：
下面以两端固定弦的自由振动为例（第一类齐次边界条件）：
知-几严0（0'wlx-0=0；"L=0，
"L°=0（x）；他|『吩）.
注意这里的边界条件。
第一步，分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
设w（A-,r）=X（x）T（r）此特解形式，可得驻波解：
T⑴是振荡函数，而与X无关，
X（x）是幅度函数，与f无关］，将此u（xtt）=X（x）T（t）代入泛定方程,即得
X{x）T\t}=a2X\xyT{t\
等式两端除以/x（x）7v）,就有=
a2T（t）X（x）
注意在这个等式中，左端只是/的函数，与x无关，而右端只是x的函数，与f无关。
因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x无关、又与f无关的常数。
令这个常数为一兄（参数），即，导、=空2=—入
a2T（t）X（x）
由此得到两个常微分方程：
Tn（t）+AirT（t）=O（7.1）
X\x）+AX（x）=O（7.2）
第二步，将“（打）原来的边界条件转化为X（x）的边界条件。
将此u（xj）=X（x）T（t）代入边界条件,得X（O）T（O=O,X（l）T（t）=0,转化为X（x）的边界条件：
X（0）=0,X（/）=0[因为7V）不可能恒为0,否则“（xj）恒为0]（7.3）
这样就完成了分离变量法求解偏微分方程左解（亦左界）问题的前两步：
分离变量。
在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解u（xJ）=X（x）T（t）,导出了函数X（x）应该满足的常微分方程和边界条件，以及T（/）所满足的常微分方程。
分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变虽:
）。
第三步，求解本征值问题
上而得到的函数X（x）的常微分方程定解问题，称为本征值问题，其特点是：
常微分方程X\x）+^M=0中含有一个待立常数久，而定解条件X（O）=O,X（/）=0是一对齐次边界条件。
这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。
下面将看到，并非对于任何％值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。
只有当＞1取某些特左值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解XM.2的这些特怎值称为本征值（eigenvalue）,相应的非零解称为本征函数（eigenfunction）.
通过讨论分析得岀只有2＞0时，方程（7・2）的解才有意义。
因此，兄＞0时解（7.2）式得,
X（x）=Acosyf^x+Bsiny/Ax.
将这个通解代入边界条件（7.3）,就有
A=0;
Bsiny[Xl=0.
A=0;
Acoss/AI+Bsin扳I=0.
A和B不能同时为0,否则X（x）恒为零（九r）恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义,
但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，
siny[Al=0,即yl~Xl=nr:
（“=1,2,3,…）.
于是，兄只能取如下的一系列值：
&=（年）（n=l,2,3,）：
相应的本征函数就是:
XQ）=sin竽x
这里取8=1,因为我们所要求的必然只是线性无关解。
不同的〃值给出的是线性相关的。
由于同样的原因，我们也不必考虑川为负整数的情形。
这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数〃标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为心和X,x）・
第四步，求特解，并进一步叠加出一般解:
对于每一个本征值血，由r（o+/k/2m=o（7.1）解出相应的rn（t）:
因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
（«=123,…）.
z、（厂n兀小.mt.
M/r（x,r）=cos—at+Dnsin—6/ZIsin
这样的特解有无穷多个（〃=1,2,3,…）。
每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。
它们是一系列的驻波。
但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足泄解问题中的初始条件。
然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来.
这样得到的u（xj）也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛
且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。
这种形式的解称为一般解
现在根据初始条件中的已知函数（p{x）和肖（X）泄出叠加系数c„和D”.将上而的一般解代入初始条件，得
x]\7T
0（x）=工Gsin〒儿（7.4）
n-lI
<
屮g=工——Dnsin—X（7.5）
.n-l/I
注：
（p（x）是已知函数而非任意函数0（x）.M（A-J）既要满足方程又要满足条件。
Z/„（A-7）由
XJx）构成，0（x）亦由XI2M构成。
初、边条件仅是其内部规律的极限。
第五步，利用本征函数的正交性确定叠加系数:
数，血H几（即n^m）•显然,它们分别满足
X；（x）+X,Q）=O,
（7.6）
X”（0）=0,x„（z）=o.
（7.7）
和
Xm（a）+九Xm（a）=0,
（7.8）
X,”（0）=0,X„,（/）=0.
（7.9）
用Xm（x）乘以（7.6）,用X/t（x）乘以（7.8）,相减并在区间[Oj]±积分，即得
（4-4）£X”（x）Xm（x）dr=£[Xn（x）X；（x）一X,„（x）X；（x）]dr
=[X”（x）X：
⑴-X”Q）XQ）]|：
=O,
其中利用了X,x）和X^（x）所满足的边界条件（7.7）和（7.9）・
考虑到血工人「因此，就证得本征函数的正交性：
£x„（x）Xw（-v）dA=O,（“H加）.
进一步汁算还可以得到本征函数的模方：
讯⑴『=[x；（x）ch•冷.
因此，在（7・4）式两端同乘以X/M（x）=sin—%,并逐项积分.就得到
h.nnx.mnxf—I（）smsindr=Cm—・
同样可以得到，D;r=—fV（x）sin—d.v・（实为傅里叶级数的奇延拓）
HTTUJo/
这样，根据初始条件中的已知函数仅劝和仔（X）,计算出积分，就可以得到叠加系数C“和D”，从而就求得了整个过解问题的解。
Step6,解的物理解释
先观察特解：
个驻波，sinknx表示线上各点的振幅分布，sin（^/+Jn）表示点谐振动。
叫是驻波的圆频率，称为两端固泄弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；褊称为波数，是单位长度上波的个数：
①称为位相，由初始条件决定。
在knx=mn,即x=加=0,1,2,…,"的各点上，振动的幅度恒为0,称为波节。
包括弦的
两个端点在内，波节点共有n+1个。
在=fm+-7T,即
X=（2m+1）刃2心=（2m+1）//2几加=0丄2,…丿一1的各点上，振幅的绝对值恒为最大,称为波腹。
波腹共有"个。
整个问题的解则是这些驻波的迭加。
正是因为这个原因，这种解法也称为驻波法（agenerizedmethodoftheseparationvariables）・
就两端固左弦来说，固有频率中有一个最小值，即®=了,称为基频。
其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。
弦的基频决定了所发声音的音调。
在弦乐器中，当弦的质料一左（即°一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T的大小），就可以调节基频®的
大小。
基频和倍频的迭加系数｛C”｝和｛»”｝的相对大小决泄了声音的频谱分布，即决龙了声
音的音色。
小结2：
对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：
叫-/%=。
（Ovxv/）,
"Lo=0；"I/O，
（注意：
这里的*的范围和函数的边界条件的表示）
它的解是:
其中:
习题七的1-6题属于例题1类型。
例题2,弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如:
uir一/%=0（0"L（>=0（Q；
注意：
边界条件与例题i不一样。
笫一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令w（xJ）=X（x）T（f）>并代入泛定方程,即得
X（x）r（/）=a2X\x）T（t）
等式两端同时除以X（x）T（t）,就有
x©）_厂⑴
X（x）
由此得到两个常微分方程:
X"Gv）+2X（x）=0,
T\t）+a2AT⑴=0.
笫二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将u（xj）=X（x）T（t）代入关于x的一对齐次边界条件，得
X'（0）7V）=0,X（/）T（r）=O
得X的边界条件为:
Xz（0）=0,X（/）=0
第三步，解X（x）本征值问题。
这样，我们得到本征值问题：
X\x）+AX（x）=O9X'（0）=0,X（/）=0.
A>0才有解.解得：
X（x）=AcosyfXx+Bsin>/2x.
得到：
X\x）=-yfXAsin>/Xv+cosJZv
代入边界条件，就有
B=0;I!
』"。
；
Acos>/7/+Bsiny/Xl=0.IAcos>/2/=0.
A和3不能同时为0,否则X（x）恒为零，因而恒为0（平凡解）。
因此只能是
（n=0J23,…）.
COS=0,即yfXl=（71+—）7T
2
相应的本征函数就是:
Xn（x）=cos[（M+|）yx]
第四步，解丁⑴的微分方程,得到u（xj）的特解%（竝刃，叠加得出一般解。
对于每一个本征值可以求岀相应的Tn（t）:
Tn（t）=Cncos[（z?
+—）—r]+D„sin[（z/+—）—/].
因此，也就得到了满足边界条件的特解:
lsn
C”cos[（“+g）中]+£>”sin[（”+*）¥，]cos[（”+g）彳x].
把这些特解叠加起来，就得到一般解：
□C
2心/）=工
□■0
c”cos[（n+；）干/]+qsin[（"+g）中]cos[（/i+|）yx]..
笫五步，山本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上而的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为:
2c!
171
=7L0（“）+于）7刃蚊
Dn=ft/（x）cos[（/?
+—）—]d.v
⑵2+1）曲Jo2/
例题3,弦振动的齐次方程和齐次第一类.第二类边界条件
叫-几『0（Ovxv/）,
注意：
边界条件与例题1、例题2都不一样。
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令u（x,t）=X（x）T（t）,并代入泛注方程，即得
X（卯⑴=以"（艸）
等式两端同时除以X（x）T（t）,就有
X（x）一的⑴
由此得到两个常微分方程:
X"（x）+2X（x）=0,
T\t）+a2AT⑴=0.
笫二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将u（xj）=X（x）T（t）代入关于兀的一对齐次边界条件.得
X（O）T（/）=O,X'（/）T（/）=O,这时也可以分离变量，得X的边界条件为:
X（0）=0,Xr（/）=0.
第三步，解X（x）本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
X\x）+AX（x）=O>X（0）=0,X\/）=0.
A>0才有解.解得：
X（x）=Acos\/Ax+BsinyfXx.
得到：
X'（x）=-JTasinJXy+JTbcosa/Tx
A=0;
以上两式代入边界条件，就有
A=0;
-AyfXsiny/Al+\/ABcos\f7l=0.BcosyfAl=0.
A和3不能同时为0,否则X（x）恒为零，因而u（xj）恒为0（平凡解）。
因此只能是
17t
COSyfxi=0»即y/Al=（n+—）7T（H=0,1,2,3,…）.2
于是，＞1只能取如下的一系列值：
4=（n+-）-s=0,123,…）;
相应的本征函数就是:
Xn（x）=sin[（«+|）yA].
第四步,解7V）的微分方程,得到u（xa）的特解从俎刃,叠加得出一般解。
对于每一个本征值可以求出相应的Tn（t）:
T“（f）=Cncos[（z?
+—）—/]4-Dksin[（/z+—）—/].
因此，也就得到了满足边界条件的特解：
把这些特解叠加起来，就得到一般解:
”■（）
L71
C„cos[（n+^）y-r]+Dhsin[（z?
+sin[（«+|）pv].
第五步，山本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上而的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为:
C"=-£0（x）sin［（"+-）—x］dx,
小结3：
对于弦的自由振动，针对齐次边界条件中存在第二类边界条件的两类例题：
（0"“-心=°例题2^L=0;
"仁=卩⑴；
的解为
"（X'QugC"心［（”+［）牛/］+Using+£）中］cos［（H+^）yx］.
其中
2r!
171
°”=7L0以）c°sK"+*7刘血'
2=（2,?
+1曲”⑴c°W+2）/血
例题夕
叫一（ovxv/）,也"；WrL=0*"L）=0（x）；^L=^（-v）.
的解为
00
/r-0
crz1xan--.r/lxan.
Cncos［⑺+-）—/］+Dnsin［（/7+-）--t］
sin［（H+|）yA］.
其中
2U171
G=7二0（兀）"11［（〃+牙）7力血,
习题七的13题属于例题2类型。
题型H：
方程为齐次，边界条件为非齐次。
以习题10为例：
求解长为/的弦的振动问题
uu-/“口=0（O"Lo=E；"L■广0，
"h=°；zaL=0-
注意边界条件，边界条件为非齐次，直接用分离变量法无法求出解，所以需将非齐次边界条件处理成齐次边界条件，再用分离变量法。
解题方法：
用辅助函数法，把非齐次边界条件转化为齐次边界条件。
令函
数w（A\r）=V（xj）+5（xj）,其中s（xj）为已知函数。
已知函数的选取条件是:
必须能够使得V（XJ）满足齐次边界条件的混合问题，即:
匕-“2吆=0（0V（0j）=0;V（/j）=0,
解：
第一步，找出已知函数
令
u（x,t）=V（x,t）+^-A）E（4）
第二步，把上式带入2心J）的混合问题，转化为V（x,r）的齐次边界条件的混
这样，函数V（x,r）满足的混合问题为:
匕-讥=0（0（X—I）
V（兀0）=°（x）=——E;Vg（X,0）=0（x）=0第三步，解关于U（JM）的混合问题。
V（x,r）的混合问题为例题1,所以V（x,r）解为
其中：
小2卩—、.htcxf2r/E（x-/）・nnx.
Cn=—|^（x）sin—dr=yJ——sin—civ
D=fy/（x）sindr=0
”唤貯'I
第四步，写出原方程的解。
由H（x,r）=V（x,r）+^y^E得：
厂b-n
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