面板数据的F检验固定效应检验.docx

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面板数据的F检验固定效应检验

面板数据模型（PANELDATA）F检验,固定效应检验

1．面板数据定义。

时间序列数据或截面数据都是一维数据。

例如时间序列数据是变量按时间得到的数据；截面数据是变量在截面空间上的数据。

面板数据〔paneldata〕也称时间序列截面数据〔timeseriesandcrosssectiondata〕或混合数据〔pooldata〕。

面板数据是同时在时间和截面空间上取得的二维数据。

面板数据示意图见图1。

面板数据从横截面〔crosssection〕上看，是由若干个体〔entity,unit,individual〕在某一时刻构成的截面观测值，从纵剖面〔longitudinalsection〕上看是一个时间序列。

面板数据用双下标变量表示。

例如

yit, i=1,2,…,N;t=1,2,…,T

N表示面板数据中含有N个个体。

T表示时间序列的最大长度。

若固定t不变，yi.,（i=1,2,…,N）是横截面上的N个随机变量；若固定i不变，y.t,（t=1,2,…,T）是纵剖面上的一个时间序列〔个体〕。

图1 N=7，T=50的面板数据示意图

例如1990-20XX30个省份的农业总产值数据。

固定在某一年份上，它是由30个农业总产总值数字组成的截面数据；固定在某一省份上，它是由11年农业总产值数据组成的一个时间序列。

面板数据由30个个体组成。

共有330个观测值。

对于面板数据yit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T来说，如果从横截面上看，每个变量都有观测值，从纵剖面上看，每一期都有观测值，则称此面板数据为平衡面板数据〔balancedpaneldata〕。

若在面板数据中丢失若干个观测值，则称此面板数据为非平衡面板数据〔unbalancedpaneldata〕。

注意：

EViwes3.1、4.1、5.0既允许用平衡面板数据也允许用非平衡面板数据估计模型。

例1〔file:

panel02〕：

1996-20XX中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费〔不变价格〕和人均收入数据见表1和表2。

数据是7年的，每一年都有15个数据，共105组观测值。

人均消费和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有15个个体。

人均消费和收入的面板数据从纵剖面观察分别见图2和图3。

从横截面观察分别见图4和图5。

横截面数据散点图的表现与观测值顺序有关。

图4和图5中人均消费和收入观测值顺序是按地区名的汉语拼音字母顺序排序的。

表1 1999-20XX中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费数据〔不变价格〕

地区人均消费

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

CP-AH〔XX〕

 3282.466

 3646.150

 3777.410

 3989.581

 4203.555

 4495.174

 4784.364

CP-BJ〔〕

 5133.978

 6203.048

 6807.451

 7453.757

 8206.271

 8654.433

 10473.12

CP-FJ〔XX〕

 4011.775

 4853.441

 5197.041

 5314.521

 5522.762

 6094.336

 6665.005

CP-HB〔XX〕

 3197.339

 3868.319

 3896.778

 4104.281

 4361.555

 4457.463

 5120.485

CP-HLJ〔XX〕

 2904.687

 3077.989

 3289.990

 3596.839

 3890.580

 4159.087

 4493.535

CP-JL〔XX〕

 2833.321

 3286.432

 3477.560

 3736.408

 4077.961

 4281.560

 4998.874

CP-JS〔XX〕

 3712.260

 4457.788

 4918.944

 5076.910

 5317.862

 5488.829

 6091.331

CP-JX〔XX〕

 2714.124

 3136.873

 3234.465

 3531.775

 3612.722

 3914.080

 4544.775

CP-LN〔XX〕

 3237.275

 3608.060

 3918.167

 4046.582

 4360.420

 4654.420

 5402.063

CP-NMG〔XX〕

 2572.342

 2901.722

 3127.633

 3475.942

 3877.345

 4170.596

 4850.180

CP-SD〔XX〕

 3440.684

 3930.574

 4168.974

 4546.878

 5011.976

 5159.538

 5635.770

CP-SH〔XX〕

 6193.333

 6634.183

 6866.410

 8125.803

 8651.893

 9336.100

 10411.94

CP-SX〔XX〕

 2813.336

 3131.629

 3314.097

 3507.008

 3793.908

 4131.273

 4787.561

CP-TJ〔XX〕

 4293.220

 5047.672

 5498.503

 5916.613

 6145.622

 6904.368

 7220.843

CP-ZJ〔XX〕

 5342.234

 6002.082

 6236.640

 6600.749

 6950.713

 7968.327

 8792.210

资料来源：

《中国统计年鉴》1997-2003。

表2 1999-20XX中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均收入数据〔不变价格〕

地区人均收入

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

IP-AH〔XX〕

 4106.251

 4540.247

 4770.470

 5178.528

 5256.753

 5640.597

 6093.333

IP-BJ〔〕

 6569.901

 7419.905

 8273.418

 9127.992

 9999.700

 11229.66

 12692.38

IP-FJ〔XX〕

 4884.731

 6040.944

 6505.145

 6922.109

 7279.393

 8422.573

 9235.538

IP-HB〔XX〕

 4148.282

 4790.986

 5167.317

 5468.940

 5678.195

 5955.045

 6747.152

IP-HLJ〔XX〕

 3518.497

 3918.314

 4251.494

 4747.045

 4997.843

 5382.808

 6143.565

IP-JL〔XX〕

 3549.935

 4041.061

 4240.565

 4571.439

 4878.296

 5271.925

 6291.618

IP-JS〔XX〕

 4744.547

 5668.830

 6054.175

 6624.316

 6793.437

 7316.567

 8243.589

IP-JX〔XX〕

 3487.269

 3991.490

 4209.327

 4787.606

 5088.315

 5533.688

 6329.311

IP-LN〔XX〕

 3899.194

 4382.250

 4649.789

 4968.164

 5363.153

 5797.010

 6597.088

IP-NMG〔XX〕

 3189.414

 3774.804

 4383.706

 4780.090

 5063.228

 5502.873

 6038.922

IP-SD〔XX〕

 4461.934

 5049.407

 5412.555

 5849.909

 6477.016

 6975.521

 7668.036

IP-SH〔XX〕

 7489.451

 8209.037

 8773.100

 10770.09

 11432.20

 12883.46

 13183.88

IP-SX〔XX〕

 3431.594

 3869.952

 4156.927

 4360.050

 4546.785

 5401.854

 6335.732

IP-TJ〔XX〕

 5474.963

 6409.690

 7146.271

 7734.914

 8173.193

 8852.470

 9375.060

IP-ZJ〔XX〕

 6446.515

 7158.288

 7860.341

 8530.314

 9187.287

 10485.64

 11822.00

资料来源：

《中国统计年鉴》1997-2003。

图2 15个省级地区的人均消费序列〔纵剖面〕图3 15个省级地区的人均收入序列〔file:

4panel02〕

    图4 15个省级地区的人均消费散点图  图5 15个省级地区的人均收入散点图〔7个横截面叠加〕

（每条连线表示同一年度15个地区的消费值）      （每条连线表示同一年度15个地区的收入值）

用CP表示消费，IP表示收入。

AH,BJ,FJ,HB,HLJ,JL,JS,JX,LN,NMG,SD,SH,SX,TJ,ZJ分别表示XX省、市、XX省、XX省、XX省、XX省、XX省、XX省、XX省、XX自治区、XX省、XX市、XX省、XX市、XX省。

15个地区7年人均消费对收入的面板数据散点图见图6和图7。

图6中每一种符号代表一个省级地区的7个观测点组成的时间序列。

相当于观察15个时间序列。

图7中每一种符号代表一个年度的截面散点图〔共7个截面〕。

相当于观察7个截面散点图的叠加。

图6 用15个时间序列表示的人均消费对收入的面板数据

图7 用7个截面表示的人均消费对收入的面板数据〔7个截面叠加〕

   为了观察得更清楚一些，图8给出和XX1996-20XX消费对收入散点图。

从图中可以看出，无论是从收入还是从消费看XX的水平都低于市。

XX20XX的收入与消费规模还不如市1996年的大。

图9给出该15个省级地区1996和20XX的消费对收入散点图。

可见6年之后15个地区的消费和收入都有了相应的提高。

图8 和XX1996-20XX消费对收入时序图 图9 1996和20XX15个地区的消费对收入散点图

2．面板数据的估计。

用面板数据建立的模型通常有3种。

即混合估计模型、固定效应模型和随机效应模型。

2.1混合估计模型。

如果从时间上看，不同个体之间不存在显著性差异；从截面上看，不同截面之间也不存在显著性差异，那么就可以直接把面板数据混合在一起用普通最小二乘法〔OLS〕估计参数。

如果从时间和截面看模型截距都不为零，且是一个相同的常数，以二变量模型为例，则建立如下模型，

        yit=a+b1xit+eit, i=1,2,…,N;t=1,2,…,T                     

（1）

a和b1不随i，t变化。

称模型

（1）为混合估计模型。

以例1中15个地区1996和20XX数据建立关于消费的混合估计模型，得结果如下：

图10

EViwes估计方法：

在打开工作文件窗口的基础上，点击主功能菜单中的Objects键，选NewObject功能，从而打开NewObject〔新对象〕选择窗。

在TypeofObject选择区选择Pool〔混合数据库〕，点击OK键，从而打开Pool〔混合数据〕窗口。

在窗口中输入15个地区标识AH〔XX〕、BJ〔〕、…、ZJ〔XX〕。

工具栏中点击Sheet键，从而打开SeriesList〔列写序列名〕窗口，定义变量CP?

和IP?

，点击OK键，Pool〔混合或合并数据库〕窗口显示面板数据。

在Pool窗口的工具栏中点击Estimate键，打开PooledEstimation〔混合估计〕窗口如下图。

图11

在DependentVariable〔相依变量〕选择窗填入CP?

；在Commoncoefficients〔系数相同〕选择窗填入IP?

；Crosssectionspecificcoefficients〔截面系数不同〕选择窗保持空白；在Intercept〔截距项〕选择窗点击Common；在Weighting〔权数〕选择窗点击Noweighting。

点击PooledEstimation〔混合估计〕窗口中的OK键。

得输出结果如图10。

相应表达式是

=129.6313+0.7587IPit

（2.0）   （79.7）    R2=0.98,SSEr=4824588,t0.05（103）=1.99

15个省级地区的人均支出平均占收入的76%。

如果从时间和截面上看模型截距都为零，就可以建立不含截距项的〔a=0〕的混合估计模型。

以二变量模型为例，建立混合估计模型如下，

        yit=b1xit+eit, i=1,2,…,N;t=1,2,…,T                          

（2）

对于本例，因为上式中的截距项有显著性〔t=2.0>t0.05（103）=1.99〕，所以建立截距项为零的混合估计模型是不合适的。

EViwes估计方法：

在PooledEstimation〔混合估计〕对话框中Intercept〔截距项〕选择窗中选None，其余选项同上。

2.2固定效应模型。

在面板数据散点图中，如果对于不同的截面或不同的时间序列，模型的截距是不同的，则可以采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数，称此种模型为固定效应模型〔fixedeffectsregressionmodel〕。

固定效应模型分为3种类型，即个体固定效应模型〔entityfixedeffectsregressionmodel〕、时刻固定效应模型〔timefixedeffectsregressionmodel〕和时刻个体固定效应模型〔timeandentityfixedeffectsregressionmodel〕。

下面分别介绍。

〔1〕个体固定效应模型。

个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。

如果对于不同的时间序列〔个体〕截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么就应该建立个体固定效应模型，表示如下，

    yit=b1xit+g1W1+g2W2+…+gNWN +eit, t=1,2,…,T                   （3）

其中

Wi=

eit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T，表示随机误差项。

yit,xit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T分别表示被解释变量和解释变量。

模型〔3〕或者表示为

    y1t=g1+b1x1t+e1t, i=1〔对于第1个个体，或时间序列〕，t=1,2,…,T

    y2t=g2+b1x2t+e2t, i=2〔对于第2个个体，或时间序列〕，t=1,2,…,T

…

    yNt=gN+b1xNt+eNt, i=N〔对于第N个个体，或时间序列〕，t=1,2,…,T

写成矩阵形式，

y1=（1 x1）+e1=g1+x1b+e1

…

yN=（1 xN）+eN=gN+xNb+eN

上式中yi，gi，ei，xi都是N´1阶列向量。

b为标量。

当模型中含有k个解释变量时，b为k´1阶列向量。

进一步写成矩阵形式，

=+b +

上式中的元素1，0都是T´1阶列向量。

   面板数据模型用OLS方法估计时应满足如下5个假定条件：

〔1〕E（eit|xi1,xi2,…,xiT,ai）=0。

以xi1,xi2,…,xiT,ai为条件的eit的期望等于零。

〔2〕（xi1,xi2,…,xiT）,（yi1,yi2,…,yiT）,i=1,2,…,N分别来自于同一个联合分布总体，并相互独立。

〔3〕（xit,eit）具有非零的有限值4阶矩。

〔4〕解释变量之间不存在完全共线性。

〔5〕Cov（eiteis|xit,xis,ai）=0,t¹s。

在固定效应模型中随机误差项eit在时间上是非自相关的。

其中xit代表一个或多个解释变量。

对模型〔1〕进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。

模型的自由度是NT–1–N。

   当模型含有k个解释变量，且N很大，相对较小时，因为模型中含有k+N个被估参数，一般软件执行OLS运算很困难。

在计量经济学软件中是采用一种特殊处理方式进行OLS估计。

估计原理是，先用每个变量减其组内均值，把数据中心化〔entity-demeaned〕，然后用变换的数据先估计个体固定效应模型的回归系数〔不包括截距项〕，然后利用组内均值等式计算截距项。

这种方法计算起来速度快。

具体分3步如下。

〔1〕首先把变量中心化〔entity-demeaned〕。

仍以单解释变量模型〔3〕为例，则有

        =gi+b1+, i=1,2,…,N                                 （4）

其中=，=，=, i=1,2,…,N。

公式

（1）、（4）相减得，

        （yit-）=b1（xit-）+（eit-）                                     （5）

令（yit-）=，（xit-）=，（eit-）=，上式写为

         =b1+                                                （6）

用OLS法估计〔1〕、〔6〕式中的b1，结果是一样的，但是用〔6〕式估计，可以减少被估参数个数。

〔2〕用OLS法估计回归参数〔不包括截距项，即固定效应〕。

   在k个解释变量条件下，把用向量形式表示，则利用中心化数据，按OLS法估计公式计算个体固定效应模型中回归参数估计量的方差协方差矩阵估计式如下，

（）=（'）-1                                          （7）

其中=，是相对于的残差向量。

〔3〕计算回归模型截距项，即固定效应参数gi。

=-                                                   （8）

以例1〔file:

panel02〕为例得到的个体固定效应模型估计结果如下：

注意：

个体固定效应模型的EViwes输出结果中没有公共截距项。

图12

EViwes估计方法：

在EViwes的PooledEstimation对话框中Intercept选项中选Fixedeffects。

其余选项同上。

注意：

〔1〕个体固定效应模型的EViwes输出结果中没有公共截距项。

〔2〕EViwes输出结果中没有给出描述个体效应的截距项相应的标准差和t值。

不认为截距项是模型中的重要参数。

〔3〕当对个体固定效应模型选择加权估计时，输出结果将给出加权估计和非加权估计两种统计量评价结果。

〔4〕输出结果的联立方程组形式可以通过点击View选Representations功能获得。

〔5〕点击View选WaldCoefficientTests…功能可以对模型的斜率进行Wald检验。

〔6〕点击View选Residuals/Table,Graphs,CovarianceMatrix,CorrelationMatrix功能可以分别得到按个体计算的残差序列表，残差序列图，残差序列的方差协方差矩阵，残差序列的相关系数矩阵。

〔7〕点击Procs选MakeModel功能，将会出现估计结果的联立方程形式，进一步点击Solve键，在随后出现的对话框中可以进行动态和静态预测。

输出结果的方程形式是

    =XX+ x1t=479.3+0.70x1t

                           （55.0）

    =+x2t=1053.2+0.70x2t  

…                     （55.0）

    =XX+x15t=714.2+0.70x15t 

                               （55.0）    

R2=0.99,SSEr=2270386,t0.05（88）=1.98

从结果看，、XX、XX是消费函数截距〔自发消费〕最大的3个地区。

相对于混合估计模型来说，是否有必要建立个体固定效应模型可以通过F检验来完成。

原假设H0：

不同个体的模型截距项相同〔建立混合估计模型〕。

备择假设H1：

不同个体的模型截距项不同〔建立个体固定效应模型〕。

F统计量定义为：

F==     （9）

其中SSEr，SSEu分别表示约束模型〔混合估计模型〕和非约束模型〔个体固定效应模型〕的残差平方和。

非约束模型比约束模型多了N-1个被估参数。

〔混合估计模型给出公共截距项。

〕

注意：

当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT-N-k。

   用上例计算，已知SSEr=4824588，SSEu=2270386，

F====7.15

F0.05（14,89）=1.81

因为F=7.15>F0.05（14,89）=1.81，所以，拒绝原假设。

结论是应该建立个体固定效应模型。

〔2〕时刻固定效应模型。

时刻固定效应模型就是对于不同的截面〔时刻点〕有不同截距的模型。

如果确知对于不同的截面，模型的截距显著不同，但是对于不同的时间序列〔个体〕截距是相同的，那么应该建立时刻固定效应模型，表示如下，

    yit=b1xit+a1+a2D2+…+aTDT+eit, i=1,2,…,N                  （10）

其中

Dt=

eit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T，表示随机误差项。

yit,xit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T分别表示被解释变量和解释变量。

模型〔10〕也可表示为

    yi1=a1+b1xi1+ei1,