提高题专题复习平行四边形练习题及答案.docx

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提高题专题复习平行四边形练习题及答案

提高题专题复习平行四边形练习题及答案

一、解答题

1.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60。

，连接CF.

（1）（观察猜想）如图

（1）,当点D在线段CB上时，①NBCF=：

②BC,CDC/之间数量关系为

（1）中两个结论是否

若A8=6,

（2）（数学思考）：

如图

（2）,当点D在线段CB的延长线上时,仍然成立？

请说明理由.

（3）（拓展应用）：

如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时,

CD=^-BC,请直接写出的长及菱形ADEF的面积.

2.如图1,4C是平行四边形A8C。

的对角线，£、”分别为边8A和边8c延长线上的点，连接石〃交AO、CD于点F、G,且EH//AC.

（1）求证：

MEF三ACGH

⑵若是等腰直角三角形，ZACD=90,尸是AO的中点，AO=8,求g的长：

（3）在

（2）的条件下，连接80,如图2,求证：

AC2+BD2=2（AB2+BC2）

3.如图，四边形0748c中，BC//AO,A（4,0）,B（3,4）,C（0,4）.点M从。

出

发以每秒2个单位长度的速度向4运动：

点N从8同时出发，以每秒1个单位长度的速度

向c运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q,连结MQ.

（1）当t为何值时，四边形8NMP为平行四边形？

（2）设四边形8N%的面积为y,求y与t之间的函数关系式.

（3）是否存在点M，使得△八QM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标：

若不存在,请说明理由.

4

.已知，在△aBC中，ZBAC=90°,乙48L45°,。

为直线8c上一动点（不与点8,C重合），以4）为边作正方形ADEF,连接CF.

（1）如图1，当点D在线段8c上时，8c与CF的位置关系是,BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为:

（2）如图2,当点。

在线段8c的延长线上时，其他条件不变，请猜想8c与CF的位置关系BC,CD,CF三条线段之间的数量关系并证明：

（3）如图3,当点。

住线段8c的反向延长线上时，点4F分别在直线8c的两侧，其他

13

条件不变.若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点0,00一，。

8=5,则△A8C的面积

2

为.（直接写出答案）

5.如图.正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t>0）,以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG,连接BF.

（1）当t=l时，求BF的长度：

（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；

（3）连接AF、DF,当AADF是等腰三角形时，求t的值.

（1）求证：

四边形48CE是平行四边形；

（2）连接AC,8£交于点P,求AP的长及4P边上的高8H：

（3）在

（2）的条件下，将四边形88c置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：

①M点的坐标为.

②直接写出正方形APMN与四边形0A8C重登部分的面积（图中阴影部分）.

7.定义：

只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1,损矩形ABCD,ZABC=ZADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：

/XABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有NADB和NACB,此时NADB=ZACB；再比如AABC和ABCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时NBAC=ZBDCa请再找一对这样的角来=

（2）如图2,AiABC中，ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心，连结BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？

请说明理由。

（3）在第

（2）题的条件下，若此时AB=3,BD=4jI，求BC的长。

D

8.在矩形ABCD中，BE平分NABC交CD边于点E.点F在BC边上，且FE，AE.

（1）如图1,①NBEC二'：

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论：

（2）如图2,FH〃CD交AD于点H,交BE于点NH〃BE,连接NE.若AB=4,

AH=2,求NE的长.

9.己知，矩形A8CO中，A3=4c7〃,4C=8o〃，AC的垂直平分环线分别交40、BC于点、E、F,垂足为。

.

（1）如图1,连接AF、CE,求证：

四边形AFCE为菱形；

（2）如图2,动点尸、。

分别从A、。

两点同时出发，沿△AE8和△（?

£）£各边匀速运动一周，即点尸自4fF—BfA停止，点。

自CfE—C停止.在运动过程中，

①已知点。

的速度为每秒5。

〃，点。

的速度为每秒4c/〃，运动时间为/秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，贝旷=.

②若点尸、。

的运动路程分别为。

、b（单位：

5”岫。

0）,已知4、C、P、。

四点为顶点的四边形是平行四边形，则。

与沙满足的数量关系式为.

10.如图，的对角线4。

8。

相交于点。

43_14。

48=6。

几5。

=10。

〃，

点夕从点A出发，沿AO方向以每秒1cm的速度向终点O运动，连接PO,并延长交BC于点设点夕的运动时间为/秒.

（1）求8。

的长（用含/的代数式表示）；

（2）当四边形A3。

P是平行四边形时，求/的值；

32

（3）当，=彳时，点。

是否在线段AP的垂直平分线上？

请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1.

（1）①120°：

②BC=CD-CF：

（2）不成立，见解析：

（3）8,26JJ

【分析】

（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACFgAABD,根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD,再根据BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC；

（2）依据△ABDgZ\ACF,即可得到NACF+NBAC=180°,进而得到AB〃CF；依据

△ABD^AACFnJWBD=CF,依据CD-BD=BC.即可得出CD-CF=BC：

（3）依据△AQ8三△4AC,即可得到CF=BZ）=BC+CQ=8,利用AA3C是等边三角

形，AH±BC,可得BH=HC=LbC=3,即可得出HD的长度，利用勾股定理即可

2

求出AD的长度，即可得出结论.

【详解】

解：

（1）①在等边AABC中，AB=AC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°

AZBAD+ZDAC=60°

在菱形ADEF中

AD=AF

ZDAF=ZDAC+ZFAC=60"

AZCAF=ZDAB

XVAC=AB,AF=AD

AAACF^AABD

AZACF=ZABD=60°,CF=BD

，ZBCF=ZACB+ZACF=120°

故答案为:

120°

②YBC=BD+CD,BD=CF

ABD=CF+CD

故答案为：

BC=CD+CF

（2）不成立

理由：

・・・AA3C是等边三角形

AABAC=ZABC=ZACB=60-AB=AC

又•••/DA尸=60

・・・ABAC-ZBAF=ZDAF-ZBAF

:

.Z.FAC=QAB

・・•四边形ADEF是菱形

：

-AD=AF

:

./\ADB=AAFC

：

.DB=FC,ZACF=ZABD=180-60=120

・•・ZBCF=ZACF-ZACB=120-60=60（

VBC=CD-BD

:

.BC=CD-CF

（3）CF=8,菱形ADEF的面积是26

:

ABAC=ZDAF=60

・•.ABAD=ZCAF

又•••A3=4C,AD=AF

：

.AADB=AAFC

：

.CF=BD=BC+CD=6+-x6=S

3

・•.如图，

过点A作A"_L8C于点H,连接FD

・二△A3c是等边三角形，AH±BC

・・・BH=HC=-BC=-x6=3

22

：

.HD=HC+CD=3+2=5

**AH2=AB2-BH2=36-9=27

：

AD=>JAH2+DH2=V27+25=2万

1

•S菱形adef=2Sw。

=2x不x2y/13x2>/i3x——=26褥・乙乙

【点睛】

此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DABgZiFAC是解本题的关键.

2.

（1）证明见解析：

（2）BE=642（3）证明见解析.

【分析】

（I）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明ne=ncgh,zh=zafe,再

证明四边形ACGE是平行四边形即可证明AE二CG,由此可利用"AAS〃可证明全等:

（2）证明△AEFg^DGF（AAS）可得△DGFg^CGH,所以可得AE=OG=CG='CD,2

再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD,由此可得结论；

（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把AC?

+8。

2和用CD?

表示即可得出结论.

【详解】

解：

（1）证明：

•・•四边形ABCD为平行四边形，AAB//CD,AD〃BC,

AZE=ZEGD,ZH=ZDFG,VZCGH=ZEGD,ZDFG=ZAFE>

AZE=ZCGH,ZH=ZAFE,

VEH//AC>AB//CD,

・•.四边形ACGE是平行四边形，

AAE=CG,

AAAEF^ACGH（AAS）：

（2）•.,四边形ABCD为平行四边形，

AAB//CD,AB=CD,

，NE=NEGD,ND=NEAF,

二方是A£）的中点,

，AF=FD.

AAAEF^ADGF（AAS）；

由

（1）得△AEFgz^CGH（AAS）；

AADGF^ACGH,

AE=DG=CG=-CDf

2

•・•AACO是等腰直角三角形，ZACD=90S40=8,

・•・AB=CD=—AD=4y/2,

2

：

•AE=2>/2，

：

•BE=AB+BE=6&：

（3）如下图，

••四边形ABCD为平行四边形，

，CD=AB,AD=BC,AC=20C>BD=20D,

；AACZ）是等腰直角三角形，ZAC£>=90,AC=CD,:

.AC2+BD2=AC2+4OD2=AC2+4（OC2+CD2）=AC2+（2OC）2+4CD2=AC2+AC2+4CD2=6CD2,且AB2+BC2=CD2+AD2=CD2+AC2+CD2=3CD2,

:

.AC2+BD2=2（AB2+BC2）

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质.

（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE是平行四边形证明AE=CG：

（2）得出OG=CG是解题关犍：

（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键.

3

3.

（1）-；

（2）尸4t+2：

（3）存在，点M的坐标为（1,0）或（2,0）.

【分析】

（1）因为BN〃MP,故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；

（2）y=-（8N+%）・OC,即可求解：

2

（3）①当NMQ4为直角时，则△M4Q为等腰直角三角形，则%=PM,即可求解：

②当NQMA为直角时，则A/8+OM=BC=3,即可求解.

【详解】

（1）9：

BN//MP,故当8N二MP时，四边形8NMP为平行四边形.此时点M在点P的左侧时，即OWtVl时，MP=OP-OM=3-t-2U3-3t,BN=t9

3即3-3f3解得：

尸一；

4

（2）由题意得：

由点C的坐标知，OU4,

BN二3NC=PO二3-t,%=4-OP=4-（3-t）=f+l,

则尸L（8N+%）・01上（t+t+1）X4=4H2；22

（3）由点4C的坐标知，04=0C=4,

则△COA为等腰直角三角形，故NOS=NOAC=45°,

①当NMQ4为直角时，

VZOAC=45°,故△/VMQ为等腰直角三角形，

则PA二PM,

而%二4-（3-t）=t+1,PM=OP-0M=（3-t）-2七3-3L

故H1=3-3t,解得：

仁L贝IJOM=2E,

2

故点M（1,0）；

②当NQM4为直角时，

则点M、P重合，

则/V8+OM=8U3,即2H仁3,解得：

f1,

故OM=OP=2仁2,

故点M（2,0）:

综上，点M的坐标为（1,0）或（2,0）.

【点睛】

本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏.

49

4.

（1）BCLCF,CF+CD=BC；

（2）CF1BC.CF-CD=8C,证明详见解析：

（3）—.

4

【分析】

（1）是等腰直角三角形，利用SAS即可证明从而证得CF=8D,据

此即可证得；

（2）同

（1）相同，利用S4S即可证得从而证得8D=CF,即可得到CF-

CD=BC；

（3）先证明△8ADg/\SF,进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，8c即可解决问题.

【详解】

（1）如图1中，

VZBAC=90°,NA8c=45°,

AZACB=ZABC=45a,

：

.AB-AC.

•・•四边形40EF是正方形，

J.AD-AF.ZDAF-9O0,

VZB>4D=9O0-NDAC,NC4490°・NDAC,：

.ZBAD=ZCAF^

;在△84）和△C4F中，

AB=AC

•/BAD=ZCAF,AD=AF.

：

.^BAD^^CAF（SAS）,；.BD=CF,ZABD=ZACF=45^,

AZFCB=ZACF+ZACB=90°,即CFJ_8C,

VBD+CD=BC9

：

.CF+CD=BC；

故答案为：

CF±BC9CF+CD=BC.

（2）结论：

CF±BC,CF-CD=BC.

：

.ZACB-ZABC^5a,

：

.AB-AC.

•・•四边形4DEF是正方形，

：

.AD-AF.ZDAF-90°,

•••/BAD=90'+ZDAC,NGA片90°+ZDAC.

:

./BAD=/CAF,

•••在△BAD和△C4F中，

'AB=AC

•/BAD=ZCAF,

AD=AF

：

./\BAD^/\CAF（.SAS）,

；.BD=CF,ZABD=ZACF=45C,

AZFCB=ZACF+ZACB=90",即CF_L8C,

：

.BC+CD=CF9

；.CF・CD=BC：

（3）如图3中,

VZBAC=90c,N48U45',

AZACB=ZABC=45C,,

：

.AB-AC.

•・•四边形40EF是正方形，

：

.AD-AF.NDA占90°,

•••/BAD二90'-NBAF,NC4尸90°-NBAF,

：

.ZBAD=ZCAF.

二在△84。

和△C4F中,'AB=AC

•/BAD=ZCAF,AD=AF

：

.ABAD^ACAF（SAS）,AZACF=ZABD.BD=CF^S.

•ZABC=45°,

，/ABD=1350,

AZACF-ZABD-ISS",

，NFCD=135°-45°=90°,

•••△FCD是直角三角形.

TOgOF,

。

仁2。

仁13,

••・RtACDF中，CD=^DF2-CF2=a/132-52=12，，8C=OC-8O=12-5=7,

••/Ao—/AC-,

2

.c_17>/2772_49

2224

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BADg/^CAF是解本题的关键.

5.

（1）V26

（2）2&（3）2或2虚或4

【分析】

（1）由勾股定理可求出答案；

（2）延长AF,过点D作射线AF的垂线，垂足为H,设AH=DH=x,在RtZkAHD中，得出X?

+x2=42,解方程求出X即可得出答案；

（3）分AF=DF,AF=AD,AD=DF三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案.

【详解】

解：

（1）当t=l时，AE=1,

•・•四边形AEFG是正方形，

，AG=FG=AE=1,ZG=90",

BF=yjFG~+BG1=+5?

=-726，

（2）如图1,延长AF,过点D作射线AF的垂线，垂足为H,

图1

•••四边形AGFE是正方形，

•••AE=EF,ZAEF=90",AZEAF=45",VDH±AH,

AZAHD=90°,ZADH=45°=NEAF,，AH=DH,设AH=DH=x,

\•在Rt/kAHD中，ZAHD=90°,•*+乂三42,

解得xi=-2”（舍去），xz=2⑪,

•・.D、F两点之间的最小距离为2加：

（3）当AF=DF时，由

（2）知，点F与点H重合，过H作HK_LAD于K,如图2,

AAK=——=2,2

At=2.

当AF=AD=4时,设AE=EF=x,

:

在Rt/XAEF中，ZAEF=90",

Ax2+x2=42,

解得M=-2j2（舍去），Xz=2⑪,

:

.AE=2叵,

即t=2@

当AD=DF=4时，点E与D重合，t=4,

综上所述，t为2或2JJ或4.

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题.

6.

（1）见解析：

⑵PA=2>/7>BH=：

后:

⑶①M（4+2/♦2/）：

②芝//J

【分析】

（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA,推出NAEO=60。

，进一步得出

BC〃AE,C0/7AB,可得结论；

（2）先计算出0A=4jJ，推出PB=2jT，利用勾股定理求出AP=2"，再利用面积法计

算BH即可；

（3）①求出直线PM的解析式为y=?

5x-3,再利用两点间的距离公式计算即可；2

②易得直线BC的解析式为y=-正x+4,联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得3

点G的坐标，再利用三角形面积公式计算.

【详解】

（1）证明：

YRSOAB中，D为OB的中点，

.11

，AD二一OB,OD=BD=-OB,22

，DO=DA,

/•ZDAO=ZDOA=30°,ZEOA=90",

工ZAEO=60",

又•••△OBC为等边三角形，

AZBCO=ZAEO=60",

，BC〃AE,

VZBAO=ZCOA=90°,

，CO〃AB,

・•.四边形ABCE是平行四边形；

（2）解:

在R3AOB中,ZAOB=30%0B=8,

，AB=4,

/.0A=4c，

•・•四边形ABCE是平行四边形，

APB=PE,PC=PA,

工PB=2VJ，

/.PC=PA=4PB2+AB'=2jZ.

，=：

4CBH=!

ABBE,gplx4>/7xB/7=1x4x473.

（3）①TC（0,4）,设直线AC的解析式为y=kx+4,VP（2技0）,，0=2印+4,

解得，k=—空，

3

.24,

Ay=-——x+4,3

*.*ZAPM=90%

・•・直线PM的解析式为y=25x+m,2

VP（260）,

AO=^^x2-73+m»

2

解得，m=-3,

，直线PM的解析式为度正x-3,2

设M（x,YEx-3）,2

•••AP=2"，

・•・（x-2V3）2+（4"（2"）2,

化简得，x2-4/x-4=0,

解得，x[=2jJ+4,x2=2>/3-4（不合题意舍去），

/T

当产2退+4时，y=tx（2/+4）-3=2下,2

AM（2用4，2百），

2y/3）

故答案为：

（2JJ+4,②:

C（O.4）,8（4“.O）

产旦.3

5

6

）'=5

.2

一L，解得V

y=-——x+4

，3

・・・G（—

S阴=^^时+S"添।="x2>/3x———x2>/3x4=

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

7.

（1）ZABD=ZACD：

（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.

【解析】

【分析】

（1）以AD为公共边，有NABD=NACD；

（2）证明aADC是等腰直角三角形，得AD=CD,则AE=CF,根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；

（3）如图2,作辅助线构建直角三角形，证明△ABCg/\CHE,得CH=AB=3,根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4,从而得结论.

【详解】

解：

（1）由佟II得：

Z\ABD和AADC有公共边AD,在AD同侧有NABD和NACD,此时NABD=NACD：

（2）四边形ACEF为正方形，理由是：

VZABC=90°,BD平分NABC,

AZABD=ZCBD=45°

AZDAC=ZCBD=45°

•・•四边形ACEF是菱形，

•\AELCF,

AZADC=90°,

•・.△ADC是等腰直角三角形，

，AD=CD,.AE=CF,

•••菱形ACEF是正方形：

图2

（3）如图2,过D作DGJ_BC于G,过E作EHJ_BC,交BC的延长线于H,

•ZDBG=45°,

••.△BDG是等腰直角三角形，BD=4jJ,

VBG=4,四边形ACEF是正方形，

AAC=CE,ZACE=90°,AD=DE,

易得△ABCgZXCHE,

，CH=AB=3,AB//DG//EH.AD=DE,

，BG=GH=4,

，CG=4-3=1,

ABC=BG+CG=4+1=5.

【点睛】

本题是四边形的综合题