人教版八年级下册数学教案.docx

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人教版八年级下册数学教案

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）

16．1二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：

形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：

利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：

二、探索新知

很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，有意义吗？

老师点评:

（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：

二次根式有：

、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：

、、、．

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

分析：

由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

解：

由3x-1≥0，得：

x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

分析：

要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

解：

依题意，得

由①得：

x≥-

由②得：

x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

例4

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P51，2，3，4

2．选用课时作业设计．

16.1二次根式

（2）

教学内容

1．（a≥0）是一个非负数；

2．（）2=a（a≥0）．

教学目标

理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：

（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：

用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？

当a<0时，有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：

（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：

根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a≥0）是一个非负数．

做一做：

根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

老师点评：

是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，

（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

例1计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

分析：

我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：

（）2=，（3）2=32·（）2=32·5=45，

（）2=，（）2=．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2（）2（）2（）2（4）2

四、应用拓展

例2计算

1．（）2（x≥0）2．（）23．（）2

4．（）2

分析：

（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：

（1）因为x≥0，所以x+1>0

（）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

分析：

（略）

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．（a≥0）是一个非负数；

2．（）2=a（a≥0）;反之:

a=（）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P55，6，7，8

2．选用课时作业设计．

16.1二次根式（3）

教学内容

＝a（a≥0）

教学目标

理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1．重点：

＝a（a≥0）．

2．难点：

探究结论．

3．关键：

讲清a≥0时，＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；

3．（）2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？

下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______；=_______；=______；

=________；=________；=_______．

（老师点评）：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2；=0.01；=；=；=0；=．

因此，一般地：

=a（a≥0）

例1化简

（1）

（2）（3）（4）

分析：

因为

（1）9=-32，

（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．

解：

（1）==3

（2）==4

（3）==5（4）==3

三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a可以是什么数？

（3）>a，则a可以是什么数？

分析：

∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据

（1）、

（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？

a<0．

解：

（1）因为=a，所以a≥0；

（2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简-．

分析：

（略）

五、归纳小结

本节课应掌握：

=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P5习题16．13、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

16．2二次根式的乘除

教学内容

·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：

·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：

发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．

关键：

要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）×=_______，=______；

（2）×=_______，=________．

（3）×=________，=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

×_____，×_____，

×________

2．利用计算器计算填空

（1）×______，

（2）×______，

（3）×______，（4）×______，

（5）×______．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

·＝．（a≥0，b≥0）

反过来:

=·（a≥0，b≥0）

例1．计算

（1）×

（2）×（3）×（4）×

分析：

直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．

解：

（1）×=

（2）×==

（3）×==9

（4）×==

例2化简

（1）

（2）（3）

（4）（5）

分析：

利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：

（1）=×=3×4=12

（2）=×=4×9=36

（3）=×=9×10=90

（4）=×=××=3xy

（5）==×=3

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①×②3×2③·

（2）化简:

;;;;

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

解：

（1）不正确．

改正：

=＝×=2×3=6

（2）不正确．

改正：

×=×===＝4

五、归纳小结

本节课应掌握：

（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P111，4，5，6．

（1）

（2）．

2．选用课时作业设计．

16．2二次根式的乘除

（2）

教学内容

=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：

理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：

发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）=________，=_________；

（2）=________，=________；

（3）=________，=_________；（4）=________，=________．

规律：

______；______；_______；

_______．

3．利用计算器计算填空:

（1）=_________，

（2）=_________，（3）=______，（4）=________．

规律：

______；_______；_____；_____。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b>0），

反过来，=（a≥0，b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：

（1）

（2）（3）（4）

分析：

上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：

（1）===2

（2）==×=2

（3）===2

（4）===2

例2．化简：

（1）

（2）（3）（4）

分析：

直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：

（1）=

（2）=

（3）=

（4）=

三、巩固练习教材P14练习1．

四、应用拓展

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

分析：

式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：

由题意得，即

∴6

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x）

=（1+x）

=（1+x）=

∴当x=8时，原式的值==6．

五、归纳小结

本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

六、布置作业

1．习题16．22、7、8、9．

16.2二次根式的乘除（3）

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：

最简二次根式的运用．

2．难点关键：

会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算

（1），

（2），（3）

老师点评：

=，=，=

2．现在我们来看本章引言中的问题：

如果两个电视塔的高分别是h1km，，c=n2＋1（n＞1）

求证：

∠C=90°。

分析：

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

六、课堂练习

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15

C．a=，b=，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

4．已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=，b=，c=；⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=，c=；⑷a=5，b=，c=1。

17．2勾股定理的逆定理

（二）

一、教学目的

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1．重点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、例题的意图分析

例1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

四、课堂引入

创设情境：

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

五、例习题分析

例1（见教材）

分析：

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

解略。

六、课堂练习

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：

甲巡逻艇的航向？

七、课后练习

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

17．2勾股定理的逆定理（三）

一、教学目的

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1．重点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

2．难点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

三、例题的意图分析

例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

四、课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

分析：

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2（补充）已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3（补充）已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

分析：

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

六、课堂练习

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

3．已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。

求：

四边形ABCD的面积。

4．已知：

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC中是直角三角形。

七、课后练习，

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：

△ABC是等腰三角形。

3．已知：

如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

求证：

AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。

18.1.1平行四边形及其性质

（一）

一、教学目的：

1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．

3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．

二、重点、难点

1．重点：

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

2．难点：

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

三、例题的意图分析

例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．

四、课堂引入

1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

你能总结出平行四边形的定义吗？

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）表示：

平行四边形用符号“”来表示．

如图