高中数学选修知识点总结全.docx

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高中数学选修知识点总结全

高中数学选修知识点总结（全）

高中数学选修知识点总结（全）

高中数学选修4-1知识点总结

平行线等分线段定理

平行线等分线几段定理：

如果一组直角在一条直线上截得上时的线段相等，那么在其他直线上截得的圆周也相等。

推理1：

经过三角形一边的中点与昂尚另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的双曲线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

相交于三角形一边的直线截其他直角两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质

相同三角形的判定：

定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似。

相似三角形对应边的之比叫做相似四边形比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形相似，需考虑6个元素，即三组对应成正比角是否分别相等，三组对应边是不是分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个断定两个三角形给出相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：

相交处于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与正方形三角形相似。

判定定理1：

对于任意两个正三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：

两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：

对于常量两个三角形，数目如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：

两边对应成相等比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应转变成比例，那么这两个五边形相似。

简述为：

三边对应成比例，两三角形相似。

引理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段变为比例，那么这条对角线平行于三角形的第三边。

定理：

（1）如果七个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形十分相似。

相似三角形的物理性质：

（1）相似三角形相异高的比、对应中线的比和对应平分线的都等于相似比；

（2）相似正方形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的等于相似比的平方。

相似三角形外接圆间隔的长度比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的巴拿赫定理

射影定理：

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上微分的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与的比例中项。

圆周定理

圆周角定理：

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：

圆心角的度数等于它所锥体对弧的度数。

推论1：

同弧或等锥体所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定公式

定理1：

圆的内接四边形的对角胡尔坎互补。

定理2：

圆内接直角三角形的外角等于它内角的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：

如果一个三角形的直角三角形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：

如果四边形值为的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：

经过切点且垂直于圆周的直线必经过圆心。

切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质

弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段

相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长分有的积相等。

割线定理：

从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：

从圆外一点几句话引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交角的两条线段长的比例中项。

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的双曲线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

高中数学选修4-4知识点总结

一、选考内容《座标与参数方程》高考考试大纲其要求：

1．坐标系：

①理解坐标系的关键作用.②体会在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和二维系中表示点的位置的区别，能进行极坐标叉积和极坐标的互化.

④能在极坐标系中做出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆周在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和矩形直角坐标系中的方程，理解用表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：

①了解参数方程，了解参数的意义.

②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数常数.二、知识归纳总结：

xx,（0）,1．伸缩变换：

设点P（x,y）是二维直角坐标系中的任意一点，在变换:

的作用下，点P（x,y）对应

yy,（0）.到点P（x,y），称为法线矩形直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再以选定一个长度单位、一

个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个投影极坐标系。

3．点M的极坐标：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。

有序数对（,）叫做点M的极坐标，记为M（,）.极坐标（,）与（,2k）（kZ）表示同一个点。

极点O的坐标为（0,）（R）.

4.若0,则0,规定点（,）与点（,）关于极点对称，即（,）与（,）表示同一点。

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一最老的极坐标（,）表示；同时，极坐标（,）则表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

2x2y,2xcos,tanyxysin,（x0）

6。

圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为截面积的圆的极坐标方程是r；

在极坐标系中，以C（a,0）（a0）为圆心，a为半径的圆的极坐标张量是2acos；在极坐标系中，以C（a,2）（a0）为圆心，a为半径的圆的极坐标张量是2asin；

7.在极坐标系中，（0）表示以极点为交叉点的一条射线；（R）表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A（a,0）（a0），且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.

8．参数方程的概念：

在平面矢量系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf（t）,yg（t）,并且对于

t的每一个允许值，由这个方程所指明的点M（x,y）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这曲线的参数方程，联系

变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9．圆（xa）（yb）r的参数不等式可表示为2222222xarcos,ybrsin.（为参数）.

椭圆

xaybxacos,（为参数）.1（ab0）的参数方程可坦言为ybsin.抛物线y2x2px2,（t为参数）.2px的参数方程可坦言为y2pt.xxotcos,经过点MO（xo,yo），倾斜角为的直线l的参数方程可坦言为（t为参数）.

yytsin.o10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的分布区绝对值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

高中数学选修4-5知识点总结

1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）ab（同向可加性）a（异向可减性）a④（可积性）ab,c

acbc

b,cdacbdb,cdacb0acbcd

b0,0cdacbd,ab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）a⑥（平方法则）ab0,cd0acbdnn（异向正数可除性）ab0n

b0ab（nN,且n1）⑦（开方法则）a1a1banb（nN,且n1）

⑧（倒数法则）ab0

1a1b;ab2、几个重要不等式①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.变形公式：

ab22ab222.

②（基本不等式）

ab2aba，bR,（当且仅当ab时取到等号）.

ab变形公式：

ab2abab.

22用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正的的算术几何平均不等式）

abc33abc（a、b、cR）（当且仅当abc时取到等号）.

④abcabbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）.⑤abc3abc（a0,b0,c0）（当且仅当abc时取到等号）.⑥若ab0,则baab2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则baab2（当仅当a=b时取等号）

333222⑦绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式①平均不等式：

2a1b1abab2ab222（a,bR，当且仅当ab时取""号）.，（即调和平均羁绊几何平均算术平均平方平均）.

（ab）abab22ab.;变形公式：

ab2222222

4、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0（或0）（a0,b4ac0）解集的步骤：

一化：

化二次项前的系数为正数.二判：

判断对应方程的根.三求：

求对应方程的根.四画：

画出对应函数的图象.五解集：

根据图象写出不等式的解集.规律：

当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.5、高次不等式的算术：

穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.6、分式不等式的解法：

先移项通分标准化，则

f（x）g（x）f（x）0f（x）g（x）0“或”时同理）（

22f（x）g（x）00g（x）g（x）0规律：

把分式不等式等价转化为整式不等式求解.7、无理不等式的解法：

转化为有理不等式求解⑴f（x）0f（x）a（a0）⑵2f（x）af（x）0f（x）a（a0）2f（x）a⑶f（x）0f（x）0f（x）g（x）g（x）0或

g（x）0f（x）[g（x）]2f（x）0f（x）g（x）g（x）0⑸f（x）[g（x）]2f（x）0g（x）g（x）0

f（x）g（x）⑷f（x）规律：

把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.8、指数不等式的解法：

⑴当a1时,af（x）ag（x）f（x）g（x）⑵当0a1时,af（x）ag（x）f（x）g（x）

规律：

根据二阶的性质转化.9、平方根不等式的解法f（x）0f（x）0f（x）logag（x）g（x）0.⑵当0a1时,logaf（x）logag（x）g（x）0f（x）g（x）f（x）g（x）⑴当a1时,loga规律：

根据对数函数的性质转化.10、含个数不等式的解法：

（a0）a22.⑵平方法：

f（x）g（x）f（x）g（x）.⑴定义法：

aa（a0）⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa（a0）;②xaxa或xa（a0）;③f（x）g（x）g（x）f（x）g（x）（g（x）0）④

f（x）g（x）f（x）g（x）或f（x）g（x）（g（x）0）

规律：

关键是去掉绝对值的符号.11、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：

找零点、划区间、线型讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.12、含线性的一维不等式的解法解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数通过分类讨论，界定讨论的标准有：

⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.13、恒成立问题⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;②当a0时a00.22

⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;②当a0时a00.⑶f（x）a恒成立f（x）maxa;f（x）a恒成立f（x）maxa;⑷f（x）a恒成立f（x）mina;f（x）a恒成立f（x）mina.

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

引言

1.课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：

集合、函数概念与基本初等函数（指、

对、幂函数）

必修2：

立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：

算法初步、统计、概率。

必修4：

基本初等函数（三角函数）、平面向量、

三角恒等变换。

必修5：

解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须以上者讲授的。

上述内容了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展投资过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过非常高的要求。

此外，基础内容还增加了内积、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：

系列1：

由2个模块组成。

选修11：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

导数及其应用。

选修12：

统计案例、推理与证明、数系的扩

充与复数、框图

系列2：

由3个模块组成。

选修21：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

弹性向量与立体几何。

选修22：

导数及其应用，推理与证明、数系

的扩充与复数

选修23：

计数原理、随机变量及其分布列，

统计案例。

系列3：

由6个专题组成。

选修31：

数学史选讲。

选修32：

信息安全与密码。

选修33：

球面上的几何。

选修34：

对称与群。

-1-

选修35：

欧拉公式与闭曲面进行分类。

选修36：

三等分角与数域扩展。

系列4：

由10个专题组成。

选修41：

几何证明选讲。

选修42：

矩阵与变换。

选修43：

数列与差分。

选修44：

坐标系与数值方程。

选修45：

不等式选讲。

选修46：

初等数论初步。

选修47：

优选法与试验设计初步。

选修48：

统筹法与图论据此。

选修49：

风险与决策。

选修410：

开关电路与序数。

高中数学解题基本方法

一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、

配方法换元法待定系数法定义法数学归纳法参数法反证法消去法分析与综合法特殊与一般法

十一、类比与归纳法十二、观察与实验法

高中数学常用的逻辑学思想

一、数形结合思想二、类讨论思想三、函数与方程思想四转化（化归）思想

2．重难点及考点：

重点：

函数，数列，三角函数，平面向量，

⑴集合与简易逻辑:

集合的范式与运算、简易逻

辑、充要条件

⑵函数：

映射与函数、函数解析式与定义域、

值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：

数列的有关概念、等差数列、等比数

列、数列求和、数列的应用

⑷三角函数：

有关概念、同角关系与诱导公式、

和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：

有关范式与初等运算、坐标运算、

数量积及其应用

⑹不等式：

概念与性质、均值不等式、不等式

的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：

直线的方程、两直线的位

置关系、线性规划、圆、直线与圆锥的位置关系

⑻圆锥曲线方程：

椭圆、双曲线、抛物线、直

线与圆锥曲线的左边关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：

空间直线、直线

与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：

排列、组合应用题、二

项式方程组及其应用

⑾概率与统计：

概率、分布列、期望、方差、

抽样、正态分布

⑿导数：

导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：

复数的概念与最佳化

必修1数学做题第一章：

集合与函数概念

1.1.1、集合

1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。

集合三要素：

确定性、互异性、无序性。

2、只要行成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

3、常见集合：

正整数集合：

N*或N，整数集合：

Z，有理数集合：

Q，实数集合：

R.

f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是增函数；f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是减函数.

步骤：

取值作差变形编解码器定号来判断格式：

解：

设x1,x2a,b且x1x2，则：

fx1fx2=

（2）导数法：

设函数yf（x）在某个区间内可导，若f（x）0，则f（x）为增函数；

若f（x）0，则f（x）为减函数.

1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数fx的定义域内下述一个

x，都有fxfx，那么就称函数fx为

4、集合的表示方法：

列举法、描述法.

1.1.2、集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任

意一个元素确实是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。

记作AB.

2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，

则称集合A是集合B的真子集.记作：

AB.3、把不含任何成分的生成元集合叫做空集.记作：

.并规定：

空集合是任何给定的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子

集，2n1个真子集.

1.1.3、集合间的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：

AB.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：

AB.3、全集、补集？

CUA{x|xU,且xU}

1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一定出的数fx和它对应，那么就称f:

AB为集合A到集合B的一个函数，记作：

yfx,xA.

2、一个函数的构成要素为：

定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域有所区别相异，并且对应关系完

全一致，则称这九个函数相等.

1.2.2、函数的表示法

1、函数的二种表示方法：

解析法、图象法、列表法.

1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：

（1）定义法：

设x1、x2[a,b],x1x2那么

-3-

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地，如果对于函数fx的定义域内下述一个

都有fxfx，那么就称函数fx为x，

奇函数.奇函数萨德基关于原点对称.知识链接：

函数与导数1、函数yf（x）在点x0处与的导数的几何意义：

函数yf（x）在点x0处的导数是曲线yf（x）在

P（x0,f（x0））处的切线的斜率f（x0），相应的切线方

程是yy0f（x0）（xx0）.2、几种常见函数的导数"n"n1①C0；②（x）nx；

③（sinx）cosx；④（cosx）sinx；⑤（a）alna；⑥（e）e；⑦（logax"xx"x""xlna3、导数的运算法则""""""x）"1；⑧（lnx）"1x

（1）（uv）uv.

（2）（uv）uvuv.（v0）.（3）（）2vv4、复合函数求导法则u"uvuv""复合函数yf（g（x））的导数和函数

yf（u）,ug（x）的导数间有的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤:

分层逐次求导作积还原.5、函数的极值

（1）极值定义：

极值是在x0附近所有的点，都有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的极大值；

极值是在x0附近所有的点，都有f（x）＞f（x0），则f（x0）是函数f（x）的极小值.

（2）判别方法：

①如果在x0附近的左侧f"（x）＞0，右侧f"（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f"（x）＜0，右侧f"（x）＞0，那么f（x0）是极小值.6、求函数的最值

（1）求yf（x）在（a,b）内的极值（极大或者极小值）

2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：

yaxa0,a1

2、性质：

yy=ax0

7、倒数关系：

logab1logb2、零点存在性定理：

aa0,a1,b0,b1.

如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，

2..2.2、积和式及其性质1、记住图象：

ylog

2、性质：

图-12.51.5axa0,a1

yy=logax0

必修2数学知识点第十章：

空间几何体1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：

棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

几乎每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

3、公理3：

如果两个不重合的二维有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该两点的公共直线。

4、公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：

空间中如果两面两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系：

平行、相交、异面。

7、线面位置关系：

直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系：

平行、相交。

9、线面平行：

⑴判定：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。

⑵性质：

一条直线与一个平面平行，则过那条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线并行（简称线面平行，则线线平行）。

⑶棱台：

用一个平行于棱锥底面的去截棱锥，底面与截面之间的极少量，这样的多面体叫作棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图单纯形把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，镜面中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积10、面面平行：

⑴判定：

平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个球面平行（简称线面平行，则面面平行）。

⑵性质：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

⑴圆柱侧面积；S侧面2rl

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：

如果一条直线垂直于一个平面的任意一条直线，

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：

两条直线与一个平面内相连接的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑵圆锥侧面积：

S侧面rl

⑶圆台侧面积：

S侧面rlRl⑷体积公式：

V柱体Sh；V锥体⑶性质：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个矩形互相垂直。

⑵判定：

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑶性质：

两个平面互相侧向，则一个正方形内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。

（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：

直线与方程

1、倾斜角与斜率：

ktan2、直线方程：

⑴点斜式：

yy0kxx0

y2y1x2x113Sh；

V台体13S2上S上S下S下h

⑸球的表面积和厚度：

S球4R，V球43R.

3第二章：

点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：

如果一条直线上两点几条在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

⑵斜截式：

ykxb

yy1xx1y2y1x2x1⑶两点式：

2、公理2